Il Filo di Arianna di Diego Vasdeki

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M-IV  CALCOLO VETTORIALE

  (Versione 1.0  del  27-10-2005)

M-IV  CALCOLO VETTORIALE

Quadro d’Insieme

1       Campi Scalari e Vettoriali

1.1     Campi Scalari

1.2     Campi Vettoriali

2       Calcolo Differenziale

2.1     Derivata di un Vettore

2.2     Derivata Direzionale

2.3     Gradiente

3       Integrali di Linea

3.1     Integrale di Linea di un Campo Scalare

3.2     Integrale di Linea di un Campo Vettoriale

3.3     Campi Conservativi

3.4     Teorema del Gradiente

3.5     Campi a Simmetria Sferica

3.6     Campi a Simmetria Radiale

4       Integrali di Superficie

4.1     Integrale di Superficie di un Campo Scalare

4.2     Integrale di Superficie di un Campo Vettoriale

4.3     Flusso

5       Divergenza

5.1     Definizione ed Interpretazione Fisica

5.2     Teorema di Gauss

5.3     Campi Solenoidali

5.4     Equazione di Continuità

6       Rotore

6.1     Definizione e Interpretazione Fisica

6.2     Teorema di Stokes

6.3     Conservatività e Irrotazionalità

6.4     Equazione di Laplace

7       Alcune Formule di Calcolo Vettoriale

Bibliografia

Indice Analitico



 

Quadro d’Insieme

Operazioni Differenziali ed Integrali sui Campi Scalari (CS) e Vettoriali (CV)

Derivata Direzionale

CS

·     è uguale alla componente del gradiente nella direzione k.

Gradiente

CS

F

 

·     la direzione è perpendicolare alla superficie di livello, ed è quella di massima pendenza (lungo cui la variazione del campo è massima);

·     il modulo è uguale alla derivata direzionale nella direzione di massima pendenza;

·     è un campo conservativo (Teorema del Gradiente).

Integrale di Linea

CS

C F(r)dr

lim i F(ri) ∆ri

·     è un’immediata estensione dell’integrale definito.

CV

C F(r)dr

lim i F(ri) ri

·     non dipende dal percorso se il campo è conservativo

Circuitazione

CV

ΓC(F)

è l’integrale di linea lungo una curva chiusa

·     può essere calcolata scomponendo C in più curve chiuse e poi sommando;

·     è identicamente nulla se il campo è conservativo;

·     = 2πk oppure = 0 se il campo è radiale e proporzionale a 1/ρ;

·     è uguale al flusso del rotore (Teorema di Stokes).

Integrale di Superficie

CS

S F(r)dσ

lim i F(ri) ∆Si

 

CV

S F(r)dσ

lim i F(ri) σi

·     è il Flusso del campo F attraverso la superficie S

Flusso attraverso una
Superficie Chiusa

CV

ΦS(F)

 

·     può essere calcolato suddividendo V in più parti e poi sommando;

·     è uguale all’integrale di volume della divergenza (Teorema di Gauss);

·     = 4πk oppure = 0 se il campo è centrale e proporzionale a 1/r2.

Divergenza

CV

∇∙F

è un flusso per unità di volume

·     il suo integrale di volume (esteso a V) è uguale al flusso (attraverso ∂V) (Teor. di Gauss);

·     è positiva (negativa) in presenza di sorgenti (pozzi);

·     è nulla (per definizione) se campo è solenoidale.

Rotore

CV

∇xF

è una circuitazione per unità di area

·     è identicamente nullo se e solo se il campo è conservativo;

·     è un campo solenoidale;

·     il suo flusso è uguale alla circuitazione del campo (Teorema di Stokes).

Teoremi del Calcolo Vettoriale

Teorema:

Fondamentale del Calcolo

del Gradiente

di Gauss

di Stokes

 

Oggetto da integrare:

Derivata di una Funzione

Gradiente di un Campo

Divergenza di un Campo

Rotore di un Campo

Tipo di integrazione:

Integrale Definito

Integrale di Linea

Integrale di Volume

Integrale di Superficie (Flusso)

Dominio di integrazione:

Segmento di Retta

Arco di Curva

Volume

Superficie

Confini del dominio
di integrazione:

Estremi del Segmento

Estremi dell’Arco

Superfici che racchiudono il Volume

Archi di Curva che delimitano la Superficie

Valore dell’Integrale:

Funzione Primitiva

Campo

Integrale di Superficie del Campo

Integrale di Linea del Campo

 

Principali Tipi di Campi e relative Proprietà

Tipo di Campo

Definizione

Proprietà

Conservativo

la sua Circuitazione è identicamente nulla;

·     il suo Integrale di Linea non dipende dal percorso;

·     può essere espresso come Gradiente di un Potenziale Scalare;

·     è irrotazionale.

Solenoidale

la sua divergenza è identicamente nulla

·     può essere espresso come rotore di un potenziale vettore;

·     le sue linee di flusso sono curve chiuse.

Irrotazionale

il suo rotore è identicamente nullo

·     è conservativo.

Centrale

F(r) = a(r)er

·     è conservativo.

Centrale

a(r) = k/r2

·     il suo Flusso attraverso una superficie chiusa non dipende dalla forma della superficie, ed è uguale a 4π k se  la superficie contiene l’origine, altrimenti è nullo.

Radiale

F(r) = (k/ρ)et

·     la sua Circuitazione lungo una curva chiusa non dipende dalla forma della curva, ed è uguale a  2π k se  la curva contiene l’asse di simmetria, altrimenti è nulla.

 


                                                                  1Campi Scalari e Vettoriali

I Campi Scalari ed i Campi Vettoriali sono sostanzialmente delle funzioni che associano ai punti dello spazio rispettivamente dei numeri reali e dei vettori.

1.1Campi Scalari

Definizione

Un Campo Scalare è una funzione che associa un numero reale ad ogni punto dello spazio (o di una certa regione di spazio).

ES:  La temperatura o la pressione di una regione di spazio sono descritte da campi scalari.

NB: Il numero reale definito da un campo scalare non dipende dalla scelta di un particolare sistema di coordinate, è appunto uno scalare.

Detto N uno spazio euclideo N dimensionale (i cui punti indichiamo con P), ed X un suo sottoinsieme, un campo scalare è un’applicazione F: X, e può essere indicato con F(P).

Poiché N è isomorfo ad un qualsiasi spazio vettoriale reale VN, un campo scalare può anche essere considerato come una funzione che associa numeri reali a vettori e venire quindi indicato con F(v).

Un Campo Scalare è un’Applicazione F: (X VN)

Espressione Analitica

Per esprimere analiticamente un campo scalare è sufficiente individuare i punti di X per mezzo di un opportuno sistema di coordinate[1]: P = (x1, x2, … , xN). Così facendo il campo scalare F(P) diventa un’applicazione , ed è quindi espresso da una funzione reale di più variabili reali  f(xi).

Alla base di questa possibilità c’è l’isomorfismo esistente fra lo spazio euclideo N e lo spazio N delle N-ple ordinate di numeri reali.

É necessario chiarire la differenza tra la F(P) e la f(xi): la F(P) prescinde da qualsiasi sistema di coordinate utilizzato per individuare i punti P del suo dominio, mentre la f(xi) è solo una delle tante possibili rappresentazioni di F(P), legata allo specifico sistema di coordinate utilizzato, ed è pertanto influenzata da un’eventuale trasformazione di coordinate. In termini formali, detta A: X→N l’applicazione (biunivoca) che identifica i punti di X per mezzo di un particolare sistema di coordinate, abbiamo che f(xi) = F(X-1(xi)).

Questa distinzione è di fondamentale importanza nel momento in cui la nozione di campo scalare viene estesa alle varietà differenziabili, mentre risulta meno rilevante nel caso in cui il dominio del campo sia costituito da uno spazio euclideo o da uno spazio vettoriale reale (tanto che le due nozioni vengono spesso confuse[2] utilizzando la stessa lettera F per indicare indifferentemente sia F(P) che F(xi)).

NB: Nel caso in cui il dominio X coincida con l’intero spazio VN, allora il campo scalare può essere considerato come un operatore da VN ad ([3]).

Continuità e Differenziabilità

Le nozioni di continuità e di differenziabilità di un campo scalare vengono ricondotte alle analoghe nozioni delle funzioni N:

Un campo scalare F: N viene detto continuo (differenziabile) se può essere rappresentato per mezzo di un’applicazione continua (differenziabile) N.

1.2Campi Vettoriali

Definizione

Un Campo Vettoriale è una funzione che associa un vettore ad ogni punto dello spazio (o di una certa regione di spazio).

ES: Per descrivere la corrente d’acqua di un fiume si potrebbe pensare di individuare le singole molecole d’acqua e considerare quindi la velocità vi(t) di ciascuna di esse, ma questo approccio, è difficilmente praticabile per il gran numero delle molecole. Risulta invece preferibile descrivere la velocità come una funzione dello spazio (oltre che del tempo): v = v(r, t). Per ogni punto r all’interno del letto del fiume si fornisce cioè, istante per istante, la velocità della molecola che in quel momento transita per quel punto. Il risultato è un campo vettoriale (variabile nel tempo).

Detti N uno spazio euclideo N dimensionale (i cui punti indichiamo con P), X un suo sottoinsieme, e WM uno spazio vettoriale reale M dimensionale, un campo vettoriale è un’applicazione F: XWM, e può essere indicato con F(P).

Poiché N è isomorfo ad un qualsiasi spazio vettoriale reale VN, un campo vettoriale può anche essere considerato come una funzione che associa vettori a vettori, e venire quindi indicato con F(v).

Un Campo Vettoriale è un’Applicazione F: (X VN) WM .

Espressione Analitica

Per esprimere analiticamente un campo vettoriale è sufficiente individuare i punti di X per mezzo di un opportuno sistema di coordinate: P = (x1, x2, … , xN). Così facendo il campo vettoriale F(v) diventa un’applicazione NM, ed è quindi espresso da una M-pla ordinata di funzioni reali di N variabili reali:

                                   

o, più sinteticamente: wk = Fk(vi), con k=1, 2, … , M e con i = 1, 2, … , N.

Alla base di questa possibilità c’è l’isomorfismo esistente fra un qualsiasi spazio vettoriale reale VN e lo spazio N delle N-ple ordinate di numeri reali (e analogamente per WM e M)..

Anche nel caso dei campi vettoriali valgono, relativamente alla distinzione tra la F(v) e le Fk(vi), delle osservazioni analoghe a quelle già svolte nel caso dei campi scalari.

NB: Nel caso in cui il dominio X di un campo vettoriale coincida con l’intero spazio VN, allora il campo vettoriale può essere considerato come un operatore da VN a WM.

        Inoltre un campo scalare è un caso particolare di un campo vettoriale (dove la dimensione M del codominio è pari a uno).

Continuità e Differenziabilità

Le nozioni di continuità e di differenziabilità di un campo vettoriale vengono ricondotte alle analoghe nozioni delle funzioni NM. In Particolare:

Un campo vettoriale F: VNWM viene detto continuo (differenziabile) se può essere rappresentato per mezzo di un’applicazione continua (differenziabile) NM.

Particolari Tipi di Campi Vettoriali

Alcuni tipi di Campi Vettoriali godono di particolari proprietà; ne diamo qui un elenco.

