E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Geometria differenziale (1' parte)


Esponiamo qui alcuni concetti fondamentali di geometria differenziale, ovvero l’applicazione 
delle derivate a curve e superficie in    ed in  R³ (piano e spazio cartesiani, cioè spazi euclidei 
a  2  e  3  dimensioni dotati di sistemi di riferimento cartesiani ortogonali). Ci riferiremo in 
particolare ai concetti di contatto e di curvatura.

La materia verrà trattata più approfonditamente nel capitolo del “Calcolo differenziale assoluto” 
con la generalizzazione dei concetti alle geometrie non euclidee n-dimensionali (spazi di Riemann).

01 – Gradiente.

La formula fondamentale del calcolo differenziale esprime come varia una funzione al variare 
infinitesimo delle sue variabili.

Sia  data la funzione   con valori in   definita su un sottoinsieme di   
ed ivi continua e derivabile e sia    un dato punto  di  .

Consideriamo le  n  variazioni infinitesime delle variabili indipendenti    
in modo che si passi da    a 
La funzione  y  passerà allora dal valore    al valore  
 .

Orbene, la variazione dy  della funzione  (detta anche differenziale di  y) è espressa dalla 
formula fondamentale :



dove le derivate parziali sono calcolate nel punto    (omettiamo la 
dimostrazione).

La formula può essere scritta col formalismo vettoriale nel seguente modo :

        

dove  <>  indica il prodotto interno fra i vettori   e   .

Ponendo     e    , il differenziale di  y  si 
scrive più semplicemente :

        

Il vettore    si chiama gradiente della funzione  f  e può essere indicato anche con  grad f .

Il gradiente di una funzione è allora il vettore che ha come componenti le derivate parziali della 
funzione rispetto a tutte le variabili indipendenti calcolate in un dato punto.

Il concetto di gradiente è di fondamentale importanza nell’analisi e nella geometria differenziale. 
Esso si presta ad una interpretazione geometrica molto proficua.

Consideriamo il caso di  R² . Sia  f(x , y) = 0  una curva :

        

Partiamo dal punto    e diamo gli incrementi infinitesimi  dx  e  dy  alla  x  ed alla  y  
in modo da raggiungere il punto    anch’esso sulla curva (nel grafico, 
ovviamente, per ragione di “visibilità”, gli incrementi sono finiti).

La funzione  z = f(x , y)  vale  0  per tutti i punti della curva e quindi anche in  P  e  Q . Per 
questo motivo, l’incremento  dz  della funzione  z  nel passaggio da  P  a  Q  è nullo. 
Possiamo allora scrivere :

        

Il fatto che questo prodotto interno sia nullo (nel caso che il gradiente di  f  non sia nullo), 
significa che il gradiente di  f  è un vettore perpendicolare al vettore (dx , dy).  Siccome il 
vettore  (dx , dy)  coincide col segmento  PQ  che, essendo  Q  infinitamente vicino a  P , 
giace sulla tangente  t  alla curva nel punto  P  , si deduce che il vettore gradiente della 
funzione  f  è perpendicolare alla tangente alla curva passante per  P , ovvero è 
perpendicolare alla curva nel punto  P .

Questo risultato è di fondamentale importanza ed è naturalmente valido per ogni dimensione. 
In    , per esempio, la superficie  f(x , y , z) = 0  ha in ogni suo punto il vettore gradiente 
di  f  perpendicolare alla superficie medesima (al piano tangente alla superficie medesima).

02 – Retta tangente e retta normale ad una curva.

Consideriamo in    la curva di equazione  f(x , y) = 0  dove  z = f(x , y)  è definita su di un 
sottoinsieme di      ed è ivi continua e derivabile. Sia    un punto della curva. Si 
voglia trovare l’equazione della retta tangente  t  e della retta normale  n  alla curva nel 
punto  P (per retta normale ad una curva in un punto si intende la retta perpendicolare alla 
retta tangente alla curva nel punto dato). Graficamente :

        

L’equazione della retta generica passante per  P  è   . Il gradiente 
di  f  nel punto  P , se diverso da zero, è un vettore perpendicolare alla curva in  P . La retta 
passante per  O  e perpendicolare al suddetto gradiente di  f   ha equazione   
ovvero    (le derivate parziali sono calcolate ovviamente in P ). La retta 
tangente  t  cercata sarà allora :

        

(dove le derivate parziali sono calcolate in  P).

La retta normale  n  sarà di conseguenza :

        

(dove le derivate parziali sono calcolate in  P) essendo il prodotto dei coefficienti angolari 
di due rette perpendicolari uguali a  -1 .

