Geometria analitica
Geometria differenziale (3' parte)
Prendiamo qui in considerazioni le principali proprietà delle curve sghembe.
09 – Curve in R³.
Segnaliamo le seguenti importanti nozioni :
- 1 - punti notevoli
Consideriamo un punto P di una curva di R³ ed un generico piano passante
per esso. Il piano interseca la curva in uno o più punti fra cui il punto P contato
uno o più volte.
Quando in P cade una sola intersezione della curva col piano generico si dice
che P è un punto semplice.
Se invece in P cadono s intersezioni (s > 1) si dice che P è un punto
multiplo di molteplicità s . In particolare se s = 2 il punto si dice doppio, se
s = 3 si dice triplo ecc.
Se P è un punto semplice della curva, la retta tangente alla curva in P è la
retta che ha un contatto con essa del primo ordine (almeno).
Se P è un punto semplice della curva, per esso passano infiniti piani aventi
con la curva in P due intersezioni coincidenti. Detti piani si dicono piani
tangenti alla curva in P e formano un fascio il cui asse coincide con la retta
tangente alla curva in P .
Quando la retta tangente alla curva nel punto semplice P ha con essa un
contatto esattamente del primo ordine, il punto P si dice semplice ordinario
(o regolare). Un punto che non sia ordinario si dice singolare.
I punti multipli sono punti singolari.
Per le curve trascendenti vi sono poi altri punti singolari dovuti alle problematiche
di continuità e derivabilità. Non considereremo simili singolarità.
Supponiamo che P sia un punto doppio della curva di equazioni parametriche
. Il piano generico passante per P ha equazione
.
Le intersezioni fra la curva ed il piano si ottengono risolvendo il sistema che
conduce, sostituendo, all’equazione
. Per
il punto P (essendo P doppio) vi saranno due valori di u che forniscono
le coordinate di P . Siano questi valori
.
Se
, il punto
P è origine di due rami
della curva e per ciascun
ramo si ha un fascio di piani tangenti ed una tangente (asse del fascio di
piani tangenti). Quando le due tangenti sono distinte, il punto doppio P
si chiama nodo se le tangenti sono reali (se
sono reali
distinti) o
punto isolato se le tangenti sono immaginarie (se
sono complessi
coniugati). Se invece le due tangenti coincidono si ha una singolarità più
complessa (nodo di specie superiore).
Se
, si ha
per ogni valore di
a, b, c
(basta sviluppare in serie di Taylor f, g, ed h con punto iniziale
, sostituire
nell’equazione del piano e considerare che di debbono avere soluzioni di
molteplicità 2 per ogni piano passante per P ) per cui si deve avere
. Il punto doppio P
è allora origine di un solo
ramo e si chiama cuspide (come per le curve piane). Vi è allora un solo fascio
di piani tangenti in P con asse
coincidente
con la tangente cuspidale (la dimostrazione proviene da una continuazione del
procedimento precedentemente indicato).
- 2 - retta tangente
La retta tangente alla curva di equazione
nel punto
corrispondente al valore
del parametro
u è la seguente :
dovendo la retta e la curva avere un contatto del primo ordine (almeno).
Questa formula è valida solo per i punti in cui le tre derivate prime delle
funzioni che costituiscono l’equazione parametrica della curva non sono
tutte nulle. Quando il punto di contatto è un punto semplice ciò è assicurato.
- 3 - piano osculatore
Il piano con cui una curva ha in un suo punto semplice ed ordinario un contatto
del secondo ordine (almeno) si chiama piano osculatore.
Sia
l’equazione parametrica
della curva e
un suo
punto (semplice ed ordinario) corrispondente al valore
del parametro
u .
Il piano generico passante per P ha equazione
.
Le condizioni perché il piano e la curva abbiano in P un contatto del secondo
ordine (almeno) sono :
Questo sistema di tre equazioni nelle tre incognite a , b , c ha soluzioni non
tutte nulle quando vale :
(la prima riga è stata ottenuta dalla differenza fra il piano generico e la prima
equazione del sistema).
Questa è appunto l’equazione del piano osculatore nel punto P .
Risolvendo il determinante si ottiene :
Si noti che, affinché il piano sia determinato, occorre che i coefficienti del
piano non siano tutti nulli. Ciò equivale a che non siano tutti nulli i minori
del secondo ordine estratti dalla seconda e terza riga del determinante
ovvero che la matrice formata dalla seconda e terza riga del determinante
abbia rango 2 . Nel caso contrario, il piano osculatore non è determinato.
Se il piano ha un contatto del terzo ordine (almeno) con la curva nel punto
P si dice che il piano osculatore è stazionario.
Le condizioni perché un piano sia stazionario sono :
dove non tutti i minori del secondo ordine estratti dalle prime due righe sono
nulli (per evitare che vi sia un flesso (vedi paragrafo seguente)).
Una curva piana ha i propri piani osculatori coincidenti con il piano su cui giace
la curva.
Una curva i cui piani osculatori sono stazionari, è una curva piana.
- 4 - punti di flesso
Un punto semplice P di una curva è un punto di flesso (o punto di inflessione)
se la retta tangente in quel punto alla curva ha con essa un contatto del secondo
ordine (almeno).
La tangente alla curva in un suo punto di flesso si chiama tangente d’inflessione
e se il contatto della curva con essa è esattamente del secondo ordine il flesso si
dice ordinario.
In un punto di flesso di una curva i piani passanti per la tangente di inflessione
hanno tutti un contatto del secondo ordine (almeno) (ciò deriva dalla definizione
di contatto fra curva e superficie) per cui, essendo detti piani infiniti, in un punto
di flesso il piano osculatore è indeterminato.