Anche se si fa riferimento a nozioni che verranno introdotte nel seguito, riteniamo comunque che questo elenco possa essere utile sia come riferimento, sia per chiarire le interrelazioni esistenti fra le diverse entità.

·        Un campo vettoriale viene detto Conservativo se la sua Circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è identicamente nulla. Esso gode delle sequenti proprietà:

a)   il suo Integrale di Linea lungo una qualsiasi curva C dipende solo dagli estremi della curva (e non dalla particolare curva che li congiunge);

b)   può essere espresso come il gradiente di un campo scalare (detto Potenziale Scalare);

c)   è irrotazionale.

·        In Fisica Classica una Forza Centrale descrive una interazione fra due particelle che (a) è diretta lungo la congiungente le due particelle, (b) ha un’intensità che dipende solo dalla distanza relativa fra le particelle (es. forza gravitazionale, forza elettrica). Ponendo una delle due particelle nell’origine e generalizzando, si ottiene la definizione di Campo Centrale:

·        Un campo vettoriale viene detto Centrale se, in ogni punto P:

a)      la sua intensità dipende solo dalla distanza del punto P da un punto fisso O (normalmente posto nell’origine);

b)      la sua direzione è parallela al segmento .

Un Campo Centrale può quindi essere espresso nella forma:       F(r) = a(r)er ,dove r è il raggio vettore ed  è il versore radiale.

Un Campo Centrale è quindi dotato di Simmetria Sferica: esso assume cioè un valore costante lungo tutti i punti di una sfera centrata nell’origine. Inoltre tale valore dipende solo dal raggio della sfera, e la direzione del campo è sempre radiale (cioè perpendicolare alla superficie della sfera).

I Campi Centrali godono dell’importante proprietà di essere conservativi.

·        Particolare importanza riveste il caso dei campi centrali proporzionali a 1/r2, ovvero dove: a(r) = k/r2.

Infatti sia il campo elettrostatico che quello gravitazionale sono di questo tipo.

Questi campi godono dell’importante proprietà che il loro flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa è indipendente dalla forma della superficie: è uguale a 4π k se la superficie contiene l’origine, altrimenti è nullo.

·        Un campo vettoriale viene detto Radiale se, in ogni punto P:

a)      la sua intensità dipende solo dalla distanza fra ρ il punto P ed una retta fissa R;

b)      la sua direzione è tangente alla circonferenza C normale ad R passante per P.

Figura 1‑1 – Campo Radiale

Un Campo Radiale può quindi essere espresso nella forma:        F(r) = b(ρ)et, dove ρ è il raggio della circonferenza C ed et è il versore tangente a C nel punto P.

Un Campo Radiale è quindi dotato di Simmetria Cilindica: esso assume cioè un valore costante lungo tutti i punti di un cilindro il cui asse coincide con la retta R. Inoltre tale valore dipende solo dal raggio del cilindro, e la direzione del campo è sempre tangenziale (cioè perpendicolare al raggio del cilindro).

·        Particolare importanza riveste il caso dei campi radiali proporzionali a 1/ρ, ovvero dove: b(ρ) = k/ρ.

Infatti sia il campo elettrostatico di un filo rettilineo uniformemente carico che il campo magnetostatico di un filo rettilineo percorso da una corrente stazionaria sono di questo tipo.

Questi campi godono dell’importante proprietà che la loro circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è indipendente dalla forma della curva: è uguale a 2π k se la curva contiene l’asse di simmetria, altrimenti è nulla.

·        Un campo vettoriale la cui divergenza sia identicamente nulla viene detto Solenoidale, Esso può essere espresso come il rotore di un campo vettoriale (detto Potenziale Vettore).

·        Un campo vettoriale il cui rotore sia identicamente nullo viene detto Irrotazionale. I campi irrotazionali sono conservativi.

                                                                          2Calcolo Differenziale

2.1Derivata di un Vettore

La nozione di derivata introdotta per le funzioni reali di una variabile reale può essere estesa ai vettori che siano funzione di una variabile reale (ad esempio il raggio vettore r di una particella in moto: r = r(t)), definendo banalmente:

( 2‑a)                               .

La definizione è ben posta in quanto a secondo membro abbiamo il prodotto della differenza di due vettori per uno scalare (1/∆t), e gli assiomi degli Spazi Vettoriali ci garantiscono che il risultato è ancora un vettore.

Detta poi f(t) una funzione reale di t, si verifica immediatamente che ∂t(f(t)r(t)) = (∂tf)r + f ∂tr (dove abbiamo utilizzato la notazione compatta).

Esprimendo r(t) in termini delle sue componenti xi(t) secondo una base {e(i)} , abbiamo che, se la base rimane fissa nel tempo (e quindi ∂te(i) = 0), risulterà: ∂tr(t) = ∂t(xi(t) e(i)) = (txi(t))e(i), e quindi, detti v = ∂tr e vi = ∂txi, risulta: vi = ∂txi.

L’ultima espressione esprime il fatto che, se la base rimane fissa, le componenti della derivata di un vettore sono uguali alle derivate delle sue componenti.

NB: Se invece la base è mobile, la relazione non è più così semplice, in quanto saranno presenti dei termini aggiuntivi (vedi p. es. l’accelerazione centrifuga e quella di Coriolis e le cosiddette forze apparenti).

2.2Derivata Direzionale

e-school:   Analisi II - Funzioni f: N differenziabili (2° parte) – 06 – Derivata secondo una direzione e secondo una retta

Definizione

La Derivata Direzionale di un campo scalare F(r) secondo una direzione identificata dal vettore unitario k è definita come:

( 2‑b)                          

Alla base di questa definizione c’è il fatto che, se nel dominio di F a partire dal punto r0 ci spostiamo lungo una direzione prefissata k, il campo scalare F(r) si riduce ad una funzione di un’unica variabile (la distanda da r0), alla quale possiamo quindi applicare il procedimento “standard” di derivazione delle funzioni reali di una variabile reale.

Interpretazione Geometrica

Figura 2‑1 - Derivata direzionale

Come sappiamo (cfr. Calcolo Differenziale ed Integrale) il grafico di una funzione di due variabili F(x, y) è costituito dalla superficie z = F(x, y). Dato un punto P nel piano xy, consideriamo quindi la retta r del piano xy di direzione k e passante per P ed il piano π, parallelo all’asse z, contenente la retta r. L’intersezione del piano π con il grafico di F è una curva piana, la cui tangente nel punto F(P) è la derivata direzionale di F secondo la direzione k.

É necessario tener presente che, variando la direzione di k, il piano π ruoterà attorno ad una retta verticale passante per il punto P, e di conseguenza cambierà il profilo della sua intersezione con il grafico di F: ovviamente la derivata direzionale di una funzione dipende dalla direzione secondo cui essa viene calcolata!

Proprietà

Come vedremo nella ( 2‑e) la derivata direzionale secondo una direzione k è la componente del gradiente in quella direzione.

2.3Gradiente

e-school:         Analisi II - Funzioni f: N differenziabili (4° parte)

Definizione

Consideriamo l’insieme di tutte le funzioni differenziabili F(x, y, z) (ovvero di tutti i campi scalari differenziabili F(r)). Ad ogni funzione è possibile associare la terna ordinata delle sue derivate parziali prime: (∂xF, ∂yF, ∂zF). Non è difficile verificare che – in virtù della linearità dell’operazione di derivazione – l’insieme di queste terne ordinate, dotato delle ovvie operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, ha struttura di Spazio Vettoriale Reale di dimensione tre.

Il generico vettore di questo spazio viene detto Gradiente del campo F(r), ed è solitamente indicato con F, dove si è utilizzato l’operatore differenziale nabla, la cui definizione, in coordinate cartesiane, è data da:

( 2‑c)                          

NB: Se si utilizza un sistema di coordinate non cartesiane (ad es. polari, sferiche o curvilinee) l’espressione delle grandezze definite tramite l’operatore nabla (gradiente, divergenza e rotore) cambierà forma.

Poiché le derivate parziali di F(r) sono a loro volta delle funzioni di r, è evidente che il gradiente di un campo scalare, poiché definisce un vettore per ogni punto dello spazio, è un campo vettoriale.

Gradiente e Differenziale Totale

Rammentiamo la formula del differenziale totale di una funzione F(xi) di più variabili:

∆F = ∂iF ∆xi (dove abbiamo utilizzato la notazione compatta). Tenendo conto che ∂iF dono le componenti del vettore F, e che ∆xi sono le componenti del vettore ∆r, la formula del differenziale totale può essere espressa in forma vettoriale come:

( 2‑d)                           ΔF = FΔr = rFr

La natura vettoriale del gradiente risulta evidente dalla ( 2‑d): infatti, poichè ∆F è uno scalare e ∆xi è un vettore controvariante, per il criterio di tensorialità abbiamo che ∂iF deve essere un vettore covariante.

Proprietà del Gradiente

Il gradiente di un campo scalare ha una chiara interpretazione geometrica:

·        La Direzione del Gradiente (in un punto):

      – è perpendicolare alla Suprficie di Livello (per quel punto);

      – è quella lungo cui la Variazione del Campo è massima.

·        L’Intensità del Gradiente è pari alla Derivata Direzionale calcolata lungo la direzione di Massima Pendenza

·        Per dimostrare che il gradiente è perpendicolare alla superficie di livello, iniziamo a considerare il caso bidimensionale: se da un punto qualsiasi r0 ci si sposta lungo una curva di livello C, il campo rimane – per definizione – costante F(C) = F0, ovvero non subisce variazioni: ∆F = 0. Considerando quindi uno spostamento infinitesimo ∆r lungo una curva di livello, in virtù della ( 2‑d), abbiamo che: FΔr = 0, e quindi i due vettori F e Δr sono perpendicolari. D’altra parte il vettore ∆r giace sulla tangente alla curva di livello nel punto r0, e quindi il gradiente è perpendicolare alla curva di livello.

Il discorso è sostanzialmente identico nel caso tridimensionale, salvo il fatto che ora abbiamo delle superfici di livello e che lo spostamento ∆r lungo una superficie di livello può avvenire in qualsiasi direzione. In questo caso ∆r giace sul piano tangente alla superficie di livello per r0. Poiché FΔr = 0 per qualsiasi direzione di ∆r nel piano tangente, ne consegue che il gradiente è perpendicolare alla superficie di livello per r0.

Il ragionamento può essere articolato più dettagliatamente come segue:

-  detto F0 =F(r0.), l’equazione F(r) = F0 rappresenta la superficie di livello passante per r0;

-  sia r = r(t) l’equazione parametrica di una generica curva passante per r0 (ad es. per t=0, e quindi r(0) = r0); questa curva giacerà sulla superficie di livello per r0 se: F(r(t)) = F0 = F(r(0));

-  differenziando la funzione composta F(r(t)) abbiamo:, che può essere espressa in forma vettoriale come F(r(t))r’(t), e quindi per t=0 otteniamo F(r0)r’(0) = 0;

-  ciò significa che in r0 il gradiente è perpendicolare alla tangente r’(0) alla generica curva giacente sulla superficie di livello, e quindi – in virtù dell’arbitrarietà di questa curva – è perpendicolare alla superficie di livello per quel punto.

·        Per dimostrare che la direzione del gradiente è quella lungo cui la variazione del campo è massima (direzione di “massima pendenza”), basta esprimere la ( 2‑d) come: ∆F = |F| |∆r| cos θ (dove θ è l’angolo fra la direzione dello spostamento e quella del gradiente); è chiaro ∆F risulta massima quando le due direzioni coincidono.