Se l’equazione della curva è data in forma esplicita  y = f(x) , l’equazione della retta tangente  
t  risulterà (basta considerare l’equazione  y – f(x) = 0 ):

        

ovvero :

        

L’interpretazione geometrica di questa formula è molto importante : la derivata della funzione  
f  nel punto  P  eguaglia il coefficiente angolare  m  della retta  t  tangente alla curva in  P .

        

Questo dipende dal fatto che la derivata della funzione  f  in  P  è definita come :

            

che, per quanto riguarda la penultima uguaglianza, si basa sul fatto che il segmento  QH  
tende a coincidere col segmento  Q’H  con l’avvicinarsi di  Q  a  P (in altre parole la 
secante  PQ  tende alla tangente  t ).

L’equazione della retta normale  n  ancora nel caso di una curva in forma esplicita risulterà :

        

Nel caso in cui la curva sia posta in forma parametrica    , l’equazione della retta 
tangente nel punto corrispondente a     è (omettiamo la dimostrazione) :

        

In questo caso, l’equazione della retta normale alla curva nel punto corrispondente a   
è (omettiamo la dimostrazione) :

            

03 – Piano tangente e retta normale ad una superficie.

Consideriamo la superficie di    di equazione  f(x , y , z) = 0  dove  w = f(x , y , z)  è definita 
su di un sottoinsieme di    ed è ivi continua e derivabile. Sia    un punto della 
superficie. Si voglia trovare l’equazione del piano tangente  t  alla superficie in  P  e la retta 
normale  n  alla superficie in  P  (ovvero perpendicolare al piano tangente alla superficie in P ). 
Graficamente :

        

Il piano passante per  O  e perpendicolare al vettore gradiente di  f  in  P (supposto che esso 
non sia nullo) è    (le derivate parziali sono calcolate ovviamente in  P ). 
Il piano generico passante par  P  è    . Si deduce che il 
piano  t   tangente alla superficie in  P  è :

        

(le derivate parziali sono calcolate in  P ).

La retta  n  normale alla superficie in P  è in forma parametrica :

        

(le derivate parziali sono calcolate in  P ). Ciò si deduce dal fatto che la retta generica 
passante per  P  ha equazione     e che la retta passante per  O  e su cui giace 
il vettore gradiente di  f  in  P   è    (il vettore gradiente è considerato ovviamente 
applicato in  O  e le derivate parziali sono calcolate in  P ).

04 – Contatto fra due curve in R².

Consideriamo le due curve rappresentate dalle funzioni reali (ad un solo valore)  y = f(x)  e  
y = g(x)  continue e con derivate continue fino all’ordine che interessa. Supponiamo che 
esse passino per il punto  P  di ascissa   :

        

Sviluppando le due funzioni in serie di Taylor di punto iniziale     si ottiene :

        

Se si verifica che in  P  le funzioni e le loro derivate prime, seconde, …, ennesime hanno gli 
stessi valori, mentre le derivate di ordine  n + 1  sono diverse, si dice che le due curve hanno 
in  P  un contatto di ordine  n . Cioè :

        

Un contatto di ordine  0  in un punto significa semplicemente che le due curve si intersecano 
in quel punto.

Un contatto di ordine  > 0  in un punto significa che le due curve in quel punto hanno la stessa 
retta tangente. In questo caso si dice che le curve sono tangenti o si toccano. Ciò deriva dal 
fatto che la derivata prima in un punto eguaglia il coefficiente angolare della retta tangente alla 
curva in quel punto.

Due curve che hanno in un punto un contatto di ordine  2  si dice che si osculano.

Se le due curve hanno equazione   f(x , y) = 0  e   e si incontrano in  P  per 
le condizioni di contatto si hanno considerando la funzione    . Per un 
contatto di ordine  n  si deve avere (omettiamo la dimostrazione) :

        

Oltre alle normali condizioni di continuità e derivabilità, in questo caso si deve porre la 
condizione aggiuntiva che il gradienti di  f  non sia nullo nel punto  P  in quanto, se un 
gradiente è nullo in un punto, la tangente alla curva in quel punto non è determinata.

Se le due curve hanno equazione   f(x , y) = 0  e  y = g(x)  e si incontrano in  P  per   
, le condizioni di contatto si hanno considerando la funzione    
Per un contatto di ordine  n  si deve avere (omettiamo la dimostrazione) :

        

Come per il caso precedente, oltre alle solite condizioni di continuità e derivabilità, si deve 
porre la condizione aggiuntiva che il gradienti di  f  non sia nullo nel punto  P .

