Algebra I
Insiemi
01 - Introduzione.
I concetti di insieme e di elemento di un insieme sono alla base ti tutta la matematica. Essi non sono
definibili. Sinonimi di insieme sono : aggregato, classe, collezione ecc.
Un insieme può essere indicato con una lettera maiuscola e l’elenco dei suoi elementi possono essere
indicati fra parentesi graffe :
A = {a, b, c}
Per indicare che un elemento appartiene ad un insieme si scrive :
Se un elemento non appartiene ad un insieme si scrive :
Per visualizzare un insieme con i suoi elementi si può utilizzare un grafico del tipo (diagrammi di Venn) :
02 - Principali definizioni e proprietà.
Due insiemi sono uguali se hanno gli stessi elementi. Ovvero :
Un insieme può essere definito anche tramite una affermazione (o proprietà) che può essere vera o
falsa. Il seguente insieme :
è formato dagli elementi y dell’insieme A per cui è vera l’affermazione p.
Se un insieme non contiene elementi si dice vuoto e si indica col simbolo : Ø
Un insieme si dice che è un sottoinsieme di un altro insieme se i suoi elementi sono anche elementi
di quest’ultimo :
L’insieme B può essere anche uguale all’insieme A. Se ciò non è vero il sottoinsieme si dice proprio :
Se un insieme non è sottoinsieme di un altro si scrive :
L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme dato si chiama insieme potenza dell’insieme dato. Per
esempio, se A = {a, b, c} , il suo insieme potenza è :
P(A) = { Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Si noti che l’insieme vuoto fa parte dell’insieme potenza dell’insieme dato perché l’insieme vuoto è
sottoinsieme di ogni insieme. Si noti anche che a indica un elemento mentre {a} indica un insieme
costituito dal solo elemento a .
Dati due insiemi si può definire l’insieme differenza come l’insieme degli elementi del primo che non
sono contenuti nel secondo :
Se un insieme è sottoinsieme di un altro insieme, la differenza fra i due si chiama complementare
del primo rispetto al secondo :
Dati due insiemi si può costruire l’insieme unione dei due come quell’insieme costituito dagli elementi
dei due insiemi (sia di quelli del primo che di quelli del secondo) :
Dati due insiemi si può costruire l’intersezione dei due come quell’insieme costituito dagli elementi
comuni dei due (solo di quelli che appartengono ad entrambi) :
Se due insiemi non hanno elementi in comune si dicono disgiunti. La loro intersezione è vuota, ovvero :
03 - Prodotto cartesiano.
Consideriamo due insiemi. Prendendo un elemento dal primo ed un altro dal secondo insieme si può
costruire in molti modi un nuovo insieme costituito da quei due elementi. Per esempio, siano A = {a, b, c}
e B = {1, 2} i due insiemi in questione. Prelevando l’elemento a dal primo e l’elemento 1 dal secondo
si possono costruire i seguenti insiemi :
{a, 1}
{1, a}
{a, {a, 1}}
{1, {1, a}}
ecc. ecc.
Nei primi due casi si ottengono due insiemi uguali. Nei successivi due casi, invece, si ottengono due
insiemi diversi a seconda di quale elemento si sceglie come primo elemento.
L’insieme
(a,b) = {{a}, {a, b}}
dove a appartiene ad A e b appartiene a B si chiama coppia ordinata. Il primo elemento si chiama
prima coordinata ed il secondo si chiama seconda coordinata.
Ovviamente (a, b) è diverso da (b, a) .
L’insieme di tutte le coppie ordinate che hanno prima coordinata in A e seconda coordinata in B si
chiama prodotto cartesiano di A per B ovvero :
Nell’esempio precedente il prodotto cartesiano risulta :
A x B = {(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
graficamente :
04 - Relazioni.
Una relazione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano. Consideriamo due insiemi A e B ed il loro
prodotto cartesiano A x B . Prendiamo un sottoinsieme di coppie ordinate con prima coordinata in A e
seconda coordinata in B . Abbiamo così costruito una relazione da A a B . Per esempio :
Definiamo quindi una relazione R come :
Per indicare che una coppia ordinata appartiene ad una relazione scriveremo :
invece di :
Se R è una relazione da A ad A diremo semplicemente che è una relazione in A .
Diamo due esempi di relazione in A dove A è l’insieme degli alunni iscritti ad una scuola in un certo
anno scolastico :
Il grafico di R1 potrebbe essere (nel caso di soli 4 elementi) :
In questo esempio b è fratello di d . Ovviamente d è anche fratello di b . Notiamo che abbiamo
posto anche che ogni elemento è fratello di sé stesso. Questa generalizzazione sarà utile nei prossimi
argomenti.