Figura 2‑2 – Direzione di massima pendenza

·        Per dimostrare infine che l’intensità del gradiente è pari alla derivata direzionale calcolata lungo la direzione di massima pendenza, basta introdurre la formula del differenziale totale ( 2‑d)  nella definizione della derivata direzionale ( 2‑b). Detto k il versore della generica direzione di r, e posto ε = |Δr|, si ottiene: ∂kF(r0) = lim ε0 ΔF / ε = lim ε0 (F Δr) / ε , e quindi:

( 2‑e)                           ∂kF = F k

ovvero:

La Derivata Direzionale di un Campo Scalare in una Direzione
è pari alla Componente del Gradiente
in quella Direzione.

Detto infine h il versore della direzione di massima pendenza (ovvero la direzione in cui la variazione del campo è massima), poiché questa direzione è parallela a quella del gradiente, abbiamo: F = |F| h, e quindi la ( 2‑e) diventa:

                                    |F| = |∂hF|

·        Anticipiamo infine il fatto che il gradiente F(r) è un campo conservativo (Teorema del Gradiente).

Dimostrazioni Geometriche

Le proprietà del Gradiente risultano evidenti da un punto di vista geometrico.

Consideriamo infatti il caso bidimensionale, dove il campo scalare è rappresentato da una superficie. Con riferimento alla Figura 2‑3, supponiamo di trovarci nel punto A situato su questa superficie ad altitudine h, e di voler salire all’altitudine h+Δh per il cammino più breve. Ovviamente il cammino più breve sarà anche quello più ripido.

Figura 2‑3 – Direzione di massima pendenza

Sia C un punto ad altitudine h+∆h e B il punto sulla verticale di C ad altitudine h; il triangolo ABC è rettangolo, e quindi la lunghezza del percorso da A a C è data da: , e poichè  è fissato, il percorso più breve si ottiene minimizzando .

Poichè le due curve di livello passanti per i punti A e B si trovano a distanza infinitesima, le loro tangenti nei punti A e B risultano parallele (a meno di infinitesimi di ordine superiore). Ne consegue che  risulta minimo quando è perpendicolare alla curva di livello passante per A. Ciò significa che la direzione di massima pendenza è quella perpendicolare alla curva di livello (qed).

Questa dimostrazione può essere formulata in termini analitici come segue:

-    dopo aver stabilito un riferimento cartesiano nel piano xy, abbiamo che:

                                                ∆h = ∆F(x, y) = Fx∆x + Fy∆y ;

-    per trovare la direzione nel piano xy per cui ∆h risulta massimo (o minimo), fissiamo il raggio ∆r di un cerchio infinitesimo centrato nel punto (x, y) e indichiamo con α l’angolo fra questo raggio e l’asse x; abbiamo quindi:

                                                                        ∆h(α) = ∆r (Fxcos α + Fysin α) ;

-    derivando rispetto ad α e imponendo la condizione che questa derivata si annulli si ottiene: –Fx sin α + Fy cos α = 0, ovvero: , che ci dice appunto che ∆h assume un valore estremale nella direzione del gradiente (qed).

Trasformazione delle Componenti del Gradiente

Una trasformazione di coordinate  influenza la funzione che descrive il campo e quindi anche le sue derivate prime; essa induce cioè una trasformazione delle componenti del gradiente.

Non è difficile verificare che,

Limitatamente alle Trasformazioni di Coordinate Ortogonali,
un Gradiente si trasforma come un  Vettore Spostamento

e ciò consente di considerare a tutti gli effetti i gradienti alla stessa stregua dei comuni vettori spostamento.

Infatti, a seguito della trasformazione di coordinate (x’i = x’i(xj)), abbiamo che: F’(x’i) = F’(x’i(xj)) = F(xj), da cui derivando ed utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte, otteniamo: , ovvero:

( 2‑f)                .

La ( 2‑f) può essere facilmente invertita tenendo conto dell’identità:, per cui, moltiplicando ambo i membri per , otteniamo:

( 2‑g)               ,

che esprime la formula generale di trasformazione dei gradienti.

NB: La ( 2‑g) poteva essere ricavata più agevolmente utilizzando la notazione compatta:
jF = ∂k’F’ ∂k’j , da cui: ∂jF ∂jp’ = ∂k’F’ ∂k’jjp’ = ∂k’F’ δk’p’ = ∂p’F’.

Notiamo che la  ( 2‑g) non coincide con la formula di trasformazione dei vettori spostamento, bensì con quella dei vettori covarianti. In altre parole:

Il Gradiente è un Vettore Covariante.

Nel caso di una Trasformazione Ortogonale abbiamo x’i = Aikxk, dove la matrice di trasformazione è ortogonale: Aik = [Aki]-1 , e quindi xk = [Aki]-1 x’i = Aikx’i; pertanto la ( 2‑g) diventa: (F’)p = Apk (F)k, che coincide con la formula di trasformazione dei vettori controvarianti, e con ciò resta dimostrato l’asserto.

 

                                                                                    3Integrali di Linea

L’Integrale di Linea è una immediata generalizzazione dell’integrale definito al caso in cui la funzione integranda sia un campo scalare oppure un campo vettoriale.

In entrambi i casi, poiché il dominio della funzione integranda è uno spazio euclideo (o un suo sottoinsieme), non è più sufficiente (come nel caso dell’integrale definito delle funzioni di una variabile) specificare solo i due estremi di integrazione, ma è necessario specificare un cammino di integrazione, ovvero una particolare curva lungo cui la funzione integranda deve essere valutata.

3.1Integrale di Linea di un Campo Scalare

Definizione

Siano F(r) un generico campo scalare e r = r(t), con t [tA, tB], l’equazione parametrica di un arco di curva C. L’applicazione composta F(r(t)) rappresenta il valore del campo lungo i punti della curva, ed è una funzione reale di una variabile reale; come tale può quindi essere integrata[4]. Applicando la definizione di integrale definito possiamo definire l’Integrale di Linea di un Campo Scalare F(r) come:

 ( 3‑a)                          ∫ C F(r)dr := lim i F(ri) ∆ri

dove:

·        tA = t0 < t1 < … < tN = tB definisce una partizione dell’intervallo di definizione del parametro della curva;

·        ri = r(ti) sono i punti corrispondenti lungo la curva;

·        ∆ri = |ri+1ri| sono, a meno di infinitesimi di ordine superiore, le lunghezze degli archi infinitesimi di curva.

Espressione Analitica

Esplicitando nella  ( 3‑a) le equazioni della curva, e tenendo conto che , abbiamo:

( 3‑b)                           .

Proprietà

L’integrale di linea di un campo scalare è un numero reale che dipende sia dal campo F(r) che dalla curva C, ma non dipende dalla particolare parametrizzazione scelta per la curva C.

Infatti, detta t = t(t’) la trasformazione del parametro che lega le due parametrizzazioni, abbiamo che r’(t’) = r( t(t’) e quindi:

                                                 ,

(dove nell’ultimo passaggio si è sfruttata la formula del cambiamento di variabile di integrazione).

Interpretazione Geometrica

L’interpretazione geometrica dell’integrale di linea di un campo scalare è la seguente:

-  parametrizziamo la curva C, ad esempio con la sua ascissa curvilinea s;

-  consideriamo la superficie S ottenuta spostando lungo la curva C una direttrice perpendicolare al piano xy;

-  l’intersezione fra la superficie z = F(x, y) e la superficie S definisce una curva D appartenente ad entrambe le superfici;

-  la superficie S può essere “spianata” ottenendo così un piano sz, nel quale giace una curva D’ (ottenuta dalla curva D per effetto di questa operazione di spianamento);

-  nel piano sz, l’area tra l’asse s e la curva D’ è l’integrale curvilineo in questione.

3.2Integrale di Linea di un Campo Vettoriale

Definizione

La nozione di Integrale di Linea può essere estesa facilmente al caso in cui la funzione integranda sia un campo vettoriale F(r), considerando, in ogni punto del cammino di integrazione, la componente Ft del campo tangente alla curva in quel punto: Ft(ri)∆ri = F(ri)ri.

Possiamo quindi definire l’Integrale di Linea di un Campo Vettoriale F(r) come:

( 3‑c)                           ΓC(F) = ∫ C F(r)dr := lim i F(ri) ri    ([5]).

Figura 3‑1 – Integrale di Linea di un Campo Vettoriale

Espressione Analitica

Tenuto conto che , abbiamo che:

( 3‑d)                           .

A titolo di esempio: in Fisica, se F è un campo di forze, il suo integrale di linea rappresenta il lavoro effettuato per spostare un punto materiale da un punto ad un altro, seguendo un particolare percorso.

Proprietà

Come nel caso dell’Integrale di Linea di un campo scalare, la grandezza definita dalla ( 3‑d) è un numero reale che non dipende dalla scelta di una particolare parametrizzazione della curva C, bensì dal campo F(r) e, in generale, dalla curva C.

Inoltre, poiché l’integrale di linea è definito in termini di prodotto scalare di due vettori, è evidente che esso è una grandezza scalare, indipendente dal sistema di coordinate utilizzato.

Circuitazione

L’integrale di linea di un campo vettoriale F(r) lungo una curva chiusa C viene detto Circuitazione di F lungo C: .

Figura 3‑2 – Additività della Circuitazione

Quando una curva chiusa C viene suddivisa in parti, la somma di tutte le circuitazioni Γi lungo le varie maglie Ci è uguale alla circuitazione lungo la curva di partenza C (in quanto i tratti interni vengono percorsi due volte, in direzioni opposte, e quindi il loro contributo totale è nullo):

( 3‑e)                           ΓC = ∑i Γi

3.3Campi Conservativi

Come abbiamo visto:

Un Campo Vettoriale viene detto Conservativo
se la sua Circuitazione è sempre nulla.

Dalla definizione posta segue immediatamente che:

L’Integrale di  Linea di un Campo Conservativo
lungo una qualsiasi curva
 non dipende dalla Curva, ma solo dai suoi Estremi.

Infatti, detta C1 una curva dal punto A al punto B e C2 una curva da B ad A, poiché la curva C1 + C2 è chiusa, risulta: , e poichè C2 è percorsa in senso inverso rispetto a C1, abbiamo che i due integrali di linea, quando vengono percorsi entrambi nello stesso verso, sono uguali. Tenendo infine conto dell’arbitrarietà di entrambe le curve, resta dimostrato l’asserto.

Figura 3‑3 - Scomposizione di una Curva Chiusa  in due Curve con gli stessi estremi

Chiaramente il ragionamento può essere invertito, arrivando così a dimostrare che se l’integrale di linea non dipende dalla curva ma solo dai suoi estremi, allora la circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è sempre nulla. Le due condizioni sono cioè equivalenti.

In Fisica, quando F rappresenta un campo di forze, l’integrale di linea rappresenta il lavoro compiuto dal campo per spostare un punto materiale – soggetto all’azione della forza – lungo la curva C. In questo caso la funzione integranda è la potenza istantanea W(t) = F(t)v(t) che, integrata sul tempo, dà il lavoro. Se il lavoro non dipende dal percorso, il campo di forze è conservativo, ed il potenziale scalare rappresenta l’energia potenziale del sistema.

Come vedremo (6.3), i campi conservativi sono irrotazionali.

