E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Geometria differenziale (3' parte)


Prendiamo qui in considerazioni le principali proprietà delle curve sghembe.

09 – Curve in R³.

Segnaliamo le seguenti importanti nozioni  :

        - 1 -         punti notevoli

                        Consideriamo un punto  P  di una curva di    ed un generico piano passante 
                        per esso. Il piano interseca la curva in uno o più punti fra cui il punto  P  contato 
                        uno o più volte.

                        Quando in  P  cade una sola intersezione della curva col piano generico si dice 
                        che  P  è un punto semplice.

                        Se invece in  P  cadono  s  intersezioni  (s > 1)   si dice che  P  è  un punto 
                         multiplo di molteplicità  s . In particolare se  s = 2  il punto si dice doppio, se  
                        s = 3 si dice triplo ecc.

                        Se  P  è un punto semplice della curva, la retta tangente alla curva in  P  è la 
                        retta che ha un contatto con essa del primo ordine (almeno).

                        Se  P  è un punto semplice della curva, per esso passano infiniti piani aventi 
                        con la curva in  P  due intersezioni coincidenti. Detti piani si dicono piani 
                         tangenti alla curva in  P  e formano un fascio il cui asse coincide con la retta 
                        tangente alla curva in  P .

                        Quando la retta tangente alla curva nel punto semplice  P  ha con essa un 
                        contatto esattamente del primo ordine, il punto  P  si dice semplice ordinario  
                        (o regolare). Un punto che non sia ordinario si dice singolare.

                        I punti multipli sono punti singolari.

                        Per le curve trascendenti vi sono poi altri punti singolari dovuti alle problematiche 
                        di continuità e derivabilità. Non considereremo simili singolarità.

                        Supponiamo che  P  sia un punto doppio della curva di equazioni parametriche  
                        . Il piano generico passante per  P  ha equazione   
                        Le intersezioni fra la curva ed il piano si ottengono risolvendo il sistema che  
                        conduce, sostituendo, all’equazione    . Per 
                        il punto  P  (essendo  P  doppio) vi saranno due valori di  u  che forniscono 
                        le coordinate di  P . Siano questi valori  .

                        Se   , il punto  P  è origine di due rami della curva e per ciascun 
                        ramo si ha un fascio di piani tangenti ed una tangente (asse del fascio di 
                        piani tangenti). Quando le due tangenti sono distinte, il punto doppio  P  
                        si chiama nodo se le tangenti sono reali (se    sono reali distinti) o 
                         punto isolato se le tangenti sono immaginarie (se    sono complessi 
                        coniugati). Se invece le due tangenti coincidono si ha una singolarità più 
                        complessa (nodo di specie superiore).

                        Se   , si ha   per ogni valore di  a, b, c  
                        (basta sviluppare in serie di Taylor  f, g, ed  h  con punto iniziale   , sostituire 
                        nell’equazione del piano e considerare che di debbono avere soluzioni di 
                        molteplicità  2  per ogni piano passante per  P ) per cui si deve avere  
                        . Il punto doppio  P  è allora origine di un solo 
                        ramo e si chiama cuspide (come per le curve piane). Vi è allora un solo fascio 
                        di piani tangenti in  P  con asse     coincidente 
                        con la tangente cuspidale (la dimostrazione proviene da una continuazione del 
                        procedimento precedentemente indicato).

        - 2 -         retta tangente

                        La retta tangente alla curva di equazione   nel punto    
                        corrispondente al valore   del parametro  u  è la seguente :

                                

                        dovendo la retta e la curva avere un contatto del primo ordine (almeno). 
                        Questa formula è valida solo per i punti in cui le tre derivate prime delle 
                        funzioni che costituiscono l’equazione parametrica della curva non sono 
                        tutte nulle. Quando il punto di contatto è un punto semplice ciò è assicurato.

        - 3 -         piano osculatore

                        Il piano con cui una curva ha in un suo punto semplice ed ordinario un contatto 
                        del secondo ordine (almeno) si chiama piano osculatore.

                        Sia    l’equazione parametrica della curva e    un suo 
                        punto (semplice ed ordinario) corrispondente al valore   del parametro  u . 
                        Il piano generico passante per  P  ha equazione  .