Il grafico di R2 potrebbe essere (nel caso di soli 4 elementi) :
dove a ha 15 anni, b 15 anni, c 16 anni e d 17 anni.
Come si vede dagli esempi non ogni elemento del primo insieme deve appartenere necessariamente alla
relazione (così come per gli elementi del secondo insieme).
Si chiama dominio di una relazione R da A a B l’insieme degli elementi di A che appartengono alla
relazione e si indica col simbolo D(R) :
Si chiama codominio di una relazione R da A a B l’insieme degli elementi di B che appartengono
alla relazione e si indica col simbolo C(R) :
Relativamente agli esempi precedenti possiamo affermare che :
D(R1) = A, C(R1) = A. D(R2) = {a, b, c}, C(R2) = {c, d}
Data una relazione R da A a B si può definire la relazione inversa da B ad A in questo modo :
La relazione inversa di una relazione data è quindi la relazione che si ottiene invertendo le coppie ordinate.
Per esempio la funzione inversa di R2 è :
Ovviamente il dominio di R diventa il codominio di R-1 e il codominio di R diventa il dominio di R-1 .
La relazione in A che associa ad ogni elemento se stesso, si chiama relazione identica :
05 - Classi di equivalenza.
Una relazione in A si chiama relazione di equivalenza se le coppie ordinate che la costituiscono
soddisfano le seguenti proprietà :
- proprietà riflessiva : ogni elemento di A è in relazione con sé stesso ( aRa per ogni a
appartenente ad A)
- proprietà simmetrica : se un elemento di A è in relazione con un altro elemento di A ,
quest’ultimo è in relazione con il primo ( aRb → bRa )
- proprietà transitiva : se un elemento di A è in relazione con un secondo elemento ed il
secondo con un terzo, allora il primo è in relazione col terzo ( aRb , bRc → aRc ).
La relazione R1 dell’esempio precedente è una relazione di equivalenza (aggiungendo un ulteriore
elemento e fratello di b si avrebbe verificata anche la proprietà transitiva). Anche la relazione
identica lo è.
Consideriamo ora un insieme A dotato di una relazione di equivalenza R . Preso un elemento a di A ,
l’insieme di tutti gli elementi in relazione con esso (ad esso equivalenti) si chiama classe di equivalenza
e si denota con [a] . Quindi :
L’insieme A dotato di una relazione di equivalenza si scompone nelle sue classi di equivalenza. Diremo
che una relazione di equivalenza in A determina una partizione di A nelle sue classi di equivalenza.
Queste classi, quando non sono uguali, sono disgiunte (non hanno elementi in comune) ed unite fra loro
formano l’insieme A .
Nell’esempio della relazione R1 , le classi di equivalenza che partiscono A sono :
[a] = {a}, [b] = {b, d}, [c] = {c} , [d] = {b, d}
L’insieme delle classi di equivalenza indotte in A dalla relazione di equivalenza R si chiama insieme
quoziente di A rispetto ad R e si denota con A/R ( A modulo R ).
06 - Relazioni d’ordine.
Consideriamo l’insieme A dotato della relazione R . Supponiamo che le coppie ordinate che compongono
la relazione soddisfino le seguenti proprietà :
La prima proprietà è riflessiva e antisimmetrica. La seconda è transitiva.
Una siffatta relazione si chiama relazione d’ordine parziale e l’insieme A dotato di una tale relazione
si dice insieme parzialmente ordinato (A;R) . La relazione d’ordine parziale si indica col simbolo <=
(minore uguale). Esempi di relazioni d’ordine parziali sono :
- l’insieme dei numeri naturali dotato della relazione <= . Infatti se m<=n e n<=m allora m=n .
Se m<=n e n<=o allora m<=o .
- un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme .
Se invece le coppie ordinate della relazione soddisfano le seguenti proprietà :
La prima proprietà è antiriflessiva. La terza è transitiva.
Una siffatta relazione si chiama relazione d’ordine (lineare) e l’insieme A dotato di una tale relazione
si dice insieme (linearmente) ordinato (A;R) . La relazione d’ordine si indica col simbolo < (minore).
Esempi di relazioni d’ordine sono :
- l’insieme dei numeri naturali dotato della relazione < . Infatti se m<m è falsa. E’ vera m<n oppure
n<m . Se m<n e n<o allora m<o .
- un insieme di insiemi dotati della relazione di sottoinsieme proprio non è un insieme ordinato !!!
La seconda condizione non è sempre verificata.
07 - Funzioni.
Una relazione f fra due insiemi A e B che soddisfa le seguenti proprietà :
Si chiama funzione o applicazione da A a B . Il dominio di una funzione, quindi, deve corrispondere
al primo insieme e ad un elemento del dominio deve corrispondere un solo elemento del codominio. I modi
per indicare una funzione sono :
e si legge " f è funzione da A a B ".