3.4Teorema del Gradiente

Formulazione del Teorema del Gradiente

Il Teorema del Gradiente può essere espresso in diverse forme fra loro equivalenti:

Il Gradiente di un Campo Scalare è un Campo Conservativo.

 

L’Integrale di Linea del Gradiente
non dipende dal Percorso di Integrazione,
ma solo dal Valore del Campo nei suoi Punti Estremi.

 

La Circuitazione di un Gradiente è identicamente nulla.

 

Il Gradiente è un Campo Irrotazionale.

In altre parole, dati due punti rA ed rB, l’integrale di linea di F assume lo stesso valore per tutte le curve aventi questi punti come estremi; tale valore è pari a ∆F = F(rB) – F(rA).

Nel caso particolare di una curva chiusa, rA = rB, e quindi F(rB) – F(rA) = 0:

Dimostrazione Analitica

La dimostrazione segue direttamente dalla formula del differenziale totale ( 2‑d); infatti applicando la definizione di integrale di linea al campo vettoriale F, la sommatoria nel secondo membro della  ( 3‑c) diventa:

               ∑i F(ri) ri   = ∑i ∆Fi

                                       = (F(r2) – F(r1)) + (F(r3) – F(r2)) +  … + (F(rN) – F(rN-1))

                                       = F(rN) – F(r1)

(in quanto tutti i termini intermedi si elidono a vicenda), e quindi, passando al limite:

( 3‑f)                           

da cui segue l’asserto.

Dimostrazione Geometrica

Il Teorema del Gradiente risulta evidente dal punto di vista geometrico: è infatti sufficiente suddividere il percorso di integrazione in corrispondenza dei punti di intersezione con una famiglia di curve (o di superfici) di livello a distanza infinitesima l’una dall’altra (cfr. Figura 2‑1).

Figura 3‑4 - Integrale di Linea di un Gradiente (percorso infinitesimo)

Lungo il generico intervallino di integrazione ∆ri il campo è approssimativamente costante e l’arco di curva, approssimativamente rettilineo, ha lunghezza ∆ri =  ∆hi / sin αi, dove ∆hi è la distanza fra le due curve di livello e αi è l’angolo tra ∆ri e le curve di livello.

Abbiamo pertanto che: Firi = |Fi| (∆hi / sin αi) cos βi, dove βi è l’angolo tra il gradiente e ∆ri.

Tenuto conto del fatto che il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, abbiamo che αi = π/2 – βi , e quindi Firi = |Fi| ∆hi.

Abbiamo così dimostrato che, lungo ogni trattino ∆ri del percorso di integrazione, il valore (infinitesimo) dell’integrale di linea non dipende dalla direzione di ∆ri.

Tenendo infine conto del fatto che , abbiamo che: Firi = Fi, da cui sommando, poiché i termini intermedi si elidono a vicenda, otteniamo la ( 3‑f):  Fdr = FB – FA              (qed).

Analogia con la Formula della Primitiva

Notiamo l’analogia fra la ( 3‑f) e la Formula della Primitiva:

 

Oggetto da integrare

Derivata di una Funzione

Gradiente di un Campo

Tipo di integrazione

Integrale Definito

Integrale di Linea

Dominio di integrazione

Segmento di Retta

Arco di Curva

Confini del dominio
di integrazione

Estremi del Segmento

Estremi dell’Arco

Valore dell’integrale

Funzione Primitiva

Campo

 

In effetti il Teorema del Gradiente non è altro che la generalizzazione in più dimensioni della Formula della Primitiva: per le funzioni si ha che: , mentre per le funzioni N si ha che: dF = Fdr.

Il Gradiente è un Campo Irrotazionale

Si verifica immediatamente che ∇x∇F = (∂yzF – ∂zyF)ex + (∂zxF – ∂xzF)ey +(∂xyF – ∂yzF)ez = 0 (per via dell’uguaglianza delle derivate miste), e quindi il gradiente di un campo scalare F(r) è un campo irrotazionale.

Si poteva arrivare a questa conclusione anche considerando il fatto che il Gradiente è un campo conservativo, e che tutti i campi conservativi sono irrotazionali.

Questa proprietà è peraltro evidente anche dal punto di vista geometrico. Detto F0 = F(r0) il valore del campo scalare F nel punto r0, per ottenere il rotore di F possiamo calcolarne la circuitazione lungo una curva di livello infinitesima definita da F(r) = F0 + ∆F e poi far tendere ∆F a zero. Poiché, a meno di infinitesimi di ordine superiore, questa curva giace nel piano normale a F, ne consegue che la componente tangenziale di F lungo la curva è nulla, e di conseguenza anche la sua circuitazione e quindi il suo rotore sono nulli.

Potenziale Scalare

Abbiamo visto che il Teorema del Gradiente afferma che il gradiente di un campo scalare è un campo conservativo. É vero anche il viceversa:

Un Campo Conservativo può sempre essere espresso come il Gradiente  di un Campo Scalare (detto Potenziale Scalare)

La dimostrazione si basa sul fatto che, poiché il rotore è una circuitazione per unità di area, una circuitazione identicamente nulla implica un rotore nullo, e quindi:

 e ciò comporta che la forma differenziale Fxdx + Fydy + Fzdz è un differenziale esatto, ovvero che esiste una funzione φ(x, y, z) tale che Fx = ∂xφ, Fy = ∂yφ, Fz = ∂zφ, e quindi: F = φ.  (q.e.d.)

3.5Campi a Simmetria Sferica

Conservatività dei Campi Centrali

Vogliamo dimostrare che:

I Campi Centrali sono Conservativi

Dimostrazione Analitica

Detta A(r) la primitiva di a(r), abbiamo che:

( 3‑g)                            

 (dove si è sfruttato il fatto che ).

La ( 3‑g) ci dice che il generico campo centrale F(r) = a(r)er può essere espresso come gradiente del campo scalare A(r), e poiché i gradienti sono conservativi, segue l’asserto.

Alla base di questa proprietà c’è il fatto che tutti gli elementi coinvolti (a(r), A(r) e A(r)) sono dotati di simmetria sferica.

Nel caso di un campo centrale che dipenda dall’inverso del quadrato della distanza, abbiamo che: a(r) = k/r2, e quindi: A(r) = -k/r.

Dalla conservatività dei campi centrali segue direttamente la loro irrotazionalità. In effetti x(f(r)r) = (f(r))xr + f(r)xr = 0 (in quanto f(r) è parallelo ad r e xr = 0.

Dimostrazione Geometrica

Per dimostrare la conservatività dei campi centrali, il procedimento è analogo a quello utilizzato per dimostrare la conservatività del gradiente.

Si suddivide il percorso di integrazione in corrispondenza dei punti di intersezione con una famiglia di circonferenze (o di sfere) centrate nell’origine di raggio ρi e a distanza infinitesima ∆ρi = ρi+1 – ρi l’una dall’altra.

Figura 3‑5 – Conservatività dei Campi Centrali

Poiché la direzione della forza è radiale, abbiamo che F(ri)ri = F(ρi)∆ρi, da cui sommando e passando al limite si ottiene: , che non dipende dal percorso, ma solo dai suoi estremi.                                      (qed).

3.6Campi a Simmetria Radiale

Circuitazione di un Campo Radiale proporzionale a 1/ρ

I Campi Radiali proporzionali a 1/ρ sono, per definizione, dei campi vettoriali del tipo , dove (con riferimento alla Figura 1‑1):

-        r è il raggio vettore del generico punto P;

-        ρ è la distanza fra il punto P e l’asse di simmetria;

-        et è il versore normale a ρ (e quindi tangente alla circonferenza per il punto P );

-        k è la costante di proporzionalità.

Essi rivestono una grande importanza in Fisica: infatti sia il campo elettrostatico di un filo rettilineo uniformemente carico che il campo magnetostatico di un filo rettilineo percorso da una corrente stazionaria sono di questo tipo (in effetti la magnetostatica è ottenibile dall’elettrostatica con un semplice cambiamento di sistemi di riferimento inerziali).

I campi radiali proporzionali a 1/ρ godono della notevolissima proprietà che la loro circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è indipendentemente dalla forma della curva ed uguale a 2πk se la curva contiene l’asse di simmetria, altrimenti è nulla:

(3‑h)                           

Dimostrazione Geometrica

Procediamo per passi:.

·        Se la curva C è una circonferenza giacente su un piano π normale all’asse di simmetria, con centro in PR e raggio ρ (cfr. Figura 1‑1), il campo ha intensità costante (pari a k/ρ) lungo tutta la circonferenza ed è sempre tangente ad essa, per cui la circuitazione totale lungo la circonferenza è data da (k/ρ)L, dove L = 2πρ è la lunghezza della circonferenza, e quindi Γ = 2πk, ed è quindi indipendente dal raggio della circonferenza.

·        Anche nel caso in cui la curva C sia una curva piana di forma arbitraria giacente sul piano π e contenente l’asse di simmetria, risulta  ΓC = 2π k.In altre parole il valore della circuitazione non dipende dalla forma della curva.

·         Consideriamo infatti una circonferenza con centro in PR e raggio ρ tale da essere interamente contenuta all’interno della curva C e consideriamo un angolo che tagli una piccola porzione ∆l sulla circonferenza interna e, proseguendo, una porzione ∆L sulla curva C, a distanza ρ’ dal punto P(cfr Figura 3‑6).

·         La lunghezza di ∆L è maggiore di quella di ∆l  per due fattori: (a) per il rapporto ρ’/ρ delle distanze da PR; (b) per il fattore 1/cos θ (dove θ è l’angolo fra le tangenti alle due curve) che tiene conto della loro diversa inclinazione.

·         La componente tangenziale del campo in ∆L è invece inferiore a quella in ∆l per due fattori: (a) per il rapporto ρ/ρ’ che deriva dal fatto che il campo è inversamente proporzionale alla distanza dall’asse di simmetria; (b) per il fattore cos θ che tiene conto della diversa inclinazione di ∆L rispetto a ∆l.

·         Vediamo quindi che i vari coefficienti si bilanciano perfettamente e pertanto risulta: F(ρ’)∙∆L = F(ρ)∙∆l.

·         Infine, poiché ogni porzione della curva C può essere messa in corrispondenza con una parte della circonferenza, ne consegue che la circuitazione totale attraverso le due curve deve risultare la stessa, e quindi ΓC = 2π k.

Figura 3‑6 – Circuitazione attraverso una curva chiusa di forma arbitraria contenente PR

·        Nel caso in cui la curva C sia una curva piana di forma arbitraria, sempre giacente sul piano π, ma che non contenga l’asse di simmetria, risulta  ΓC = 0.

Infatti, con riferimento alla Figura 3‑7, se consideriamo una circonferenza centrata in PR che intersechi la curva C in due punti, si ha che: Γ(A2+C1) = Γ(C2+A1) = 2π k (in quanto entrambe le curve contengono l’asse di simmetria) , e quindi Γ(C1+C2) = Γ(C1+A2) – Γ(C2+A1) =  0

Figura 3‑7 – Circuitazione attraverso una curva chiusa di forma arbitraria non contenente PR

·        Infine, per dimostrare che i risultati ottenuti sono applicabili anche a qualsiasi curva chiusa sghemba, è sufficiente dimostrare che, se consideriamo una curva ottenuta intersecando la superficie cilindrica con un piano qualsiasi, la circuitazione lungo questa curva è indipendente dalla giacitura del piano.