                        Le condizioni perché il piano e la curva abbiano in  P  un contatto del secondo 
                        ordine (almeno) sono :

                                

                        Questo sistema di tre equazioni nelle tre incognite  a , b , c  ha soluzioni non 
                        tutte nulle quando vale :

                                

                        (la prima riga è stata ottenuta dalla differenza fra il piano generico e la prima 
                        equazione del sistema).

                        Questa è appunto l’equazione del piano osculatore nel punto  P .

                        Risolvendo il determinante si ottiene :

                                

                        Si noti che, affinché il piano sia determinato, occorre che i coefficienti del 
                        piano non siano tutti nulli. Ciò equivale a che non siano tutti nulli i minori 
                        del secondo ordine estratti dalla seconda e terza riga del determinante 
                        ovvero che la matrice formata dalla seconda e terza riga del determinante 
                        abbia rango  2 . Nel caso contrario, il piano osculatore non è determinato.

                        Se il piano ha un contatto del terzo ordine (almeno) con la curva nel punto  
                        P  si dice che il piano osculatore è stazionario.

                        Le condizioni perché un piano sia stazionario sono :

                                

                        dove non tutti i minori del secondo ordine estratti dalle prime due righe sono 
                        nulli (per evitare che vi sia un flesso (vedi paragrafo seguente)).

                        Una curva piana ha i propri piani osculatori  coincidenti con il piano su cui giace 
                        la curva.

                        Una curva i cui piani osculatori sono stazionari, è una curva piana.

        - 4 -         punti di flesso

                        Un punto semplice  P  di una curva è un punto di flesso (o punto di inflessione
                        se la retta tangente in quel punto alla curva ha con essa un contatto del secondo 
                        ordine (almeno).

                        La tangente alla curva in un suo punto di flesso si chiama tangente d’inflessione  
                        e se il contatto della curva con essa è esattamente del secondo ordine il flesso si 
                        dice ordinario.

                        In un punto di flesso di una curva i piani passanti per la tangente di inflessione 
                        hanno tutti un contatto del secondo ordine (almeno) (ciò deriva dalla definizione 
                        di contatto fra curva e superficie) per cui, essendo detti piani infiniti, in un punto 
                        di flesso il piano osculatore è indeterminato.

                        Questa considerazione ci fa pervenire alla condizione di flesso :

                                

                        dove la curva ha la usuale equazione parametrica e dove le derivate prime 
                        non devono essere tutte nulle (il punto di flesso deve essere un punto semplice).
                        Se la curva ha equazioni    (cioè si ha  x = u ) le condizioni di flesso 
                        sono :

                                

                        Se i punti di una curva sono tutti punti di flesso, come nel caso di  R² , la curva 
                        è una retta.

        - 5 -         triedro principale

                        Consideriamo un punto  P  semplice ordinario di una curva. Le rette perpendicolari 
                        alla tangente passanti per  P  formano il piano normale alla curva in P . Ognuno 
                        di queste rette si chiama normale alla curva in P . Fra queste, la normale giacente 
                        sul piano osculatore si chiama normale principale alla curva in P (ed è la retta 
                        intersezione fra il piano osculatore ed il piano normale). La normale alla curva in 
                        P  perpendicolare al piano osculatore si chiama binormale. Il piano individuato 
                        dalla tangente e dalla binormale si chiama piano rettificante.

                        

                        Nel punto  P  (semplice ed ordinario) la tangente, la normale principale e la 
                        binormale formano un triedro trirettangolo le cui facce sono il piano normale, 
                        il piano rettificante ed il piano osculatore.

                        Questo triedro si chiama il triedro principale della curva nel punto  P .

                        Il triedro principale può essere utile quando si studia il comportamento di una 
                        curva nell’intorno di un suo punto  P . Infatti, se si sceglie un sistema di riferimento 
                        centrato nel punto  P  e con gli assi coincidenti con le rette tangente,  normale 
                        principale e binormale alla curva in P  , gli sviluppi in serie di Taylor con punto 
                        iniziale in  P  delle equazioni parametriche che determinano la curva risultano 
                        particolarmente semplici.

