E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Geometria differenziale (2' parte)


Proseguiamo ora approfondendo le principali proprietà di curve e superficie dal punto di vista 
della geometria differenziale. L’idea di base è quella di “esplorare” una curva od una superficie 
utilizzando il concetto di contatto che, essendo definito a partire dallo sviluppo in serie di Taylor, 
permette di studiare l’andamento di una curva o di una superficie nell’intorno di un punto.

08 – Curve in R².

.Segnaliamo le seguenti importanti nozioni  :

        - 1 -         punti semplici e multipli

                        

                        Un punto della curva di equazione  f(x , y) = 0  in cui il gradiente non è nullo 
                        si chiama punto semplice . Nel caso contrario, il punto si dice multiplo. La 
                        definizione qui data sarà approfondita ed ampliata nel successivo paragrafo 
                        sui punti multipli.

        - 2 -         punti ordinari e singolari

                        

                        La retta tangente alla curva in un suo punto semplice è la retta che ha con la 
                        curva in quel punto un contatto del  1’ ordine (almeno).

                        Se la tangente alla curva in un suo punto semplice ha esattamente un contatto 
                        di ordine  1  si dice che quel punto è un punto ordinario (o regolare). Ogni 
                        altro punto è un punto singolare.

                        I punti multipli sono punti singolari.

                        Per le curve trascendenti vi sono poi altri punti singolari dovute alle problematiche 
                        di continuità e derivabilità. Non considereremo simili singolarità.

        - 3 -         punti di flesso

                        

                        Un punto semplice della curva in cui la tangente ha un contatto del  2’  
                        ordine (almeno) si chiama flesso (o punto di inflessione). La tangente 
                        alla curva in un punto di flesso si chiama tangente d’inflessione. Se 
                        la tangente in un punto di flesso ha esattamente un contatto del  2’  ordine, 
                        il flesso si chiama ordinario.

                        Un flesso è un punto semplice ma singolare.

                        Le condizioni per cui un punto è un flesso sono le seguenti :

                        sia    un punto semplice della curva  di equazione parametrica  
                         corrispondente al valore   . Sia    
                        la generica retta passante per  P . Affinché  P  sia un flesso occorre che la retta 
                        e la curva abbiano in  P  un contatto del secondo ordine (almeno). Ciò è vero se, 
                        considerando la funzione   , si verifica che 
                         . Perché  a  e   b  non siano entrambi nulli 
                        occorre che il determinate del sistema sia nullo per cui si deve avere :

                                 .

                        Questa è la condizione perché  P  sia un flesso. A questa condizione vanno 
                        naturalmente aggiunte le condizioni perché il sistema sia consistente, per 
                        esempio che non si verifichi che   ecc.

                        Risolvendo la suddetta equazione si trovano i valori di  u  corrispondenti ai 
                        punti di flesso della curva.

                        Se la curva è data in forma esplicita  y = f(x) , la condizione di flesso è 
                        (basta porre  x = u) :

                                 .

                        Si noti che una curva i cui punti sono tutti punti di flesso è una retta. Infatti se  
                        f ’’(x) = 0  deve essere  f ’(x) = m  e quindi  f(x) = mx + p  (m  e  p  sono 
                        costanti).

        - 4 -         cerchio osculatore

                        

                        La circonferenza che ha in un punto semplice ordinario P  di una curva un 
                        contatto del 2’ ordine (almeno) si chiama cerchio osculatore.

                        Sia   la curva in questione e    un suo punto semplice 
                        ordinario corrispondente al valore  . La circonferenza generica ci centro  
                        C(a , b)  e raggio  R  ha equazione    .

                        Le condizioni per il contatto del  2’  ordine in  P  si ottengono considerando la 
                        funzione di  u   e ponendo  
                         ovvero 
                         . Risolvendo 
                        questo sistema si ottiene :

                                

                        dove le derivate sono calcolate in   . Questa formula determina i 
                        parametri del cerchio osculatore. Il cerchio osculatore non esiste nel caso 
                        in cui i denominatori si annullano, ovvero nei punti di flesso.

                        Se la curva è data in forma esplicita  y = f(x) , si ottiene (basta porre  x = u) :

                                 .