Consideriamo un piano π1 normale all’asse di simmetria  ed un piano π2 inclinato di un angolo θ rispetto al piano π1.

Sia Σ la superficie del cilindro di equazione ρ = costante. Indicando rispettivamente con C1 e con C2 le intersezioni di Σ con π1 e con π2, abbiamo che:

·   l’intensità del campo è costante lungo tutta la superficie Σ, e quindi anche lungo sia C1 che C2;

·   la componente tangenziale del campo in C2 è inferiore a quella in C1 per un fattore cos θ;

·   la lunghezza di C2 è maggiore della lunghezza di C1 per un fattore 1/cos θ.

Anche in questo caso i due fattori si bilanciano e quindi la circuitazione lungo le due curve assume lo stesso valore, sempre pari a 2π k.

Con lo stesso procedimento dei punti (b) e (c) si dimostra che la circuitazione non dipende dalla forma della curva ed è nulla se la curva non contiene l’origine).

É infine evidente che partizionando una curva sghemba in un gran numero di archi elementari, questi risulteranno approssimativamente piani, e con ciò resta dimostrato l’asserto.

É importante sottolineare che il risultato ottenuto dipende crucialmente da due elementi: (a) il fatto che il campo è radiale (potendo così bilanciare il fattore cos θ); (b) il fatto che il campo è  proporzionale a 1/ρ (in quanto ρ è lo stesso fattore con cui crescono le lunghezze). Per tutti gli altri tipi di campo i vari fattori non si bilanceranno, e quindi il risultato qui ottenuto non è applicabile.

 

                                                                          4Integrali di Superficie

L’Integrale di Superficie è un integrale dove la funzione integranda può essere un campo scalare (o una funzione di più variabili) oppure un campo vettoriale, e viene valutata lungo una specifica superficie.

4.1Integrale di Superficie di un Campo Scalare

Definizione

Supponiamo di dover calcolare la massa di una superficie disomogenea S della quale conosciamo la densità superficiale σ(P), dove P è il generico punto della superficie. Possiamo suddividere S in un gran numero N di porzioni ∆Si infinitesime, la cui massa sarà approssimativamente ∆Mi = σ(Pi) ∆Si e poi sommare. Il limite della somma darà la massa della superficie purchè, al crescere di N, si abbia che max(∆Si) tenda a zero. Questo limite è l’integrale di superficie del campo F(r).

Siano S una superficie di equazione parametrica r = r(u, v) e F(r) un campo scalare definito su di essa. Per semplicità supponiamo che i parametri (u, v) siano definiti all’interno di un dominio connesso D2 di forma rettangolare.

Partizionando i lati di D con due successioni di punti (ui) e (vj), veniamo a definire un reticolo di punti {Pij (ui, vj)} che stabilisce una partizione di D in rettangolini infinitesimi Dij di lati ∆ui = ui–ui-1 e ∆vj = vj–yj-1 e di aree ∆ui∆vj.

Indichiamo con:

·         rij = r(ui, vj) l’immagine del punto Pij sulla superficie S;

·        Sij = F(Dij) l’immagine del rettangolino Dij;

·        ∆Sij l’area del rettangolino Dij.

Possiamo a questo punto definire l’Integrale di Superficie del Campo Scalare F(r) come:

( 4‑a)                           ∫∫S F(r)dS := lim i,j F(rij) ∆Sij

dove il limite viene preso per N ,  max {∆xi} 0 e max {∆yj} 0.

Conviene riscrivere la ( 4‑a) nella forma:

( 4‑b)                           ∫∫S F(r)dS := lim i,j F(r(ui, vj)) αij  ∆ui ∆vj ,

dove αij = ∆Sij / ∆ui ∆vj rappresenta il coefficiente puntuale di deformazione delle aree introdotto dall’applicazione r(u, v) e può essere calcolato come segue: la superficie Sij può essere approssimata con il parallelepipedo identificato dai vettori r(ui, vj) – r(ui-1, vj) = ur(ui, vj) ∆ui  e r(ui, vj) – r(ui, vj-1) = vr(ui, vj) ∆vj , la cui area (tralasciando gli indici i e j) è data da:
|ur x  vr | ∆u ∆v. Ne consegue che:

( 4‑c)                          

Con un procedimento analogo a quello seguito nel caso degli integrali di linea, è possibile verificare che la ( 4‑c) non dipende dalla scelta di una particolare parametrizzazione della superficie S.

Figura 4‑1 – Integrale di Superficie

4.2Integrale di Superficie di un Campo Vettoriale

L’integrale di superficie di un campo vettoriale F(r) rappresenta il flusso di F attraverso una superficie S; esso viene ricondotto al calcolo di un integrale di superficie di un campo scalare considerando, in ogni punto del dominio di integrazione, la componente Fn del campo normale alla superficie in quel punto: Fn(rij)∆Sij = F(rij)nij ∆Sij (dove nij è il versore normale a Sij).

Pertanto, detta dσ = ndS la ( 4‑a) diventa:

( 4‑d)                           ∫∫S F(r)dσ := lim i,j F(rij)n ∆Sij

 

L’integrale di superficie di un campo vettoriale, essendo definito in termini di un prodotto scalare di due vettori, è uno scalare.

Il verso di n è arbitrario. Nel caso in cui S sia una superficie chiusa, è consuetudine considerare positivo il verso diretto all’esterno di S.

4.3Flusso

Definizione

Il Flusso è la rapidità con cui qualcosa fluisce attraverso una superficie; in generale è una misura di passaggio: quanta roba passa attraverso un’area nell’unità di tempo.

Per visualizzare il concetto di flusso basta immaginare una racchetta da tennis esposta al vento: in questo caso la quantità di aria che passa attraverso la racchetta in un dato intervallo di tempo è il flusso di aria attraverso la superficie della racchetta. Questa quantità dipende da:

·         densità dell’aria;

·         velocità del vento;

·         superficie della racchetta;

·         inclinazione della superficie della racchetta rispetto alla direzione del moto delle molecole: se è perpendicolare il flusso è massimo, se è parallela il flusso è nullo.

Supponiamo inizialmente di avere un fluido omogeneo (densità ρ costante) le cui molecole abbiano tutte la stessa velocità v, anch’essa costante, e che questo fluido attraversi una superficie S di area A.

Definiamo il flusso del fluido attraverso la superficie S come:

( 4‑e)                          

 (dove ∆M è la massa del fluido che attraversa la superficie S nel tempo ∆t).

Figura 4‑2 - Flusso

 

Figura 4‑3 – Flusso

·        Se la superficie è S orientata perpendicolarmente a v, essa viene attraversata, nel tempo ∆t, da tutte le molecole che si trovano ad una distanza ∆l = v∆t da essa, ovvero da tutte le molecole contenute all’interno di un volume ∆V = A∆l = Av∆t, e quindi:

                                     .

·        Se invece la normale n alla superficie forma una angolo θ rispetto a v, il flusso è ridotto di un fattore cos θ, e quindi, posto σ = An, abbiamo:

                                    ΦS = ρvσ .

Se la velocità e/o la densità del fluido non sono uniformi, esse possono essere descritte rispettivamente da un campo vettoriale v(r, t) e da un campo scalare ρ(r, t), per cui, detta:
j(r, t) = ρ(r, t) v(r, t) la densità di corrente, dividendo la superficie σ in porzioni infinitesime ∆σ e passando al limite si ha:

( 4‑f)                           

La ( 4‑f) definisce il flusso di j attraverso la superficie S come l’integrale di superficie di j esteso ad S.

Se né ρ né v dipendono da t, il moto del fluido è detto stazionario.

Dalla definizione è evidente che, se indichiamo con [J] l’unità di misura del campo vettoriale j, l’unità di misura di Φ(j) è pari a [J][l2]. Nel caso in questione [J] = [m l-3 l t-1], e quindi [Φ(j)] = [m t-1] ovvero gr / sec.

Esempi

É chiaro che la ( 4‑f) può essere utilizzata non solo per la densità di corrente j, ma anche per un qualsiasi campo vettoriale. Alcuni casi particolarmente significativi sono:

j = ρv = densità di corrente

                (ρ = densità di massa)

Φ(j) = dM/dt = quantità di materia per unità di tempo

j = ρv = densità di corrente elettrica

                (ρ = densità di carica)

Φ(j) = dQ/dt = I =    corrente elettrica
(quantità di carica per unità di tempo)

h = –κT densità di flusso termico

Φ(h) = flusso termico: quantità di calore (per unità di tempo)

S = E x B = vettore di Pointing

Φ(S) = energia elettromagnetica irraggiata (per unità di tempo)

E = campo elettrico

Φ(E) = flusso elettrico

B = campo magnetico

Φ(B) = flusso magnetico

Flusso attraverso una Superficie chiusa

Nel caso in cui si voglia calcolare il flusso attraverso una superficie chiusa, è possibile suddividere arbitrariamente il volume V racchiuso da tale superficie in più parti Vi e calcolare quindi la somma dei flussi attraverso le singole superfici chiuse che racchiudono ciascuna parte (in quanto il flusso attraverso ciascuna delle superfici interne è presente una volta col segno più e una volta col segno meno, e quindo il suo contributo totale è nullo).

Indicando[6] con S = ∂V la superficie che racchiude il volume V, abbiamo quindi:

( 4‑g)                           Φ∂V = ΣiΦ∂Vi

Figura 4‑4 – Flusso attraverso una Superficie Chiusa

Flusso di un Campo Centrale proporzionale a 1/r2

I Campi Centrali proporzionali a 1/r2 (ovvero i campi del tipo: , dove er è il versore radiale rispetto all’origine) rivestono una grande importanza in Fisica: infatti sia il campo elettrostatico che quello gravitazionale sono di questo tipo.

Essi godono della notevolissima proprietà che il loro flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa è indipendente dalla forma della superficie ed è uguale a 4πk se la superficie contiene l’origine, altrimenti è nullo:

(4‑h)                           

Dimostrazione Geometrica

Procediamo per passi:.

·        Se la superficie S è una sfera con centro nell’origine e raggio r, il campo ha un’intensità costante (pari a k/r2) lungo tutta la superficie della sfera ed è sempre perpendicolare ad essa, per cui il flusso totale attraverso la sfera è dato da da (k/r2)A, dove A = 4πr2 è l’area della sfera, e quindi Φ = 4πk, ed è quindi indipendente dal raggio della sfera.

·        Anche nel caso in cui la superficie S sia una superficie chiusa di forma arbitraria contenente l’origine, risulta  ΦS = 4πk.In altre parole il valore del flusso non dipende dalla forma della superficie.

·         Consideriamo infatti una sfera con centro nell’origine e raggio r tale da essere interamente contenuta all’interno della soperficie S e consideriamo un cono con vertice nell’origine che tagli una piccola porzione di superficie ∆a sulla sfera interna e, proseguendo, una porzione ∆A sulla superficie S, a distanza R dall’origine  (cfr Figura 4‑5).

·         L’area di ∆A è maggiore di quella di ∆a  per due fattori: (a) per il rapporto (R/r)2 delle distanze dall’origine; (b) per il fattore 1/cos θ (dove θ è l’angolo fra le normali alle due superfici) che tiene conto della loro diversa inclinazione.

·         La componente normale del campo in ∆A è invece inferiore a quella in ∆a per due fattori: (a) per il rapporto (r/R)2 che deriva dal fatto che il campo è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza dall’origine; (b) per il fattore cos θ che tiene conto della diversa inclinazione di ∆A rispetto a ∆a.

