Il Filo di Arianna di Diego Vasdeki

GEOMETRIA     MATEMATICA     FISICA                         Home (Progetto Arianna)

                             PREV                                                 Forum      e-school di Arrigo Amadori

 

  (Versione 0.1  del   27-10-2005)

VERSIONE PRELIMINARE

 

M-VI  FUNZIONI COMPLESSE

1       Funzioni Complesse

1.1     Generalità

1.2     Funzione Esponenziale Complessa – Formula di Eulero

1.3     DA COMPLETARE

2       Calcolo Differenziale e Integrale – Funzioni Complesse

Bibliografia

Indice Analitico

 

e-school:   Analisi I – Funzioni complesse notevoli

 

                                                                                 1Funzioni Complesse

1.1Generalità

Definizioni

Dare la definizione di Funzione Complessa di Variabili Complesse.

1.2Funzione Esponenziale Complessa – Formula di Eulero

Proprietà elementari del Prodotto e della Potenza di Numeri Complessi (Riepilogo)

Ricapitoliamo, per comodità, le principali proprietà del prodotto e della potenza di numeri complessi, che abbiamo già analizzato nel capitolo sulla Teoria degli Insiemi.

( 1a)                           |wz| = |w| |z| .

( 1b)                           Arg(wz) = Arg(w) + Arg(z) .

( 1c)                           up = cos(pφ) + i sin(pφ) .

( 1d)                           Arg(up) = p Arg(u) .

Funzione Esponenziale Complessa

Vogliamo ora estendere la funzione esponenziale reale al caso in cui l’argomento sia un numero complesso, vogliamo cioè definire una funzione Fa: (con a reale positivo) in modo tale che:

a)      essa goda delle stesse proprietà fondamentali dell’esponenziale reale;

b)      essa si riconduca alla funzione esponenziale reale nel caso particolare in cui risulti:  Im(z) = 0.

Indicando questa funzione con Fa(z) = az, dovrà pertanto risultare:

( 1e)                           a(z+w) = azaw ;

( 1f)                            a-z = 1/az ;

Osserviamo che, in base a queste proprietà, risulta:

·        a0 = az–z = az / az = 1.

·        az = axaiy       dove ax è la funzione esponenziale reale; ciò ci consente di limitare l’analisi al caso in cui l’argomento della funzione sia un numero immaginario puro (Funzione Esponenziale Immaginaria).

·        ax+i0 = axa0 = ax , e quindi risulta automaticamente soddisfatto il requisito (b).

Funzione Esponenziale Immaginaria – Formula di Eulero

Consideriamo la funzione f: definita da: f(x) = aix (con a reale positivo), e osserviamo innanzitutto che (x∊ℝ) risulta: ||aix|| = aix a-ix = a0 = 1, ovvero:

I Valori della Funzione Esponenziale Immaginaria
giacciono tutti sulla Circonferenza Unitaria.

Abbiamo già incontrato una proprietà analoga nel caso delle potenze dei numeri complessi di modulo unitario. Ciò non deve stupire in quanto, detto u = ai = (α + iβ) = cos φ + i sin φ (dove: α2 + β2 = 1 e φ = cos-1(α) ) il generico numero complesso di modulo unitario, e p il generico numero razionale, abbiamo:

                                    aip = up , ovvero:

Quando l’Esponente è un Numero Razionale,
la Funzione Esponenziale Immaginaria
si riconduce alla Potenza di un Numero Unitario.

e quindi, in virtù della ( 1c):

( 1g)                           aip = cos pφ + i sin pφ .

Osserviamo che, se φ = 2π/M, la ( 1‑g) risulta periodica, ed il suo Range risulterà costituito da M punti equidistanziati lungo la circonferenza unitaria.

Inoltre, poiché (cos(pφ) + i sin(pφ))q = cos(pqφ) + i sin(pqφ), abbiamo che:

( 1h)                          

e questo ci garantisce che, almeno per valori razionali, la funzione esponenziale immaginaria soddisfa una proprietà analoga a quella della funzione esponenziale reale.

Con un procedimento del tutto analogo a quello già seguito nel caso dell’esponenziale reale, possiamo considerare la funzione fa: , definita da fa(p) = aip, e ,detta p1, p2, ,,, , pn, … una successione di Cauchy che converge al numero reale x, anche la successione fa(p1), fa(p2), … , fa(pn), … convergerà verso un numero complesso z, che indicheremo con aix e che considereremo il valore della funzione fa(x) = aix.

Così come nel caso discreto, anche in quello continuo abbiamo che:

La Funzione Esponenziale Immaginaria è periodica.
Il Periodo dipende dalla Base.

Infatti, poiché aix = ei (ln a)x, avremo che, detti Ta e Te i periodi delle due funzioni, risulterà: Ta = (ln a) Te. Vogliamo dimostrare che Te = 2π.

Detto φ(x) = Arg(eix), si verifica immediatamente che la relazione tra φ ed x è lineare.

Infatti: dalla ( 1e) e dalla ( 1b) risulta che: Arg(ei(x+y)) = Arg(eix) + Arg(eiy).

