E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Geometria differenziale (4' parte)


Prendiamo qui in considerazioni le principali proprietà delle superficie.

10 – superficie in R³.

Segnaliamo le seguenti importanti nozioni  :

        - 1 -         punti notevoli

                        Consideriamo una superficie di equazione  f(x , y , z) = 0  ed un suo punto  
                         . Il punto  P  si dice semplice se il gradiente di  f  non è nullo 
                        nel punto  P .

                        Se invece il gradiente è nullo, il punto si dice multiplo.

                        Il piano tangente alla superficie in  P  , come abbiamo già visto, ha equazione   
                         (dove le derivate parziali sono 
                        calcolate in  P ).

                        Il piano tangente alla superficie nel punto semplice  P  ha con essa un contatto 
                        del primo ordine (almeno).

                        Le rette tangenti alla superficie nel punto semplice  P  hanno con essa un contatto 
                        del primo ordine (almeno) e giacciono sul piano tangente.

                        Se il contatto è esattamente del primo ordine, il punto  P  si dice ordinario. Se 
                        il contatto è di ordine    > 1 , il punto semplice  P  è un flesso (analogamente 
                        al caso delle curve).

                        Un punto non ordinario si dice singolare.

                        I punti multipli sono punti singolari.

                        Una superficie trascendente può avere punti singolari dovuti a problematiche 
                        di continuità e derivabilità. Non considereremo qui simili singolarità. Si presuppone 
                        cioè che la funzione  f  che rappresenta la superficie sia continua e derivabile 
                        parzialmente con derivate continue per tutti gli ordini che interessano.

         - 2 -         tangenti asintotiche

                        Consideriamo un punto semplice ordinario  P  di una superficie. Fra tutte le 
                        rette tangenti alla superficie in  P  cerchiamo quelle che hanno con la superficie 
                        un contatto del secondo ordine (almeno). In generale queste rette sono due e 
                        si chiamano tangenti asintotiche.

                        Per semplificare i calcoli, facciamo una trasformazione di coordinate in modo 
                        che la nuova origine degli assi cartesiani sia il punto  P  (quindi  O    P ) ed 
                        il piano tangente alla superficie in  P  sia il piano  z = 0 .

                        Sia l’equazione della superficie  z = f(x , y)  e    siano le equazioni 
                        delle generiche rette tangenti alla superficie in  P .

                        Perché si abbia un contatto del secondo ordine si deve considerare la funzione  
                        F(x , mx)  e porre    per cui (omettiamo la dimostrazione) 
                        si deve avere   
                        (il simbolismo per le derivate parziali è autoesplicativo).

                        Essendo ovviamente   , le condizioni per un 
                        contatto del secondo ordine si riducono a :

                                

                        Si tratta di una equazione di secondo grado in  m  per cui le tangenti asintotiche 
                        sono in generale due (si noti che l’equazione non può essere indeterminata perché 
                        le tre derivate seconde non possono essere contemporaneamente nulle in quanto 
                        il punto  P  è ordinario).

                        Se il punto  P  fosse un flesso, tutte le rette del piano tangente avrebbero un 
                        contatto del secondo ordine (almeno) per cui, in questo caso, le tangenti  
                        asintotiche sarebbero indeterminate.

                        Se tutti i punti di una superficie sono flessi, la superficie è un piano. Infatti, in 
                        questo caso, le derivate seconde sarebbero tutte e tre nulle per cui la funzione  
                        
                        f  dovrebbe essere lineare in  x  ed  y  , ovvero dovrebbe essere un piano.

                        Nel caso in cui la superficie è espressa nella forma parametrica     
                        le tangenti asintotiche nel punto  P  della superficie corrispondenti ai valori dei 
                        parametri    sono determinate dalla equazione (omettiamo la dimostrazione) :

                                

                        dove le funzioni  L  ,  M  ,  N   sono definite da :

                                

                        dove i simboli usati per le derivate sono autoesplicativi.

                        L’equazione indicata sopra fornisce in generale due valori per la derivata 
                         da cui si ottengono due relazioni del tipo  . Sostituendo 
                        queste ultime nell’equazione parametriche del piano tangente alla superficie 
                        in  P , si ottengono le equazioni parametriche delle due rette cercate.

                        Nel caso in cui la superficie è espressa dall’equazione  z = f(x , y)  le tangenti 
                        asintotiche nel punto   sono date dall’equazione (basta porre  
                        x = u , y = v , z = f(u , v ) ) :

                                

                        (si noti la somiglianza di questa equazione con quella data all’inizio del paragrafo).

                        Riportiamo infine alcune importanti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :

                                -       se due superficie hanno un contatto del primo ordine nel punto 
                                        semplice (per entrambe)  P , allora la curva intersezione delle due 
                                        superficie ha in  P  un punto doppio

                                -       la curva intersezione fra una superficie ed il piano tangente in un 
                                        suo punto  P  (semplice ed ordinario) ha in  P  un punto doppio

                                -       le tangenti asintotiche ad una superficie in un suo punto semplice 
                                        ed ordinario sono le tangenti in  P  alla curva intersezione della 
                                        superficie col piano tangente in  P .

         - 3 -         punti iperbolici, parabolici, ellittici.

                        Un punto semplice ordinario  P  di una superficie si dice iperbolico, parabolico  
                        od ellittico se le tangenti asintotiche in  P  sono rispettivamente reali distinte, 
                        reali coincidenti od immaginarie coniugate.

                        Il punto  P  è dunque iperbolico, parabolico od ellittico se la curva intersezione 
                        col piano tangente alla superficie in  P  ha in  P  rispettivamente un nodo, una 
                        cuspide od un punto isolato.

                        Se una superficie ha equazione parametrica    le condizioni per cui 
                        un suo punto  P  corrispondente ai valori dei parametri     sia iperbolico, 
                        parabolico od ellittico sono rispettivamente :

                                

                        dove le funzioni  M ,  L  ed   N   hanno i valori dichiarati precedentemente.

                        Se una superficie ha equazione  z = f(x , y)  le condizioni per cui un suo punto  
                         sia iperbolico, parabolico od ellittico sono rispettivamente 
                        (omettiamo la dimostrazione) :

                                

         - 4 -         punti multipli

                        I punti multipli di una superficie sono la naturale estensione dei punti multipli 
                        di una curva per cui rimandiamo il lettore alla relativa trattazione.

         - 5 -         curvatura

                        Le problematiche relative alla curvatura di una superficie sono sviluppate 
                        in maniera generale nella sezione dedicata al “Calcolo differenziale assoluto”.

                        Diremo solo che la curvatura di una superficie in un suo punto  P  dipende 
                        dai valori dei due raggi principali in  P .

                        I raggi principali sono i raggi di curvatura in  P  delle due curve che si ottengono 
                        sezionando la superficie con i due piani passanti per la normale alla superficie in  
                        P  e le due tangenti principali (dette anche tangenti di curvatura) alla superficie 
                        in  P .

                        Le tangenti principali alla superficie in  P  sono le bisettrici degli angoli formati dalle 
                        tangenti asintotiche in  P .

Fine.

Pagina precedente