·         Vediamo quindi che i vari coefficienti si bilanciano perfettamente e pertanto risulta: F(R)∙∆A = F(r)∙∆a.

·         Infine, poiché ogni porzione della superficie S può essere messa in corrispondenza con una parte della sfera, ne consegue che il flusso totale attraverso le due superfici deve risultare lo stesso, e quindi ΦS = 4πk.

 

Figura 4‑5 – Flusso di un Campo Centrale proporzionale a 1/r2

·        Nel caso invece in cui la curva S sia una curva chiusa di forma arbitraria, ma che non contenga l’origine, risulta  ΦS = 0.

·         Infatti, con riderimento alla Figura 3‑7 che illustra il procedimento nel caso del tutto analogo della circuitazione, se consideriamo una circonferenza centrata nell’origine intersechi la superficie S dividendola in due parti S1 ed S2 , abbiamo che, dette A1 ed A2 le parti in cui risulta divisa la sfera, risulta: Φ(A2+S1) = Φ(S2+A1) = 4π k (in quanto entrambe le superfici contengono l’origine) , e quindi Φ(S1+S2) = Φ(S1+A2) – Φ(S2+A1) = 0.

·         Se invece consideriamo una superficie S di forma arbitraria che non contenga l’origine, possiamo considerare una sfera Σ centrata nell’origine che intersechi la superficie S, suddividendola in due porzioni S1 ed S2.

É importante sottolineare che il risultato ottenuto dipende crucialmente da due elementi: (a) il fatto che il campo è centrale (potendo così bilanciare il fattore cos θ); (b) il fatto che il campo è  proporzionale a 1/r2 (in quanto r2 è lo stesso fattore con cui crescono le aree, e così i due contributi si bilanciano). Per tutti gli altri tipi di campo i valori del flusso saranno, in generale, diversi.

Legge di Gauss (Forma Integrale)

La legge di Gauss è una immediata applicazione del teorema precedente all’Elettrostatica. Essa stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale (a meno di un fattore 4π) alla carica contenuta all’interno della superficie.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme qi ferma in ri è:  (dove ei è il versore della direzione rri). Il Campo Elettrico è quindi un campo centrale dipendente da 1/r2, e pertanto ΦS(Ei) = 4π qi.

Il campo elettrico generato da un sistema di cariche è uguale alla somma dei campi generati dalle singole cariche (Principio di Sovrapposizione): ETOT = ∑i Ei.

In base a quanto visto prima, il flusso delle cariche situate all’esterno della superficie S sarà nullo, e quindi:

( 4‑i)                            ΦS(E) = 4π Q

 (dove Q è la carica totale contenuta all’interno della superficie S).

                                                                                                  5Divergenza

5.1Definizione ed Interpretazione Fisica

Definizione

La Divergenza di un campo vettoriale F(r) è definita, in coordinate cartesiane, come:

( 5‑a)                           Div(F) := ∇∙F

(dove si è fatto uso dell’operatore nabla), ed è una grandezza scalare che descrive, in ogni punto, la tendenza del campo a originare da, o a convergere verso, quel dato punto.

Come vedremo, la Divergenza è sostanzialmente una densità di flusso (per unità di volume).

La definizione di divergenza data con la ( 5‑a) è relativa esclusivamente ad un sistema di coordinate cartesiane. Se si utilizza un differente sistema di coordinate l’espressione della divergenza cambia.

Nel caso tridimensionale, dette Fx(x, y, z), Fy(x, y, z) e Fz(x, y, z) le componenti del campo F(r) secondo un riferimento cartesiano xyz, si ha che: Div(F) = ∂xFx + ∂yFy + ∂zFz.

La definizione data può essere immediatamente estesa ad un numero N di dimensioni (ovvero alle applicazioni F: NN) ponendo Div(F) = ∂iFi, dove Fi sono le componenti di un campo vettoriale controvariante.

La natura scalare della divergenza segue immediatamente dal fatto che è stata definita in termini del prodotto scalare (o della contrazione degli indici).

Interpretazione fisica

Vogliamo dimostrare che la definizione di Divergenza posta in ( 5‑a) comporta che:

La Divergenza è una Densità di Flusso (per Unità di Volume)

Figura 5‑1 – Divergenza

Consideriamo quindi un fluido descritto da una densità di corrente j(r) e calcoliamo il flusso del fluido uscente da un parallelepipedo infinitesimo di lati ∆x, ∆y e ∆z avente un vertice nel punto (x0, y0, z0). Abbiamo che:

-       il flusso entrante attraverso la faccia normale all’asse x posta ad x=x0 è:

                                    ΦIN(x0)       =  j(x0, y0, z0)σx = jx(x0, y0, z0) ∆y∆z ;

-       il flusso uscente dalla faccia normale all’asse x posta ad x=x0+∆x è:

                                    ΦOUT(x0+∆x)       = j(x0+∆x, y0, z0)σx = jx(x0+∆x, y0, z0) ∆y∆z ;

-       il flusso netto uscente dalle due facce è quindi:

                                    Φx(r0)      = ΦOUT(x0+∆x, y0, z0) – ΦIN(x0, y0, z0)

                                                   = ∂xjx(r0) ∆x∆y∆z ;

-       analogamente per le altre due coppie di facce:

                                    Φy(r0) = ∂yjy(r0) ∆x∆y∆z  ; 

                                    Φz(r0) = ∂zjz(r0) ∆x∆y∆z

-       il flusso netto uscente dal parallelepipedo è quindi:

                           Φ∆V = ∆Φx + ∆Φy + ∆Φz = (∂xjx + ∂yjy +∂zjz) ∆x∆y∆z

da cui, detto ∆V = ∆x∆y∆z, e tenendo conto della definizione di divergenza ( 5‑a), otteniamo:   

( 5‑b)                           Φ∆V = ∇∙j ∆V.

Per come è stata costruita, questa formula risulta valida al primo ordine di approssimazione. É tuttavia possibile ottenere una grandezza puntuale dividendo ambo i membri per ∆V e facendo tendere ∆V a zero:

( 5‑c)                          

                                                                                                                                                                        (q.e.d.)

Divergenza e Linee di Flusso

Se consideriamo il caso di un fluido incomprimibile, vediamo subito che la divergenza della sua densità di corrente è legata alla presenza di pozzi e/o sorgenti di fluido.

Innanzitutto osserviamo che la condizione di incomprimibilità comporta che il numero delle molecole del fluido presenti all’interno di un qualsiasi volume V non può che rimanere costante. Distinguiamo quindi le seguenti situazioni:

·        All’interno di V non sono presenti né pozzi né sorgenti.

Se il fluido è in movimento, in un dato intervallo di tempo alcune molecole potranno entrare dentro V, ma, affinché il numero totale di molecole presenti al suo interno rimanga costante, è necessario che, durante questo intervallo di tempo, un ugual numero di molecole esca da V.

Pertanto il flusso netto del fluido attraverso la superficie S che racchiude V sarà nullo. Le linee di flusso[7] si limiteranno ad attraversare V.

·        All’interno di ∆V è presente una sorgente.

Se in un dato intervallo di tempo la sorgente genera un certo numero di molecole, sempre per via dell’incomprimibilità del fluido, è necessario che nello stesso tempo un ugual numero di molecole esca da V, generando così un flusso netto uscente (> 0) dalla superficie S. All’interno di V si origineranno delle nuove linee di flusso.

·        All’interno di ∆V è presente un pozzo.

Con un ragionamento analogo si può verificare si dovrà avere un flusso netto entrante (< 0) dentro la superficie S, e che alcune le linee di flusso termineranno dentro V.

Poiché la divergenza è un flusso per unità di volume, facendo collassare V in un punto, possiamo affermare che:

Le Linee di Flusso di un Campo
partono dai Punti a Divergenza Positiva
e terminano nei Punti a Divergenza Negativa.

Se un campo è solenoidale, allora non esistono né sorgenti né pozzi, e quindi:

Le Linee di Flusso di un Campo Solenoidale
sono Curve Chiuse.

É necessario tener presente che quest’ ultima proprietà risulta soddisfatta solo se si prende in considerazione l’intero lo spazio. Se invece ci si limita ad un suo dominio finito, allora non è detto che le linee di flusso riescano a chiudersi all’interno di questo dominio.

Se invece il fluido è comprimibile, la situazione è più articolata. Ad esempio una sorgente potrebbe non generare alcun flusso attraverso la superficie S se il fluido rimane confinato al suo interno (aumentando ovviamente di pressione e di densità). Viceversa anche in assenza di sorgenti potrebbe verificarsi un flusso positivo (negativo) se, all’interno di V, si verifica una compressione (rarefazione) del fluido, come avviene ad esempio in presenza di una sorgente termica.

5.2Teorema di Gauss

Teorema di Gauss

Il Teorema di Gauss (detto anche Teorema della Divergenza o di Ostrogradsky) stabilisce una relazione fra l’integrale di superficie di un campo vettoriale e l’integrale di volume della sua divergenza, dove la superficie è quella che racchiude un volume arbitrario, Esso afferma che:

Il Flusso di un Campo Vettoriale attraverso una Superficie Chiusa
è uguale all’Integrale di Volume della Divergenza del Campo
esteso al Volume racchiuso dalla Superficie.

Il Teorema di Gauss non è altro che una riformulazione, in termini integrali, della definizione di Divergenza: poichè la Divergenza è un flusso infinitesimo per unità di volume, ne consegue che il flusso totale si ottiene moltiplicando il valore della divergenza in ogni punto per il volume attorno a  quel punto e sommando.

Il contenuto intuitivo del Teorema di Gauss è semplice: si tratta sostanzialmente della legge di conservazione della massa applicata ad un fluido incomprimibile: se considero una qualsiasi superficie chiusa all’interno di un fluido in movimento, il flusso totale di fluido attraverso di essa è nullo, a meno che al suo interno siano presenti delle sorgenti e/o dei pozzi. In questo caso, poichè la divergenza della densità di corrente rappresenta il flusso per unità di volume, il suo integrale di volume è uguale al flusso attraverso la superficie che lo racchiude..

Considerando un volume V, e indicando con ∂V la superficie chiusa che lo racchiude, possiamo suddividerlo in N volumetti elementari ∆Vi, applicare a ciascuno di essi la ( 5‑b) e sommare, ottenendo così: ∑iΦ∂Vi = ∑i (∇∙j)∆Vi . Tenendo conto della definizione di flusso ( 4‑f) e della sua additività ( 4‑g), si ha che:

( 5‑d)                          

che non è altro che la ( 5‑c) riscritta in forma integrale.

Analogia con la Formula della Primitiva

Notiamo che la ( 5‑d) può essere banalmente riscritta come:

( 5‑e)                          

dove SA ed SB sono due superfici che racchiudono V (ovvero S = SA + SB) e dove il segno meno tiene conto del fatto che il flusso uscente dalla superficie chiusa S è uguale al flusso uscente da SB meno il flusso entrante in SA.