        - 5 -         curvatura

                        L’inverso del raggio del cerchio osculatore ad una curva in un punto è la 
                         curvatura della curva in quel punto.

                        Esiste un’altra definizione di curvatura :

                       

                        si chiama curvatura dell’arco  PP’  l’ampiezza dell’angolo   differenza 
                        degli angoli  α’  ed  α  formati dalle tangenti alla curva nei punti  P  e  P’  rispetto 
                        al semiasse positivo  Ox  (misurati in senso antiorario). Il rapporto    fra la 
                        curvatura dell’arco e la lunghezza dell’arco stesso è detta curvatura media  
                        dell’arco  PP’ .

                        Il limite   si chiama curvatura della curva nel punto  P .

                        Le due definizioni di curvatura sono equivalenti (omettiamo la dimostrazione).

                        Si noti che la curvatura di una circonferenza è costante in ogni suo punto ed 
                        equivale, ovviamente, all’inverso del raggio.

                        La curvatura in un punto di flesso non esiste perché il denominatore del raggio 
                        del cerchio osculatore è nullo. Considerato al limite, il raggio del cerchio osculatore 
                        in un punto di flesso è infinito, per cui la curvatura in esso è nulla.

                         Una retta ha curvatura nulla in ogni suo punto.

        - 6 -         punti multipli

                        Il punto  P  della curva  f(x , y) = 0  è un punto multiplo quando entrambe le 
                        derivate prime parziali della funzione  f  calcolate in  P  sono nulle.

                        Più precisamente, il punto  P  è un punto multiplo di molteplicità  s  se la 
                        generica retta passante per  P  determina in  P  una soluzione s-esima, ovvero 
                        se  risolvendo il sistema fra la curva e la retta generica passante per  P , in  P  
                        si ha una soluzione ripetuta  s  volte.

                        Se la soluzione è singola, il punto è semplice.

                        Le condizioni analitiche perché un punto sia di molteplicità  s  si determinano 
                        nel seguente modo.

                        Tramite lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale    l’equazione 
                        della curva  f(x , y) = 0  può essere scritta come  
                          
                        dove l’espressione simbolica     significa :

                                

                        dove le derivate parziali sono calcolate in  P .

                        La retta generica passante per  P  ha equazione   .

                        Facendo l’intersezione fra la curva e la retta, sostituendo e ricordando che  
                         si ottiene :

                                

                        Se le derivate parziali fossero tutte nulle fino all’ordine  s - 1 si otterrebbe :

                                

                        da cui, raccogliendo, si otterrebbe   .

                        Perché in  P  vi sia una radice s-esima occorre dunque che siano tutte nulle le 
                        derivate parziali di  f(x , y)  in  P  fino all’ordine  s - 1  e viceversa.

                        Riassumendo, un punto della curva  f(x , y) = 0  ha molteplicità  s  se in esso 
                        si annulla la funzione    f(x , y)  e si annullano tutte le derivate parziali fino 
                        all’ordine  s –1  mentre quelle di ordine  s  non sono tutte nulle.

                        Si noti che fra le derivate di ordine  > 1  devono essere considerate anche 
                        tutte le derivate miste. Per esempio, se l’ordine è  3  , le derivate sono  
                         .

                        Un punto di molteplicità  1  si chiama punto semplice (confrontare con la 
                        definizione data in precedenza), un punto di molteplicità  2  si chiama punto 
                        doppio, un punto di molteplicità 3 si chiama punto triplo ecc.

                                

                        Consideriamo ora le rette tangenti alla curva in un suo punto multiplo. Affinché 
                        una retta sia tangente alla curva in un suo punto multiplo di molteplicità  s  si deve 
                        avere almeno molteplicità  s + 1  nelle soluzioni del sistema fra retta e curva.

                        Ciò significa che si deve avere :

                                

                        Risolvendo questa equazione in  k  si ottengono le  s  tangenti alla curva nel 
                        punto multiplo di molteplicità  s  . Queste soluzioni danno luogo a tangenti distinte, 
                        coincidenti od immaginarie.

                        Quando le  s  tangenti sono tutte distinte, il punto multiplo si dice ordinario.

                        Se il punto è semplice, la formula si riduce a quella già vista nel capitolo 
                        precedente.

                        Si noti che si perdono le tangenti parallele all’asse delle  y  in quanto in 
                        questo caso  k  diventa infinito.