05 – Contatto fra due curve in R³.

Siano due curve in    di equazione    e    che si incontrano nel punto  
P  in corrispondenza del valore   (si tratta di curve ottenute intersecando due cilindri 
ma ciò non costituisce perdita di generalità). Siano le funzioni che costituiscono le equazioni 
delle curve tutte funzioni (ad un solo valore) continue e con derivate continue fino all’ordine 
desiderato. 

Si ha un contatto di ordine  n  in  P  se :

        

mentre almeno una delle derivate di ordine  n + 1  della prima curva è diversa dalla 
corrispondente della seconda.

Anche qui, se il contatto è di ordine  0  , le due curve si intersecano semplicemente. Se 
il contatto è di ordine  > 0 , le due curve sono tangenti (ad una medesima retta). Se il 
contatto è di secondo ordine si dice che le due curve si osculano.

06 – Contatto fra due superficie in R³.

Siano due superficie in    di equazione  z = f(x , y)  e  z = g(x , y)    che si incontrano nel 
punto  P  in corrispondenza dei valori   . Siano  f  e  g  funzioni (ad un solo 
valore) continue e con derivate parziali continue fino all’ordine desiderato. 

Si ha un contatto di ordine  n  in  P  se :

        

mentre almeno una delle derivate parziali di ordine  n + 1  della prima curva è diversa dalla 
corrispondente della seconda (il formalismo adottato per indicare le derivate parziali è 
autoesplicativo).

Anche qui, se il contatto è di ordine  0  , le due superficie si intersecano semplicemente. Se 
il contatto è di ordine  > 0 , le due superficie sono tangenti (ad un medesimo piano). Se il 
contatto è di secondo ordine si dice che le due superficie si osculano.

Se le due superficie hanno equazione   f(x , y , z) = 0  e   e si incontrano in  P  per   
, le condizioni di contatto si hanno considerando la funzione 
Per un contatto di ordine  n  si deve avere (omettiamo la dimostrazione) :

        

fino all’ordine  n  mentre almeno una derivata parziale di ordine  n + 1  è diversa da zero.

Oltre alle normali condizioni di continuità e derivabilità, in questo caso si deve porre la condizione 
aggiuntiva che il gradienti di  f  non sia nullo nel punto  P .

Se le due superficie hanno equazione   f(x , y , z) = 0  e  z = g(x , y)  e si incontrano in  P  per   
, le condizioni di contatto si hanno considerando la funzione   
Per un contatto di ordine  n  si deve avere (omettiamo la dimostrazione) :

        

fino all’ordine  n  mentre almeno una derivata parziale di ordine  n + 1  è diversa da zero.

Come per il caso precedente, oltre alle solite condizioni di continuità e derivabilità, si deve 
porre la condizione aggiuntiva che il gradienti di  f  non sia nullo nel punto  P .

07 – Contatto fra una curva ed una superficie in R³.

Una curva  c  ha un contatto di ordine  n  con una superficie  S  di    se esistono curve 
appartenenti ad  S  che abbiano con   c  un contatto di ordine  n .

Nel caso che la superficie abbia equazione  f(x , y , z) = 0  e la curva equazione   
(con le solite condizioni compresa la condizione che il gradiente di  f  non sia nullo nel punto 
di contatto) si perviene alla condizione per il contatto di ordine  n  (omettiamo la dimostrazione):

        

(le derivate sono effettuate rispetto ad  u  e calcolate in   ).

Anche qui, se il contatto è di ordine  0  , la curva e la superficie si intersecano semplicemente. 
Se il contatto è di ordine  > 0 , la curva e la superficie sono tangenti (ad un medesimo piano). 
Se il contatto è di secondo ordine si dice che curva e superficie si osculano.

In particolare, nel caso della tangenza, la retta tangente alla curva in  P  appartiene al piano 
tangente in  P  alla superficie (cioè tale retta è anche tangente in  P  alla superficie).

Se la superficie e la curva hanno rispettivamente equazione   f(x , y , z) = 0  e    
e si incontrano in  P  per   , le condizioni di contatto si hanno considerando la funzione   
 . Per un contatto di ordine  n  si deve avere (omettiamo la 
dimostrazione) :

            

Come per il caso precedente, oltre alle solite condizioni di continuità e derivabilità, si deve 
porre la condizione aggiuntiva che il gradienti di  f  non sia nullo nel punto  P .

Continua …

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