Sotto questa forma è evidente l’analogia fra la ( 5‑e) e la formula della primitiva:

 

Oggetto da integrare

Derivata di una Funzione

Divergenza di un Campo

Tipo di integrazione

Integrale Definito

Integrale di Volume

Dominio di integrazione

Segmento di Retta

Volume

Confini del dominio
di integrazione

Estremi del Segmento

Superfici che racchiudono il Volume

Valore dell’integrale

Funzione Primitiva

Integrale di Superficie del Campo

Legge di Gauss (Forma Differenziale)

Applicando la ( 5‑d) alla ( 4‑i) e tenendo conto che , dove ρ(r) è la densità di carica elettrica, otteniamo:

( 5‑f)                            ∇∙E = 4π ρ

che è una delle Equazioni di Maxwell nel caso elettrostatico.

5.3Campi Solenoidali

Definizione

Come abbiamo visto:

Un Campo Vettoriale viene detto Solenoidale
se la sua Divergenza è nulla dappertutto.

Il Campo magnetostatico B è solenoidale, come pure il campo elettrostatico E in assenza di cariche. Il campo v delle velocità di un fluido incomprimibile è solenoidale.

Potenziale Vettore

Dato un campo vettoriale F(r), se esiste un campo vettoriale A(r) tale che F risulti essere il rotore di A (ovvero: F = xA), allora il campo A viene detto Potenziale Vettore di F.

Poiché la divergenza di un rotore è identicamente nulla ( 7‑c), ne consegue che F è solenoidale.

Si dimostra che è vero anche il viceversa: se un campo F è solenoidale, allora esiste un campo A t.c. F = xA (ciò vale puchè siano soddisfatte opportune condizioni tecniche per A). Pertanto:

Un Campo Vettoriale è Solenoidale se e solo se
 è il Rotore di un Potenziale Vettore.

Tuttavia, poiché il rotore di un gradiente è nullo ( 7‑d), ne consegue che il Potenziale Vettore è determinato a meno del gradiente di una funzione arbitraria.

Il Rotore è un Campo Solenoidale

La ( 7‑c) (∇∙∇xF = 0) ci dice che la divergenza di un rotore è identicamente nulla, e quindi il rotore è un campo solenoidale. É possibile comprendere il motivo di questa identità utilizzando il Teorema di Stokes ed il Teorema di Gauss.

Consideriamo una superfice aperta S di grosse dimensioni, delimitata da una curva chiusa C di piccole dimensioni (ad esempio un palloncino gonfiato d’aria). Quando C collassa in un punto, il confine della superficie S sparisce e la superficie diventa chiusa.

Ora, se F è finito dappertutto, la sua circuitazione ΓC (F) deve tendere a zero quando C collassa in un punto (infatti la circuitazione è approssimativamente proporzionale alla lunghezza di C, che tende a zero).

Ne consegue che, per il Teorema di Stokes, anche ΦS(xF) deve tendere a zero (in qualche modo, chiudendo la superficie, abbiamo aggiunto dei contributi che cancellano ciò che c’era prima!).

Ma per il Teorema di Gauss: , e quindi anche ∇∙∇xF deve tendere a zero!

5.4Equazione di Continuità

L’Equazione di Continuità

L’Equazione di Continuità non è altro che un’equazione di conservazione (ad esmpio della massa o della carica) espressa in termini differenziali.

Consideriamo il caso generale di un fluido il cui moto è descritto dalla densità di corrente j(r, t) = ρ((r, t) v(r, t), e fissiamo un volume V di forma e dimensione qualsiasi. Supponiamo inoltre che V sia interamente contenuto all’interno del fluido, e indichiamo con S la superficie chiusa che lo racchiude.

In virtù del principio di conservazione della massa, abbiamo che la massa M del fluido contenuta in V può variare solo se vi è trasporto di massa attraverso i suoi confini.

In particolare, per qualsiasi intervallo di tempo ∆t, la variazione di massa ∆M deve uguagliare il flusso netto attraverso la superficie S:

( 5‑g)                           ,

da cui, tenendo conto del Teorema di Gauss ( 5‑d) e del fatto che , abbiamo che , e quindi:

( 5‑h)                           ∂tρ + v) = 0

che non è altro che la ( 5‑g) espressa sotto forma differenziale.

Tenendo infine conto della ( 7‑a), possiamo riscrivere la ( 5‑h) nella forma:

( 5‑i)                            ∂tρ + ρ∇∙v + (ρ)v = 0.

Se il moto di un fluido è stazionario (∂tρ = 0), la ( 5‑h) ci dice che ∇∙j = 0, ovvero che j è solenoidale.

Se inoltre il fluido è incomprimibile (ρ(r, t) = costante), la ( 5‑i) ci dice che ∇∙v = 0, ovvero che v è solenoidale.

Formulazione Alternativa

Tenendo conto che: , è possibile scrivere la ( 5‑i) anche nella forma:

( 5‑j)                           

Interpretazione fisica

Per ottenere l’interpretazione fisica della ( 5‑i) è opportuno distinguere le seguenti situazioni:

A)    Se il fluido è omogeneo e incomprimibile (ovvero ρ(r, t) = ρ0 = costante), allora si annulla sia il termime ∂tρ che il termine ρ si annulla, e la  ( 5‑i) si riduce a: ∇∙v = 0.  

Applicando il Teorema di Gauss abbiamo che il flusso totale del fluido attraverso la superficie S che delimita V è nullo.

Ciò significa che il flusso entrante (ΦIN) deve uguagliare quello uscente (ΦOUT): il volune V viene solo attraversato dal fluido.

Poiché il fluido è, per ipotesi, incomprimibile, il numero delle sue molecole presenti all’interno di V non può cambiare: se da qualche parte entra una molecola, allora essa spingerà le molecole presenti all’interno, col risultato di far uscire, da qualche altra parte un’altra molecola. Pertanto, in qualsiasi intervallo di tempo, il numero delle molecole che entrano è esattamente uguale a quelle che escono. All’interno di V si è verificata solo una sostituzione di alcune molecole con un ugual numero di altre molecole.

Tuttavia è importante tener presente che durante l’attraversamento il fluido può accelerare (o decelerare), ovvero la velocità delle molecole che escono può essere maggiore (o minore) di quelle che entrano. Questa situazione si presenta, ad esempio, nel caso di un condotto la cui sezione di ingresso abbia un’area diversa da quella della sezione di uscita.

Figura 5‑2 – Flusso attraverso un condotto a tronco di cono

Infatti, se pensiamo ad un condotto a forma di tronco di cono, dette AIN ed AOUT  le aree della sezione di ingresso e di uscita, abbiamo che l’equazione ΦIN = ΦOUT comporta che: AIN vIN = AOUT vOUT. In altre parole, se il condotto si restringe e il fluido non è comprimibile, allora esso deve uscire più velocemente di quanto entra, in modo da bilanciare i due flussi.

NB: Invece di ragionare in termini di flusso, avremmo anche potuto interpretare direttamente l’equazione ∇∙v = 0. Supponiamo per semplicità che vz sia costante, e consideriamo un quadratino elementare. L’equazione di continuità ci dice che vx(x+∆x, y, z) – vx(x, y, z) = – (vy(x, y+∆y, z) – vy(x, y, z)): un gradiente di velocità positivo nella direzione x deve essere compensato da un gradiente negativo nella direzione y.

B)    Se invece il fluido è comprimibile, è chiaro che se nell’intervallo di tempo ∆t la sua densità (all’interno di V) subisce una variazione uniforme ∆ρ positiva (negativa), la corrispondente compressione (espansione) del fluido contenuto all’interno di V genererà un flusso entrante (uscente) pari a -∂tρ.

C)    Infine anche nell’ipotesi in cui la densità risulti costante nel tempo, in presenza di un gradiente di densità si verificherà un flusso netto non nullo (ad es. se ρ(x, y, z) > ρ(x+∆x, y, z) e vx = costante, il numero delle molecole che entrano attraverso una faccia risulterà maggiore (o minore) di quelle che escono dall’altra faccia). Si verifica facilmente che il contributo totale di questo fenomeno è pari a –v∙∇ρ.

D)    Tenendo infine presente che i fenomeni A, B e C sono tra loro indipendenti, l’effetto totale sarà dato dalla somma dei tre contributi, ottenendo così la ( 5‑i).

                                                                                                          6Rotore

6.1Definizione e Interpretazione Fisica

Definizione

Il Rotore di un campo vettoriale F(r) è definito, in coordinate cartesiane, come:

( 6‑a)                           Rot(F) := xF

(dove si è fatto uso dell’operatore nabla) ed è una grandezza che descrive, in ogni punto, la rapidità di “rotazione” del campo attorno a quel punto. Si tratta di una grandezza vettoriale che fornisce, oltre alla “velocità angolare” anche l’asse di rotazione.

Il rotore è sostanzialmente una densità di circuitazione (per unità di area).

La definizione di rotore data con la ( 6‑a) è relativa esclusivamente ad un sistema di coordinate cartesiane. Se si utilizza un differente sistema di coordinate l’espressione del rotore cambia.

Il rotore è definito esclusivamente nel caso tridimensionale, ed il suo sviluppo in termini di componenti (secondo un riferimento cartesiano xyz) è: Rot(F) = (∂yFz – ∂zFy)ex + (∂zFx – ∂xFz)ey + (∂xFy – ∂yFx)ez.

L’estensione della nozione di rotore ad un numero N>3 di dimensioni richiede qualche cautela in quanto la grandezza che si ottiene non è più un vettore, bensì un tensore doppio antisimmetrico.

La natura vettoriale del rotore segue immediatamente dal fatto che esso è stato definito in termini del prodotto vettoriale (in effetti il rotore è uno pseudovettore).

Rotore e Vorticosità

Per comprendere il significato del rotore prenderemo spunto dalla nozione di vorticosità della fluidodinamica.

Per visualizzare la vorticosità di un fluido, supponiamo che una piccola porzione del fluido venga istantaneamente resa solida, e che il resto del fluido venga rimosso. Se questa piccola porzione, oltre a traslare, ruota anche rigidamente (come una trottola) attorno ad un asse passante per un suo punto, allora si dice che nel fluido è presente una vorticosità.

Figura 6‑1 – Vorticosità

Si può pensare di misurare la vorticorità per mezzo di un piccolo mulinello che possa essere attaccato ad una porzione di fluido senza disturbarla troppo. Se il mulinello ruota, allora in quel punto il fluido presenta una vorticosità. Cambiando l’orientamento dell’asse del mulinello cambia anche la sua velocità di rotazione, per cui è possibile individuare un asse istantaneo lungo il quale la velocità di rotazione risulta massima.

Per formalizzare questi concetti, possiamo pensare alle porzioni di fluido come a delle piccole sfere rigide, e possiamo immaginare di attaccare a ciascuna sfera un sistema di riferimento solidale con essa (e con l’origine nel centro della sfera). In questo modo la rotazione infinitesima ∆φ di una sfera in un tempo ∆t viene ad essere descritta da un vettore ω (velocità angolare) la cui direzione è quella dell’asse di rotazione e la cui intensità è pari a ∆φ/∆t.

Abbiamo quindi che, così come gli aspetti traslazionali del moto del fluido sono descritti dal campo vettoriale v(r, t) delle velocità lineari, quelli rotazionali sono descritti dal campo ω(r, t) delle velocità angolari.

I due campi non sono però indipendenti, in quanto la rotazione di una sfera attorno ad un suo asse è determinata dalle velocità lineari delle sfere a contatto con essa e dall’attrito esistente fra una sfera e l’altra (ossia dalla viscosità del fluido). La vorticosità non dipende quindi solo dalla curvatura delle linee di flusso del fluido: può cioè esistere vorticosità anche in presenza di un moto rettilineo (basti pensare, ad esempio, ad un condotto nel quale la velocità lineare del fludo risulti maggiore al centro rispetto ai bordi).

