Analisi I
Funzioni reali notevoli
01 – Introduzione.
Presentiamo in questo capitolo alcune funzioni reali di notevole importanza. Esse costituiscono la
maggioranza delle funzioni di uso comune.
Daremo anche di ciascuna la derivata ed, ove possibile, la primitiva (enunciati senza dimostrazione).
02 – Funzione potenza.
La funzione definita da :
si chiama funzione potenza.
Il dominio della funzione potenza ed il suo comportamento dipendono dalla scelta dell’esponente a .
Consideriamo i possibili casi :
- 1 - a appartenente ad N à dominio = R
- 2 - -a appartenente ad N à dominio = R - {0}
- 3 - a appartenente ad R+ e non appartenente ad N à dominio = R+ U {0}
- 4 - -a appartenente ad R+ e non appartenente ad N à dominio = R+
Il comportamento della funzione potenza dipende dal tipo di esponente. Dagli esempi riportati
sotto si deduce in particolare il comportamento agli infiniti e in 0 .
La derivata della funzione potenza è :
La primitiva della funzione potenza è :
Esempi :
:
:
:
:
:
03 – Funzione esponenziale.
La funzione definita da :
si chiama funzione esponenziale. Il dominio della funzione esponenziale è tutto R ma
l’andamento dipende da a . Si hanno tre casi :
- 1 - 0 < a < 1 la funzione esponenziale è decrescente
- 2 - a = 1 la funzione esponenziale si riduce alla retta y = 1
- 3 - a > 1 la funzione esponenziale è crescente
Fra tutte le possibili basi a gioca un ruolo importante la base a = e dove e è il numero
di Nepero (numero irrazionale definito come limite della successione (1 + 1/n) ^ n e che
vale circa 2,71828 …).
In questo caso la funzione esponenziale si può anche indicare con y = exp (x) .
I comportamenti agli infiniti (positivo e negativo) sono deducibili dai grafici.
La derivata della funzione esponenziale è :
dove la funzione log è definita più avanti. Se a = e la derivata di exp (x) è exp (x) .
La primitiva della funzione esponenziale è :
Se a = e la primitiva è : ∫ exp (x)dx = exp (x) .
Esempi (si noti che exp (0) = 1 ) :
:
:
04 – Funzione logaritmica.
La funzione inversa della funzione esponenziale si chiama funzione logaritmica. Essa è definita da :
in modo che :
Il dominio della funzione logaritmica è R+ e l’andamento della funzione dipende dal valore della
base a .
Si hanno due casi :
- 1 - 0 < a < 1 la funzione logaritmica è decrescente
- 2 - a > 1 la funzione logaritmica è crescente
Fra tutte le possibili basi a gioca un ruolo importante la base a = e in questo caso il logaritmo
si dice neperiano o naturale.
In questo caso la funzione logaritmica si indica con y = log x oppure y = ln x .
I comportamenti all’infinito (positivo) e in 0 sono deducibili dai grafici.
La derivata della funzione logaritmica è :
Se a = e la derivata di log x è 1/x .
Non si conosce una primitiva della funzione logaritmica.
Esempio (si noti che log 1 = 0 ) :
:
:
05 – Funzioni iperboliche.
Le funzioni iperboliche sono definite tramite la funzione esponenziale. Esse sono :
definite per x appartenente ad R . Per esse valgono le importanti relazioni :
Le loro funzioni inverse sono :
Le derivate delle funzioni iperboliche e delle loro inverse sono :
I grafici delle funzioni iperbolici e delle loro inverse sono (proprietà e comportamenti sono
deducibili dai grafici ) :