                        Scegliendo l’asse delle  x  coincidente con la retta tangente alla curva in  P 
                        l’asse delle  y  coincidente con la normale principale e l’asse delle  z  con la 
                        binormale (attenzione agli orientamenti dei tre assi ! essi devono essere tali 
                        da riprodurre un normale sistema tridimensionale di assi cartesiani ortogonali),

                        

                        la curva di equazione    sviluppata in serie di Taylor rispetto 
                        all’origine  P  è   e quindi, applicando le 
                        condizioni di contatto con gli assi, si perviene al risultato (omettiamo 
                        la dimostrazione) :  

                                

                        Questa è l’equazione di una curva rispetto al triedro principale centrato 
                        in un suo punto (sviluppata in serie di Taylor rispetto al punto stesso).

        - 6 -         cerchio osculatore

                        Il concetto di cerchio osculatore in    è analogo a quello in  R² . Il cerchio 
                         osculatore ad una curva in un suo punto semplice ordinario è, quindi, la 
                        circonferenza che ha con la curva in quel punto un contatto del secondo 
                        ordine (almeno).

                        Per determinare l’equazione del cerchio osculatore nel punto  P  è sufficiente 
                        considerare l’intersezione fra le infinite sfere osculatrici alla curva in  P  con il 
                        piano osculatore in  P  e prendere la circonferenza che ha il centro che giace 
                        sul piano osculatore.

                        Data la complessità dei calcoli, conviene riferirsi al triedro principale in  P .

                        La generica sfera ha equazione   
                        La curva, rispetto alle coordinate del triedro principale ha equazione 
                         per cui, sostituendo, si ottiene  
                         .

                        Applicando le condizioni di contatto in  P  (che è l’origine  O  del sistema di 
                        riferimento del triedro principale)  F(0) = 0  ,  F ‘ (0) = 0  ed  F ‘’ (0) = 0  si 
                        ottiene   .

                        Dovendo il centro del cerchio osculatore stare sul piano osculatore, ovvero 
                        sul piano  z = 0, deve essere  . Si ottiene quindi che il centro ed il raggio 
                        del cerchio oscuralore sono :

                                

        - 7 -         flessione

                        L’inverso del raggio del cerchio osculatore ad una curva in un suo punto 
                        semplice ordinario si chiama flessione o prima curvatura della curva in 
                        quel punto.

                        Questa definizione è analoga a quella data per le curve in  R² ed inoltre, 
                        come per le suddette curve, esiste un’altra definizione di flessione equivalente 
                        alla precedente.

                        Consideriamo su di una curva i punti semplici ed ordinari  P  e  P’  e definiamo 
                        come verso positivo della curva quello che si ottiene al crescere del parametro  
                        u  dell’equazione parametrica della curva stessa. Consideriamo le tangenti alla 
                        curva in  P  e  P’ . Esse si considerano orientate coerentemente all’orientazione 
                        della curva. L’angolo formato dalle semirette positive appartenenti alle due 
                        tangenti si chiama curvatura dell’arco  PP’ . Il rapporto fra la curvatura 
                        dell’arco  PP’  e la sua lunghezza si chiama curvatura media dell’arco  PP’ . 
                        Si chiama flessione o prima curvatura della curva nel punto  P  il limite 
                        a cui tende la curvatura media quando  P’  tende a  P . (Omettiamo la 
                        dimostrazione dell’equivalenza delle due definizioni di flessione).

        - 8 -         torsione

                        Analogamente al concetto di flessione si può definire il concetto di torsione 
                        considerando però la binormale (invece della tangente).

                        Consideriamo su di una curva i punti semplici ed ordinari  P  e  P’  e definiamo 
                        come verso positivo della curva quello che si ottiene al crescere del parametro  
                        u  dell’equazione parametrica della curva stessa. Consideriamo le binormali 
                        alla curva in  P  e  P’ . Esse si considerano orientate positivamente coerentemente 
                        ai sistemi di assi cartesiani costruiti sui triedri principali in  P  e  P’  avendo definito 
                        il verso positivo delle tangenti confacente col verso positivo della curva (il verso 
                        positivo delle normali principali in  P  e  P’  li si può prendere dalla parte in cui sta 
                        la curva rispetto ad i piani rettificanti).

                        L’angolo formato dalle semirette positive poste sulle binormali si chiama torsione 
                        dell’arco  PP’ . Il rapporto fra la torsione dell’arco  PP’  e la sua lunghezza si 
                        chiama torsione media dell’arco  PP’ . Si chiama torsione o seconda curvatura  
                        della curva nel punto  P  il limite a cui tende la torsione media quando  P’  tende a  P .

Continua …

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