Geometria analitica
Geometria differenziale (2' parte)
Proseguiamo ora approfondendo le principali proprietà di curve e superficie dal punto di vista
della geometria differenziale. L’idea di base è quella di “esplorare” una curva od una superficie
utilizzando il concetto di contatto che, essendo definito a partire dallo sviluppo in serie di Taylor,
permette di studiare l’andamento di una curva o di una superficie nell’intorno di un punto.
08 – Curve in R².
.Segnaliamo le seguenti importanti nozioni :
- 1 - punti semplici e multipli
Un punto della curva di equazione f(x , y) = 0 in cui il gradiente non è nullo
si chiama punto semplice . Nel caso contrario, il punto si dice multiplo. La
definizione qui data sarà approfondita ed ampliata nel successivo paragrafo
sui punti multipli.
- 2 - punti ordinari e singolari
La retta tangente alla curva in un suo punto semplice è la retta che ha con la
curva in quel punto un contatto del 1’ ordine (almeno).
Se la tangente alla curva in un suo punto semplice ha esattamente un contatto
di ordine 1 si dice che quel punto è un punto ordinario (o regolare). Ogni
altro punto è un punto singolare.
I punti multipli sono punti singolari.
Per le curve trascendenti vi sono poi altri punti singolari dovute alle problematiche
di continuità e derivabilità. Non considereremo simili singolarità.
- 3 - punti di flesso
Un punto semplice della curva in cui la tangente ha un contatto del 2’
ordine (almeno) si chiama flesso (o punto di inflessione). La tangente
alla curva in un punto di flesso si chiama tangente d’inflessione. Se
la tangente in un punto di flesso ha esattamente un contatto del 2’ ordine,
il flesso si chiama ordinario.
Un flesso è un punto semplice ma singolare.
Le condizioni per cui un punto è un flesso sono le seguenti :
sia
un punto semplice della curva
di equazione parametrica
corrispondente al valore 
. Sia
la generica retta passante per P . Affinché P sia un flesso occorre che la retta
e la curva abbiano in P un contatto del secondo ordine (almeno). Ciò è vero se,
considerando la funzione
, si verifica che
. Perché
a e
b non siano entrambi nulli
occorre che il determinate del sistema sia nullo per cui si deve avere :
.
Questa è la condizione perché P sia un flesso. A questa condizione vanno
naturalmente aggiunte le condizioni perché il sistema sia consistente, per
esempio che non si verifichi che
ecc.
Risolvendo la suddetta equazione si trovano i valori di u corrispondenti ai
punti di flesso della curva.
Se la curva è data in forma esplicita y = f(x) , la condizione di flesso è
(basta porre x = u) :
.
Si noti che una curva i cui punti sono tutti punti di flesso è una retta. Infatti se
f ’’(x) = 0 deve essere f ’(x) = m e quindi f(x) = mx + p (m e p sono
costanti).
- 4 - cerchio osculatore
La circonferenza che ha in un punto semplice ordinario P di una curva un
contatto del 2’ ordine (almeno) si chiama cerchio osculatore.
Sia
la curva in questione e
un suo punto semplice
ordinario corrispondente al valore
. La circonferenza generica ci centro
C(a , b) e raggio R ha equazione
.
Le condizioni per il contatto del 2’ ordine in P si ottengono considerando la
funzione di u
e ponendo
ovvero
. Risolvendo
questo sistema si ottiene :
dove le derivate sono calcolate in
. Questa formula determina i
parametri del cerchio osculatore. Il cerchio osculatore non esiste nel caso
in cui i denominatori si annullano, ovvero nei punti di flesso.
Se la curva è data in forma esplicita y = f(x) , si ottiene (basta porre x = u) :
.
- 5 - curvatura
L’inverso del raggio del cerchio osculatore ad una curva in un punto è la
curvatura della curva in quel punto.
Esiste un’altra definizione di curvatura :
si chiama curvatura dell’arco PP’ l’ampiezza dell’angolo
differenza
degli angoli α’ ed α formati dalle tangenti alla curva nei punti P e P’ rispetto
al semiasse positivo Ox (misurati in senso antiorario). Il rapporto
fra la
curvatura dell’arco e la lunghezza dell’arco stesso è detta curvatura media
dell’arco PP’ .
Il limite
si chiama curvatura della
curva nel punto P .
Le due definizioni di curvatura sono equivalenti (omettiamo la dimostrazione).
Si noti che la curvatura di una circonferenza è costante in ogni suo punto ed
equivale, ovviamente, all’inverso del raggio.
La curvatura in un punto di flesso non esiste perché il denominatore del raggio
del cerchio osculatore è nullo. Considerato al limite, il raggio del cerchio osculatore
in un punto di flesso è infinito, per cui la curvatura in esso è nulla.
Una retta ha curvatura nulla in ogni suo punto.
- 6 - punti multipli
Il punto P della curva f(x , y) = 0 è un punto multiplo quando entrambe le
derivate prime parziali della funzione f calcolate in P sono nulle.
Più precisamente, il punto P è un punto multiplo di molteplicità s se la
generica retta passante per P determina in P una soluzione s-esima, ovvero
se risolvendo il sistema fra la curva e la retta generica passante per P , in P
si ha una soluzione ripetuta s volte.
Se la soluzione è singola, il punto è semplice.
Le condizioni analitiche perché un punto sia di molteplicità s si determinano
nel seguente modo.
Tramite lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale
l’equazione
della curva f(x , y) = 0 può essere scritta come
dove l’espressione simbolica
significa :
dove le derivate parziali sono calcolate in P .