Inoltre, dalla ( 1h) e dalla ( 1d) risulta che: Arg(eipx) = p Arg(eix).

Ne consegue che φ = kx + φ0, e poiché Arg(0) = 0, risulta φ0 = 0. Possiamo pertanto scrivere: eix = cos(kx) + i sin(kx).

Per trovare il coefficiente di proporzionalità k, basta derivare entrambi i membri, ottenendo: ieix = -sin(kx) + i cos(kx) = -ksin(kx) +ik cos(kx), da cui k = 1.

Il risultato finale è la cosiddetta Formula di Eulero:

( 1i)                            eix = cos x + i sin x

Formula di Eulero: Prima Derivazione Alternativa

Un procedimento alternativo per ricavare la ( 1i) consiste nel suddividere l’intervallo [0, x] in N intervallini infinitesimi di ampiezza ∆x e nell’utilizzare la definizione del numero di Nepero:

                                    eix = limN→∞ (1 + ix/N)N = limN→∞ (1 + i∆x)N

Tenendo conto che il numero complesso 1 + i∆x può essere approssimato, a meno di infinitesimi di ordine superiore, dal numero unitario cos(∆x) + i sin(∆x), abbiamo che:

                                    eix = limN→∞ (cos(∆x) + i sin(∆x))N = cos(N∆x) + i sin(N∆x) =

                                         = cosx + i sinx

(dove è stata utilizzata la ( 1c).

Formula di Eulero: Seconda Derivazione Alternativa

Esplicitando la parte reale e quella immaginaria di eix come funzioni di x, abbiamo:

                                    eix = A(x) + iB(x) ,

da cui derivando una prima volta abbiamo: ieix = iA(x) – B(x) = A’(x) + B’(x), ovvero:

( 1j)                           

Derivando ulteriormente si ottiene: –eix = –A(x) – iB(x)) = A’’(x) + iB’’(x), ovvero:

                                    .

Abbiamo così ottenuto due equazioni differenziali indipendenti, ciascuna del tipo moto armonico, la cui soluzione è ovviamente:

Affinché siano soddisfatte le ( 1j) deve risultare B0 = A0 e β = π/2 – α, ottenendo così: , da cui, tenendo conto che A(0) = 1, si ha che α=0, avendo così ottenuto ancora una volta la Formula di Eulero

Alcune Identità

·        Ponendo, nella Formula di Eulero, φ = π , si ottiene la famosa Identità di Eulero:

                                    e + 1 = 0,

che può essere espressa anche come: iπ = ln (-1), da dove si vede che i numeri negativi ammettono un logaritmo nel campo complesso.

·        Ponendo invece φ = π/2, si ottiene: eiπ/2 = i, ovvero: ln i = i π/2, che può essere utilizzata per ottenere:

                                    ii = (eln i)i = e–π/2  

(risultato del tutto inatteso, in quanto ci si sarebbe potuti aspettare che ii fosse immaginaria, e non reale!) .

1.3DA COMPLETARE

     2Calcolo Differenziale e Integrale – Funzioni Complesse

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Penrose, R. : The Road to Reality. (Knopf, New York, 2005).

** –        Un’opera a tutto campo sulle leggi fondamentali della Fisica e sulla Matematica/Geometria ad esse connessa, scritta da uno dei massimi scienziati del nostro tempo. L’intento dichiarato è divulgativo, e come tale è caratterizzato da notevole semplicità e chiarezza espositiva, ma la vastità degli argomenti trattati e soprattutto la profondità delle osservazioni rendono questo libro un’opera assolutamente unica, di grande valore per tutti gli studiosi di Fisica.

                I Capitoli 4, 5 e 7 sono dedicati ai Numeri Complessi.

Smirnov, V.: Cours de Mathématiques Superieurs. (éditions MIR, Moscou, 1969).

**           Opera monumentale, di impostazione tradizionale, scritta con stile proverbialmente piano e chiaro.

Di particolare interesse: TOME III (Deuxième Partie)

Articoli

Calvert, J. B.: Complex Variables and Analytic Functions. (http://www.du.edu/~jcalvert/math/complex.htm ).

Siti Internet

E-school di Arrigo Amadorihttp://www.arrigoamadori.com/lezioni/index.htm . 

(*), **    Sito di Matematica e Fisica contenente materiale decisamente interessante (a vari livelli: divulgativo, di approfondimento e didattico).. É dotato di stimolanti sezioni di Forum, Chat, Open Blog e Open Book. Ottimo sia per lo studente che per lo studioso fai-da-te.

WikipediA – The Free Encyclopedia – http://en.wikipedia.org,

**           L’approccio è di tipo enciclopedico; le singole voci sono trattate con estrema chiarezza, senza disdegnare spiegazioni intuitive ed esempi. Un utilizzo estensivo dei collegamenti ipertestuali rende molto agevole la navigazione fra le singole voci. Interessanti anche la sezione didattica (Wikiversity) e gli Open Books (Wikibooks).

Indice Analitico

Error! No index entries found.

Keywords

Funzioni Complesse, Filo di Arianna, Diego Vasdeki, Formula di Eulero