Questa considerazione ci fa pervenire alla condizione di flesso :
dove la curva ha la usuale equazione parametrica e dove le derivate prime
non devono essere tutte nulle (il punto di flesso deve essere un punto semplice).
Se la curva ha equazioni
(cioè si ha
x = u ) le condizioni di flesso
sono :
Se i punti di una curva sono tutti punti di flesso, come nel caso di R² , la curva
è una retta.
- 5 - triedro principale
Consideriamo un punto P semplice ordinario di una curva. Le rette perpendicolari
alla tangente passanti per P formano il piano normale alla curva in P . Ognuno
di queste rette si chiama normale alla curva in P . Fra queste, la normale giacente
sul piano osculatore si chiama normale principale alla curva in P (ed è la retta
intersezione fra il piano osculatore ed il piano normale). La normale alla curva in
P perpendicolare al piano osculatore si chiama binormale. Il piano individuato
dalla tangente e dalla binormale si chiama piano rettificante.
Nel punto P (semplice ed ordinario) la tangente, la normale principale e la
binormale formano un triedro trirettangolo le cui facce sono il piano normale,
il piano rettificante ed il piano osculatore.
Questo triedro si chiama il triedro principale della curva nel punto P .
Il triedro principale può essere utile quando si studia il comportamento di una
curva nell’intorno di un suo punto P . Infatti, se si sceglie un sistema di riferimento
centrato nel punto P e con gli assi coincidenti con le rette tangente, normale
principale e binormale alla curva in P , gli sviluppi in serie di Taylor con punto
iniziale in P delle equazioni parametriche che determinano la curva risultano
particolarmente semplici.
Scegliendo l’asse delle x coincidente con la retta tangente alla curva in P ,
l’asse delle y coincidente con la normale principale e l’asse delle z con la
binormale (attenzione agli orientamenti dei tre assi ! essi devono essere tali
da riprodurre un normale sistema tridimensionale di assi cartesiani ortogonali),
la curva di equazione
sviluppata in serie di Taylor
rispetto
all’origine P è
e quindi, applicando le
condizioni di contatto con gli assi, si perviene al risultato (omettiamo
la dimostrazione) :
Questa è l’equazione di una curva rispetto al triedro principale centrato
in un suo punto (sviluppata in serie di Taylor rispetto al punto stesso).
- 6 - cerchio osculatore
Il concetto di cerchio osculatore in R³ è analogo a quello in R² . Il cerchio
osculatore ad una curva in un suo punto semplice ordinario è, quindi, la
circonferenza che ha con la curva in quel punto un contatto del secondo
ordine (almeno).
Per determinare l’equazione del cerchio osculatore nel punto P è sufficiente
considerare l’intersezione fra le infinite sfere osculatrici alla curva in P con il
piano osculatore in P e prendere la circonferenza che ha il centro che giace
sul piano osculatore.
Data la complessità dei calcoli, conviene riferirsi al triedro principale in P .
La generica sfera ha equazione
.
La curva, rispetto alle coordinate del triedro principale ha equazione
per cui, sostituendo, si ottiene
.
Applicando le condizioni di contatto in P (che è l’origine O del sistema di
riferimento del triedro principale) F(0) = 0 , F ‘ (0) = 0 ed F ‘’ (0) = 0 si
ottiene
.
Dovendo il centro del cerchio osculatore stare sul piano osculatore, ovvero
sul piano z = 0, deve essere
. Si ottiene quindi che il centro ed il raggio
del cerchio oscuralore sono :
- 7 - flessione
L’inverso del raggio del cerchio osculatore ad una curva in un suo punto
semplice ordinario si chiama flessione o prima curvatura della curva in
quel punto.
Questa definizione è analoga a quella data per le curve in R² ed inoltre,
come per le suddette curve, esiste un’altra definizione di flessione equivalente
alla precedente.
Consideriamo su di una curva i punti semplici ed ordinari P e P’ e definiamo
come verso positivo della curva quello che si ottiene al crescere del parametro
u dell’equazione parametrica della curva stessa. Consideriamo le tangenti alla
curva in P e P’ . Esse si considerano orientate coerentemente all’orientazione
della curva. L’angolo formato dalle semirette positive appartenenti alle due
tangenti si chiama curvatura dell’arco PP’ . Il rapporto fra la curvatura
dell’arco PP’ e la sua lunghezza si chiama curvatura media dell’arco PP’ .
Si chiama flessione o prima curvatura della curva nel punto P il limite
a cui tende la curvatura media quando P’ tende a P . (Omettiamo la
dimostrazione dell’equivalenza delle due definizioni di flessione).
- 8 - torsione
Analogamente al concetto di flessione si può definire il concetto di torsione
considerando però la binormale (invece della tangente).
Consideriamo su di una curva i punti semplici ed ordinari P e P’ e definiamo
come verso positivo della curva quello che si ottiene al crescere del parametro
u dell’equazione parametrica della curva stessa. Consideriamo le binormali
alla curva in P e P’ . Esse si considerano orientate positivamente coerentemente
ai sistemi di assi cartesiani costruiti sui triedri principali in P e P’ avendo definito
il verso positivo delle tangenti confacente col verso positivo della curva (il verso
positivo delle normali principali in P e P’ li si può prendere dalla parte in cui sta
la curva rispetto ad i piani rettificanti).
L’angolo formato dalle semirette positive poste sulle binormali si chiama torsione
dell’arco PP’ . Il rapporto fra la torsione dell’arco PP’ e la sua lunghezza si
chiama torsione media dell’arco PP’ . Si chiama torsione o seconda curvatura
della curva nel punto P il limite a cui tende la torsione media quando P’ tende a P .
Continua …
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