Analisi I
Funzioni complesse notevoli
01 – Introduzione.
Riportiamo qui alcune importanti funzioni analitiche. Alcune sono mondocrome su tutto C ,
altre sono polidrome.
Nel capitolo sulle funzioni analitiche ci siamo limitati al caso più interessante delle serie con raggio
di convergenza positivo e finito. Se una serie di potenze, invece, ha raggio di convergenza infinito,
la somma della serie è una funzione analitica monodroma su tutto C . Una tale funzione analitica
si dice intera.
02 – Funzione esponenziale.
La funzione esponenziale nel campo complesso è una funzione intera definita come :
La serie che la definisce ha raggio di convergenza infinito ed e è il numero di Nepero (numero
irrazionale definito come limite della successione (1 + 1/n) ^ n e che vale circa 2,71828 …).
La serie esponenziale si indica anche con exp z .
La funzione esponenziale soddisfa le seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - d/dz exp z = exp z
- 2 - exp z1 * exp z2 = exp(z1 + z2)
- 3 - exp z ≠ 0
- 4 - exp iθ = cos θ+ isen θ (formula di Eulero)
da cui deriva :
z = x + iy = ρ(cos θ+ isen θ) = ρ exp iθ
- 5 - exp z = exp(z + 2kπi) k = 0 , ±1 , ±2, …
La restrizione al campo reale della funzione esponenziale qui definita coincide con la nota funzione
esponenziale in R .
03 – Funzioni circolari.
Le funzioni circolari seno e coseno nel campo complesso sono funzioni intere definite da :
Le funzioni circolari soddisfano le seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - seno e coseno possono essere definite tramite la funzione esponenziale :
- 2 - d/dz sen z = cos z
d/dz cos z = - sen z
- 3 - vale la relazione :
- 4 - sen(z1 + z2) = sen z1 cos z2 + cos z1 sen z2
cos(z1+ z2) = cos z1 cos z2 – sen z1 sen z2
Le restrizione al campo reale delle funzioni circolari qui definite coincidono con le note funzioni
circolari in R .
04 – Funzioni iperboliche.
Le funzioni iperboliche seno iperbolico e coseno iperbolico nel campo complesso sono funzioni
intere definite da :
Le funzioni iperboliche soddisfano le seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - seno e coseno iperbolico possono essere definite tramite la funzione esponenziale :
- 2 - d/dz senh z = cosh z
d/dz cosh z = senh z
- 3 vale la relazione:
- 4 - senh(z1 + z2) = senh z1 cosh z2 + cosh z1 senh z2
cosh(z1 + z2) = cosh z1 cosh z2 + senh z1 senh z2
- 5 - funzioni circolari, iperboliche ed esponenziali sono legate da :
Le restrizione al campo reale delle funzioni iperboliche qui definite coincidono con le note funzioni
iperboliche in R .
05 – Funzione logaritmica.
Si chiama funzione logaritmica la funzione polidroma :
Dove log |z| è la nota funzione logaritmica definita nel campo reale e arg z è l’angolo che
il vettore associato al numero complesso z (nella sua rappresentazione cartesiana) forma
con il semiasse positivo delle ascisse (qui si considera –π ≤ arg z ≤ π , quindi gli argomenti
positivi si prendono in senso antiorario e quelli negativi in senso orario).
La definizione è ben posta perché rappresenta una logica estensione al campo complesso
del concetto di logaritmo. Infatti il logaritmo è la funzione inversa dell’esponenziale (nel campo
reale) per cui se :
exp a = b
allora :
a = log b
Se a = a1 + i a2 , b = b1 + i b2 sono due numeri complessi si ottiene :
exp a = exp(a1 + i a2) = b1 + i b2
exp(a1) * exp (i a2) = b1 + i b2
exp(a1) * (cos a2 + i sen a2) = b1 + i b2
exp(a1) * cos a2 + i exp(a1) sen a2 = b1 + i b2
per cui :
b1 = exp a1 * cos a2
b2 = exp a1 * sen a2
da cui :
|b| = exp(a1) ovvero a1 = log |b|
a2 = arg b + 2kπ
e quindi :
a = a1 + i a2 = log |b| + i(arg b + 2kπ) = log b
La funzione logaritmica è una funzione polidroma, cioè per un dato valore di z il logaritmo
assume valori diversi (una infinità numerabile al variare di k ).
Il valore della funzione logaritmica per k = 0 si chiama determinazione principale del
logaritmo e si indica con il simbolo Log (con la “l” maiuscola) :
Log z = log |z| + i arg z
Si tratta di una funzione continua con dominio C - {0} - R¯ (ovvero tutti i numeri complessi
meno lo 0 e meno tutti i numeri reale negativi).
Per la determinazione principale del logaritmo vale la seguente importante formula utile per la
costruzione del logaritmo come funzione analitica :
Gli altri valori della funzione logaritmica per k ≠ 0 si chiamano semplicemente determinazioni
del logaritmo.
La funzione logaritmica soddisfa le seguenti proprietà (scegliendo opportune determinazioni del
logaritmo) (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - log(z1 * z2) = log z1 + log z2
- 2 - log(z1 / z2) = log z1 - log z2
- 3 - log z^n = n * log z (dove ^ rappresenta l’elevamento a potenza)
- 4 - d/dz log z = 1/z (prendendo una terminazione qualsiasi del logaritmo)
06 – Funzione potenza.
Si chiama funzione potenza la funzione polidroma :
Come si può notare la funzione potenza è definita tramite la funzione logaritmica per cui le sue
proprietà si deducono da essa.
Se α = a + i b si ottiene facilmente :
Studiamo il limite per z à 0 della funzione esponenziale. Si dimostra che :
Se α è reale positivo, ovvero α = a > 0 , si pone :
Siccome la funzione potenza è definita tramite la funzione logaritmica, essa è una funzione
polidroma. In certi casi è anche monodroma. Esattamente :
z ^ α è monodroma se α = 0, ±1 , ±2 , …
è polidroma a n valori se α = ± m/n , con m , n naturali primi fra loro
è polidroma a infiniti valori (numerabili) se α non è razionale
Nel caso di α = 1/n con n naturale si ha :
i cui n valori sono le n radici ennesime di n .
Quando la funzione potenza è polidroma sono le determinazioni del logaritmo che forniscono
le determinazioni della funzione potenza.
La funzione potenza soddisfa le seguenti proprietà (scegliendo opportune determinazioni)
(omettiamo le dimostrazioni) :
- 4 - se f(z) è una determinazione della funzione potenza si ha :
La restrizione al campo reale delle funzioni potenza qui definita coincide con la note funzione
potenza in R .
Fine.
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