        - 7 -         punti doppi

                        Un punto   della curva  f(x , y) = 0  è un punto doppio se si ha  
                          mentre le derivate di ordine  2  non sono tutte nulle (in  P ).

                        Le rette tangenti (del tipo   ) nel punto doppio  P  alla curva 
                        si ricavano dall’equazione    che è una equazione di 
                        secondo grado in  k . Le possibili soluzioni sono reali distinte, reali coincidenti o 
                        complesse coniugate.

                        Nel primo caso (rette tangenti reali e distinte) il punto doppio si chiama nodo
                        Esempio :

                       

                       

                        il nodo si trova in  O  e le due tangenti sono gli assi cartesiani (la tangente  
                        x = 0  corrisponde a  k = ∞  e non è fornita dalla soluzione dell’ equazione 
                        che dà le tangenti). (L’imprecisione grafica dipende dal metodo numerico 
                        utilizzato).

                        Nel secondo caso (rette tangenti reali e coincidenti) il punto doppio si chiama 
                         cuspide e la tangente in esso si chiama tangente cuspidale. Esempio :

                       

                       

                        le due tangenti  y = 0  sono coincidenti. (L’imprecisione grafica dipende dal 
                        metodo numerico utilizzato).

                        Nel terzo caso (rette tangenti immaginarie) il punto doppio si dice isolato. 
                        In questo caso le rette tangenti non sono disegnabili sul grafico.

        - 8 -         asintoti

                        Data la curva di equazione parametrica    se si verifica che per  
                         (da destra o da sinistra), oppure per   , oppure per   
                        la  x  o  la  y  dell’equazione diverge si dice che il punto corrispondente è 
                        un punto all’infinito (o improprio).

                        Una retta si dice che è un asintoto della curva nel punto all’infinito 
                        corrispondente al valore   (da destra o da sinistra),  o   , o  
                        , se la distanza fra la curva e l’asintoto tende a zero al tendere di  
                        u  a quel valore. 

                        

                        Se l’asintoto ha equazione   (gli asintoti del tipo  x = k  devono 
                        essere considerati a parte) l’espressione della distanza fra un punto P della 
                        curva e l’asintoto stesso è   . Essa deve tendere a zero al 
                        tendere di  u  al valore corrispondente al punto all’infinito a cui l’asintoto si 
                        riferisce.

                        I valori  m  e  p  dell’asintoto vengono definiti dalle seguenti formule (omettiamo 
                        la dimostrazione) :

                                

                        (analogamente per gli altri casi).

        - 9 -         curva inviluppo

                        Data una famiglia di curve di equazione  f(x , y , u) = 0  si chiama curva 
                         inviluppo della famiglia la curva i cui punti sono tutti punti di tangenza fra 
                        le curve della famiglia e la curva inviluppo stessa.

                        In altre parole, ogni curva della famiglia è tangente ad un punto (almeno) 
                        della curva inviluppo. Al variare del parametro  u  viene individuata una 
                        curva specifica della famiglia. Questa curva è tangente in un punto (almeno) 
                        alla curva inviluppo.

                        La curva inviluppo della famiglia di curve di equazione  f(x , y , u) = 0  , se 
                        esiste, è determinata dal sistema :

                                

                        Al variare di  u  si individua un punto (almeno) di intersezione fra le due 
                        curve del sistema. Questo punto disegna la curva inviluppo della famiglia.

                        La prima equazione del sistema è ovvia. La seconda equazione si dimostra 
                        nel modo seguente.

                        Vogliamo trovare la curva inviluppo nella forma parametrica    
                        Un generico valore di  u  individua una curva della famiglia ed il punto stesso 
                        di tangenza nella curva inviluppo (con questa ultima affermazione  non si perde 
                        generalità).

                        Applicando le condizioni di tangenza si ottiene   dalla 
                        cui seconda equazione si ricava    .

                        La tangente alla curva della famiglia corrispondente ad  u  è   
                         mentre la tangente alla curva inviluppo nel 
                        medesimo punto (corrispondente al medesimo valore  u ) è    .

                        Le due tangenti coincidono per cui si ricava    che 
                        sostituita nella formula precedente fornisce   come inizialmente affermato.

Continua …

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