Se x appartiene al dominio e y è l’elemento corrispondente del codominio si dice che y è l’immagine
di x od il valore di f in x e si scrive :
Esistono vari tipi di funzione :
- una è funzione uno a uno (1-1) o iniettiva quando ogni elemento del codominio è immagine di un
solo elemento del dominio ovvero se y = f(x) e y = f(x’) segue che x = x’ e si indica con :
- se una funzione non è 1-1 allora è più a uno
- una funzione è su B o suriettiva se il codominio della funzione coincide con B ovvero B = C(f)
e si indica con :
- una funzione è in B se il codominio di f è sottoinsieme proprio di B ovvero C(f)<B
- una funzione contemporaneamente 1-1 e su si chiama corrispondenza biunivoca oppure funzione
biiettiva e si indica con (il simbolo esatto sarebbe con "1-1" sotto la freccia) :
Diamo alcuni esempi grafici di funzioni :
Nel primo caso si tratta di una funzione più a uno da A in B . Nel secondo, di una funzione più a uno
da A su B . Nel terzo, di una funzione 1-1 da A in B e nel quarto di una funzione da A su B
(biunivoca). Un altro modo di rappresentare graficamente le funzioni è il seguente (grafico cartesiano) :
Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Ogni relazione è invertibile mentre solo le funzioni
biunivoche lo sono. Questo dipende dal fatto che la relazione inversa, per essere ancora una funzione,
deve soddisfare le condizioni che fanno di una relazione qualunque una funzione.
Date due funzioni per cui il secondo insieme della prima è il dominio della seconda, si può costruire una
terza funzione, detta composizione delle due funzioni date. La definizione di funzione composta delle
funzioni date f:A→B e g:B→C è :
Un esempio grafico di quanto affermato è :
Sia data una funzione f da A a B e sia A’ un sottoinsieme di A . La funzione definita da A’ a B
uguale alla funzione data (per i soli punti di A’ ) si chiama restrizione di f ad A’ e si indica con f/A’ .
08 - Operazioni.
Consideriamo un insieme A . Una funzione O fra A x A (prodotto cartesiano A per A) ed A si
chiama operazione in A e l’immagine della operazione si indica con aOb . Le operazioni possono
essere rappresentate da diagrammi a doppia entrata come nell’esempio :
dove è rappresentata una sorta di somma ciclica fra i primi tre numeri naturali dove il simbolo di operazione
O è indicato dal simbolo + .
Alcune particolarità delle operazioni sono :
- se aOb = bOa per ogni a e b appartenenti ad A l’operazione si dice commutativa
- se esiste un elemento e di A tale che aOe = eOa = a per ogni a appartenente ad A esso
si chiama elemento neutro. Per esempio 0 è l’elemento neutro della somma nll’insieme dei numeri
interi
- se si verifica che (aOb)Oc = aO(bOc) per ogni a, b, c appartenenti ad A l’operazione si dice
associativa
- se si verifica che aO(bO’c) = (aOb)O’(aOc) e (aO’b)Oc = (aOc)O’(bOc) per ogni a, b, c
appartenenti ad A date due operazioni O ed O’ in A , si dice che O è distributiva rispetto ad O’ .
Per esempio l’operazione moltiplicazione è distributiva rispetto all’operazione somma nell’insieme dei
numeri razionali perché a*(b+c) = a*b + a*c
09 - Sistemi algebrici.
Un insieme A su cui sono definite delle operazioni e delle relazioni si chiama sistema algebrico e si indica con
la scrittura :
(A;O1,O2,…,R1,R2, ..) dove O1, O2, … sono operazioni in A e R1, R2, … sono relazioni in A
Esempi di sistemi algebrici sono :
- (N;+,<) è il sistema algebrico dei numeri naturali dotati della operazione di somma e della relazione
di minore
- (R;+,*,<) è il sistema algebrico dei numeri reali dotati delle operazioni di somma e moltiplicazione
della relazione di minore.
Consideriamo due sistemi algebrici (A;O) e (A’;O’) definiti su due insiemi diversi A ed A’ e dotati delle
operazioni O ed O’ . I due sistemi si dicono isomorfi se esiste una applicazione f da A ad A’ che soddisfa
le seguenti proprietà :
e si scrive :
Un sistema algebrico (A’,O’) si dice che è una estensione del sistema algebrico (A;O) se esiste un sottoinsieme
A’’ di A’ tale che (A’’;O’) è isomorfo a (A;O) .
Per esempio il sistema algebrico (I+;+,*,<) è una estensione del sistema algebrico (N;+,*,<) dove I+ è l’insieme
dei numeri interi positivi e N è l’insieme dei numeri naturali.
Fine.
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