Geometria analitica
Geometria differenziale (4' parte)
Prendiamo qui in considerazioni le principali proprietà delle superficie.
10 – superficie in R³.
Segnaliamo le seguenti importanti nozioni :
- 1 - punti notevoli
Consideriamo una superficie di equazione f(x , y , z) = 0 ed un suo punto
. Il punto
P si dice semplice se
il gradiente di f
non è nullo
nel punto P .
Se invece il gradiente è nullo, il punto si dice multiplo.
Il piano tangente alla superficie in P , come abbiamo già visto, ha equazione
(dove le derivate parziali sono
calcolate in P ).
Il piano tangente alla superficie nel punto semplice P ha con essa un contatto
del primo ordine (almeno).
Le rette tangenti alla superficie nel punto semplice P hanno con essa un contatto
del primo ordine (almeno) e giacciono sul piano tangente.
Se il contatto è esattamente del primo ordine, il punto P si dice ordinario. Se
il contatto è di ordine > 1 , il punto semplice P è un flesso (analogamente
al caso delle curve).
Un punto non ordinario si dice singolare.
I punti multipli sono punti singolari.
Una superficie trascendente può avere punti singolari dovuti a problematiche
di continuità e derivabilità. Non considereremo qui simili singolarità. Si presuppone
cioè che la funzione f che rappresenta la superficie sia continua e derivabile
parzialmente con derivate continue per tutti gli ordini che interessano.
- 2 - tangenti asintotiche
Consideriamo un punto semplice ordinario P di una superficie. Fra tutte le
rette tangenti alla superficie in P cerchiamo quelle che hanno con la superficie
un contatto del secondo ordine (almeno). In generale queste rette sono due e
si chiamano tangenti asintotiche.
Per semplificare i calcoli, facciamo una trasformazione di coordinate in modo
che la nuova origine degli assi cartesiani sia il punto P (quindi O ≡ P ) ed
il piano tangente alla superficie in P sia il piano z = 0 .
Sia l’equazione della superficie z = f(x , y) e
siano le equazioni
delle generiche rette tangenti alla superficie in P .
Perché si abbia un contatto del secondo ordine si deve considerare la funzione
F(x , mx) e porre
per cui (omettiamo la
dimostrazione)
si deve avere
(il simbolismo per le derivate parziali è autoesplicativo).
Essendo ovviamente
, le condizioni per un
contatto del secondo ordine si riducono a :
Si tratta di una equazione di secondo grado in m per cui le tangenti asintotiche
sono in generale due (si noti che l’equazione non può essere indeterminata perché
le tre derivate seconde non possono essere contemporaneamente nulle in quanto
il punto P è ordinario).
Se il punto P fosse un flesso, tutte le rette del piano tangente avrebbero un
contatto del secondo ordine (almeno) per cui, in questo caso, le tangenti
asintotiche sarebbero indeterminate.
Se tutti i punti di una superficie sono flessi, la superficie è un piano. Infatti, in
questo caso, le derivate seconde sarebbero tutte e tre nulle per cui la funzione
f dovrebbe essere lineare in x ed y , ovvero dovrebbe essere un piano.
Nel caso in cui la superficie è espressa nella forma parametrica
le tangenti asintotiche nel punto P della superficie corrispondenti ai valori dei
parametri
sono determinate dalla equazione
(omettiamo la dimostrazione) :
dove le funzioni L , M , N sono definite da :
dove i simboli usati per le derivate sono autoesplicativi.
L’equazione indicata sopra fornisce in generale due valori per la derivata
da cui si ottengono due relazioni
del tipo
. Sostituendo
queste ultime nell’equazione parametriche del piano tangente alla superficie
in P , si ottengono le equazioni parametriche delle due rette cercate.
Nel caso in cui la superficie è espressa dall’equazione z = f(x , y) le tangenti
asintotiche nel punto
sono date dall’equazione (basta
porre
x = u , y = v , z = f(u , v ) ) :
(si noti la somiglianza di questa equazione con quella data all’inizio del paragrafo).
Riportiamo infine alcune importanti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- se due superficie hanno un contatto del primo ordine nel punto
semplice (per entrambe) P , allora la curva intersezione delle due
superficie ha in P un punto doppio
- la curva intersezione fra una superficie ed il piano tangente in un
suo punto P (semplice ed ordinario) ha in P un punto doppio
- le tangenti asintotiche ad una superficie in un suo punto semplice
ed ordinario sono le tangenti in P alla curva intersezione della
superficie col piano tangente in P .
- 3 - punti iperbolici, parabolici, ellittici.
Un punto semplice ordinario P di una superficie si dice iperbolico, parabolico
od ellittico se le tangenti asintotiche in P sono rispettivamente reali distinte,
reali coincidenti od immaginarie coniugate.
Il punto P è dunque iperbolico, parabolico od ellittico se la curva intersezione
col piano tangente alla superficie in P ha in P rispettivamente un nodo, una
cuspide od un punto isolato.
Se una superficie ha equazione parametrica
le condizioni per cui
un suo punto P corrispondente ai valori dei parametri
sia iperbolico,
parabolico od ellittico sono rispettivamente :
dove le funzioni M , L ed N hanno i valori dichiarati precedentemente.
Se una superficie ha equazione z = f(x , y) le condizioni per cui un suo punto
sia iperbolico, parabolico od
ellittico sono rispettivamente
(omettiamo la dimostrazione) :
- 4 - punti multipli
I punti multipli di una superficie sono la naturale estensione dei punti multipli
di una curva per cui rimandiamo il lettore alla relativa trattazione.
- 5 - curvatura
Le problematiche relative alla curvatura di una superficie sono sviluppate
in maniera generale nella sezione dedicata al “Calcolo differenziale assoluto”.
Diremo solo che la curvatura di una superficie in un suo punto P dipende
dai valori dei due raggi principali in P .
I raggi principali sono i raggi di curvatura in P delle due curve che si ottengono
sezionando la superficie con i due piani passanti per la normale alla superficie in
P e le due tangenti principali (dette anche tangenti di curvatura) alla superficie
in P .
Le tangenti principali alla superficie in P sono le bisettrici degli angoli formati dalle
tangenti asintotiche in P .
Fine.
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