La retta generica passante per P ha equazione
.
Facendo l’intersezione fra la curva e la retta, sostituendo e ricordando che
si ottiene :
Se le derivate parziali fossero tutte nulle fino all’ordine s - 1 si otterrebbe :
da cui, raccogliendo, si otterrebbe
.
Perché in P vi sia una radice s-esima occorre dunque che siano tutte nulle le
derivate parziali di f(x , y) in P fino all’ordine s - 1 e viceversa.
Riassumendo, un punto della curva f(x , y) = 0 ha molteplicità s se in esso
si annulla la funzione f(x , y) e si annullano tutte le derivate parziali fino
all’ordine s –1 mentre quelle di ordine s non sono tutte nulle.
Si noti che fra le derivate di ordine > 1 devono essere considerate anche
tutte le derivate miste. Per esempio, se l’ordine è 3 , le derivate sono
.
Un punto di molteplicità 1 si chiama punto semplice (confrontare con la
definizione data in precedenza), un punto di molteplicità 2 si chiama punto
doppio, un punto di molteplicità 3 si chiama punto triplo ecc.
Consideriamo ora le rette tangenti alla curva in un suo punto multiplo. Affinché
una retta sia tangente alla curva in un suo punto multiplo di molteplicità s si deve
avere almeno molteplicità s + 1 nelle soluzioni del sistema fra retta e curva.
Ciò significa che si deve avere :
Risolvendo questa equazione in k si ottengono le s tangenti alla curva nel
punto multiplo di molteplicità s . Queste soluzioni danno luogo a tangenti distinte,
coincidenti od immaginarie.
Quando le s tangenti sono tutte distinte, il punto multiplo si dice ordinario.
Se il punto è semplice, la formula si riduce a quella già vista nel capitolo
precedente.
Si noti che si perdono le tangenti parallele all’asse delle y in quanto in
questo caso k diventa infinito.
- 7 - punti doppi
Un punto
della curva
f(x , y) = 0 è un punto doppio se si ha
mentre le derivate di ordine
2 non sono tutte nulle (in
P ).
Le rette tangenti (del tipo
) nel punto doppio
P alla curva
si ricavano dall’equazione
che è una equazione di
secondo grado in k . Le possibili soluzioni sono reali distinte, reali coincidenti o
complesse coniugate.
Nel primo caso (rette tangenti reali e distinte) il punto doppio si chiama nodo.
Esempio :
il nodo si trova in O e le due tangenti sono gli assi cartesiani (la tangente
x = 0 corrisponde a k = ∞ e non è fornita dalla soluzione dell’ equazione
che dà le tangenti). (L’imprecisione grafica dipende dal metodo numerico
utilizzato).
Nel secondo caso (rette tangenti reali e coincidenti) il punto doppio si chiama
cuspide e la tangente in esso si chiama tangente cuspidale. Esempio :
le due tangenti y = 0 sono coincidenti. (L’imprecisione grafica dipende dal
metodo numerico utilizzato).
Nel terzo caso (rette tangenti immaginarie) il punto doppio si dice isolato.
In questo caso le rette tangenti non sono disegnabili sul grafico.
- 8 - asintoti
Data la curva di equazione parametrica
se si verifica che per
(da destra o da sinistra), oppure
per
, oppure per
,
la x o la y dell’equazione diverge si dice che il punto corrispondente è
un punto all’infinito (o improprio).
Una retta si dice che è un asintoto della curva nel punto all’infinito
corrispondente al valore
(da destra o da sinistra),
o 
, o
, se la distanza fra la curva e l’asintoto tende a zero al tendere di
u a quel valore.
Se l’asintoto ha equazione
(gli asintoti del tipo
x = k devono
essere considerati a parte) l’espressione della distanza fra un punto P della
curva e l’asintoto stesso è
. Essa deve tendere a zero al
tendere di u al valore corrispondente al punto all’infinito a cui l’asintoto si
riferisce.
I valori m e p dell’asintoto vengono definiti dalle seguenti formule (omettiamo
la dimostrazione) :
(analogamente per gli altri casi).
- 9 - curva inviluppo
Data una famiglia di curve di equazione f(x , y , u) = 0 si chiama curva
inviluppo della famiglia la curva i cui punti sono tutti punti di tangenza fra
le curve della famiglia e la curva inviluppo stessa.
In altre parole, ogni curva della famiglia è tangente ad un punto (almeno)
della curva inviluppo. Al variare del parametro u viene individuata una
curva specifica della famiglia. Questa curva è tangente in un punto (almeno)
alla curva inviluppo.
La curva inviluppo della famiglia di curve di equazione f(x , y , u) = 0 , se
esiste, è determinata dal sistema :
Al variare di u si individua un punto (almeno) di intersezione fra le due
curve del sistema. Questo punto disegna la curva inviluppo della famiglia.
La prima equazione del sistema è ovvia. La seconda equazione si dimostra
nel modo seguente.
Vogliamo trovare la curva inviluppo nella forma parametrica
.
Un generico valore di u individua una curva della famiglia ed il punto stesso
di tangenza nella curva inviluppo (con questa ultima affermazione non si perde
generalità).
Applicando le condizioni di tangenza si ottiene
dalla
cui seconda equazione si ricava
.
La tangente alla curva della famiglia corrispondente ad u è
mentre la tangente alla curva
inviluppo nel
medesimo punto (corrispondente al medesimo valore u ) è
.
Le due tangenti coincidono per cui si ricava
che
sostituita nella formula precedente fornisce
come inizialmente affermato.
Continua …
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