Esiste quindi una relazione differenziale fra ω e v.

Il modo più semplice per determinarla è quello di considerare il fatto che la circuitazione del campo v delle velocità lineari è una grandezza legata alla “quantità di rotazione” del fluido. Prendendo quindi come cammino di integrazione una piccola circonferenza di raggio ρ, la circuitazione sarà  Γ = 2πρ vt , dove vt = ωρ è la componente tangenziale della velocità. Abbiamo quindi che Γ = 2πρ2ω = 2ωA (dove A = πρ2 è l’area delimitata dal cammino di integrazione). Abbiamo quindi che: la circuitazione per unità di area è il doppio della velocità angolare di rotazione.

In termini piò analitici detto P un punto sulla generica sfera, la sua velocità lineare (nel sistema di riferimento solidale con la sfera) è: v(t) = ω(t) x r(t), dove ω è un vettore che dipende solo dal tempo.

Fissato un istante t0 abbiamo che: ∂xv = (∂xω)xr + ωxxr = ωxex (dove tutti i campi sono calcolati all’istante t0, e dove si è tenuto conto del fatto che ∂xω(t0) = 0). Analogamente: ∂yv = ωxey e ∂zv = ωxez. Esplicitando le componenti abbiamo: , , , da cui, risolvendo rispetto ad ω, si ottiene: , ovvero, utilizzando l’operatore nabla: xv = 2ω.

Questo ci dice che la grandezza xv (detta rotore di v) è il doppio della velocità angolare di rotazione delle sferette su se stesse. Inoltre, come abbiamo appena visto, il rotore è una circuitazione per unità di area, e nel caso di un campo di velocità lineari di un fluido, esso è direttamente proporzionale alla vorticosità del fluido.

Interpretazione fisica

Vogliamo ora dimostrare, in maniera più analitica, che la definizione di Rotore posta in ( 6‑a) comporta che:

Il Rotore è una Circuitazione per Unità di Area

 

Figura 6‑2 – Rotore

Consideriamo quindi un campo vettoriale F(r) e calcoliamone la circuitazione attorno ad un rettangolo infinitesimo di lati ∆x, ∆y, giacente sul piano xy e avente un vertice nel punto (x0, y0, z0). Abbiamo che:

-       lungo il lato (a) risulta:      F(r)r    = Fx(x0, y0, z0)∆x;

-       lungo il lato (b) risulta:      F(r)r    = Fy(x0+∆x, y0, z0)∆y

                                                            = Fy(x0, y0, z0)∆y + ∂xFy(x0, y0, z0)∆x∆y;

-       lungo il lato (c) risulta:      F(r)r    = –Fx(x0, y0+∆y, z0)∆x

                                                            = –Fx(x0, y0, z0)∆y – ∂yFx(x0, y0, z0)∆x∆y;

-       lungo il lato (d) risulta:      F(r)r    = –Fy(x0, y0, z0)∆x.

Sommando si ottiene quindi: Γxy = (∂xFy – ∂yFx) ∆x∆y. Confrontando il risultato ottenuto con l’espressione in coordinate cartesiane del rotore, vediamo che Γxy / ∆x∆y coincide con la componente z del rotore.

Se invece il rettangolino giace sul piano yz otteniamo Γyz / ∆y∆z = (∂yFz – ∂zFy), che coincide con la componente x del rotore.

Se infine il rettangolino giace sul piano zx otteniamo Γzx / ∆z∆x = (∂zFx – ∂xFz), che coincide con la componente y del rotore.

Il risultato ottenuto può essere espresso in termini vettoriali:

 ( 6‑b)                          Γσ = (xF) σ.

dove abbiamo indicato con Γσ la circuitazione attorno al bordo della superficie ∆σ.

Per come è stata costruita, questa formula risulta valida al primo ordine di approssimazione. É tuttavia possibile ottenere una grandezza puntuale dividendo ambo i membri per |∆σ| e facendo tendere a zero ∆σ. É tuttavia necessario che in questo passaggio al limite venga mantenuta costante la direzione di ∆σ. Indicando quindi con n il versore parallelo a ∆σ (e quindi normale al piano su cui giace il bordo di ∆σ), abbiamo che:

( 6‑c)                           (xF)n = limσ→0 Γσ / ∆σ

                                                                                                                                                                        (q.e.d.)

6.2Teorema di Stokes

Teorema di Stokes

Il Teorema di Stokes stabilisce una relazione fra l’integrale di linea di un campo vettoriale e l’integrale di superficie del suo rotore, dove la curva è quella che delimita una superficie arbitraria. Esso afferma che:

La Circuitazione di un Campo Vettoriale F
attraverso una curva C
è uguale al Flusso del Rotore di F
attraverso una qualsiasi supeficie delimitata dalla curva C.

Il Teorema di Stokes non è altro che una riformulazione, in termini integrali, della definizione di Rotore: poichè il rotore è una circuitazione infinitesima per unità di area, ne consegue che la circuitazione totale si ottiene moltiplicando il valore del rotore in ogni punto per l’area attorno a quel punto e quindi sommando. Poichè è necessario considerare solo la componente normale alla superficie, questa somma è il flusso del rotore.

Considerando una curva chiusa C , e indicando con Σ una qualsiasi superficie il cui bordo coincida con la curva C, possiamo suddividere Σ in un gran numero di superfici elementari ∆σi, applicare a ciascuna di essi la ( 6‑b) e sommare, ottenendo così: ∑i Γσ(i) = ∑i (xF) σi Tenendo conto della definizione di flusso  ( 4‑f) e della additività della circuitazione ( 3‑e), si ha che:

( 6‑d)                           ΓC(F) = ΦΣ(xF)

che non è altro che la ( 6‑c) riscritta in forma integrale.

Analogia con la Formula della Primitiva

Notiamo che la ( 6‑d) può essere banalmente riscritta come:

( 6‑e)                           ΦΣ(xF) = Γ(CB) – Γ(CA)                                                                         

dove CA e CB sono due archi di curva che delimitano Σ (ovvero C = CA + CB) e dove il segno meno tiene conto del fatto che, mentre C viene percorsa tutta in uno stesso verso di rotazione, CA e CB sono percorse in versi discordi.

Sotto questa forma è evidente l’analogia fra la ( 6‑e) e la Formula della Primitiva:

 

Oggetto da integrare

Derivata di una Funzione

Rotore di un Campo

Tipo di integrazione

Integrale Definito

Integrale di Superficie (Flusso)

Dominio di integrazione

Segmento di retta

Superficie

Confini del dominio
di integrazione

Estremi del Segmento

Archi di Curva che delimitano la Superficie

Valore dell’integrale

Funzione Primitiva

Integrale di Linea del Campo

Teorema di Green

Il Teorema di Green è semplicemente il Teorema di Stokes nel piano.

In questo caso il campo vettoriale assume la forma F(r) = Fx(x, y)ex + Fy(x, y)ey, e la ( 6‑d) si riduce a:

( 6‑f)                            ,

dove C è una curva piana semplice e chiusa e D è la regione di piano delimitata da C.

Figura 6‑3 – Teorema di Green

6.3Conservatività e Irrotazionalità

Si verifica facilmente che le condizioni di conservatività e di irrotazionalità sono equivalenti, ovvero:

Un Campo Vettoriale è Conservativo se e solo se è Irrotazionale

Infatti se un campo vettoriale F è conservativo, allora la sua circuitazione attorno a qualsiasi curva è sempre nulla, pertanto per ogni punto dello spazio posso scegliere una curva chiusa C infinitesima attorno a quel punto e la circuitazione attorno a questa curva risulterà nulla: ΓC = (xF)σ = 0, ma poichè ∆σ è arbitrario (sia come modulo che come direzione), ne consegue che xF = 0, e quindi il campo F è irrotazionale.

Viceversa, se un campo F = (Fx, Fy, Fz) è irrotazionale, esprimendo la condizione xF = 0 in termini delle componenti, abbiamo che: , e ciò comporta che la forma differenziale Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz è un differenziale esatto, ovvero che esiste un campo scalare φ(r) tale che Fdr = dφ, ma poiché dφ = φdr, ne consegue che F = φ, e poiché il gradiente è un campo conservativo, ne consegue che il campo F è conservativo.                      (q.e.d.)

6.4Equazione di Laplace

Rammentiamo che:

·        un campo conservativo può essere espresso come il gradiente di un potenziale scalare: F = φ;

·        un campo solenoidale può essere espresso come il rotore di un potenziale vettore: F = xA.

·        un campo conservativo è irrotazionale: xF = 0

·         la divergenza di un campo solenoidale è, per definizione, nulla: ∇∙F = 0;

Ne consegue che se un campo conservativo è solenoidale, allora: ∇∙F = ∇∙∇φ = φ = 0 (detta Equazione di Laplace).

Inoltre la relazione tra φ ed A è data da:  φ = ∇xA, ed A soddisfa la seguente equazione:

∇x∇φ = 0 = ∇x∇xA= (∇∙A) - A (dove si è tenuto conto della ( 7‑f) e quindi:

A = (∇∙A) .

                                        7Alcune Formule di Calcolo Vettoriale

( 7‑a)            A) = φA + φA                   Divergenza di un Prodotto

( 7‑b)            xA) = (φ) x A + φ∇xA             Rotore di un Prodotto

( 7‑c)            ( x A) = 0                                   Divergenza di un Rotore

( 7‑d)            x (φ) = 0                                       Rotore di un Gradiente

( 7‑e)            (φ) = φ                                    Divergenza di un Gradiente

( 7‑f)             x x A = (∇∙A)A                Rotore di un Rotore

( 7‑g)            (A x B) = B ∇xA – A ∙ ∇xB    Divergenza di un Prodotto Vettoriale

( 7‑h)            ∇x(AxB) = (B∙∇)A – (A∙∇)B + (∇∙B)A – (∇∙A)B Rotore di un Prodotto Vettoriale

( 7‑i)             (AB) = (B∙∇)A + (A∙∇)B + Bx(∇xA) + Ax(∇xB) Gradiente di un Prodotto Scalare

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Feynman, R.P., Leighton, R.P., Sands, M.: The Feynman Lectures on Physics. (Addison Wesley, 1969).

**           Storico corso di Fisica Generale tenuto da uno dei principali scienziati del XX secolo, con uno stile semplice ed appassionante. Il secondo volume contiene due capitoli dedicati al Calcolo Vettoriale.

Penrose, R. : The Road to Reality. (Knopf, New York, 2005).

** –        Un’opera a tutto campo sulle leggi fondamentali della Fisica e sulla Matematica/Geometria ad esse connessa, scritta da uno dei massimi scienziati del nostro tempo. L’intento dichiarato è divulgativo, e come tale è caratterizzato da notevole semplicità e chiarezza espositiva, ma la vastità degli argomenti trattati e soprattutto la profondità delle osservazioni rendono questo libro un’opera assolutamente unica, di grande valore per tutti gli studiosi di Fisica.

Purcell, E. M. : La Fisica di Berkley – Elettricità e Magnetismo. (Zanichelli, Bologna, 1971).

** –        Libro di testo per gli studenti del primo anno di Fisica di notevole valore didattico. L’esposizione è decisamente scorrevole e comprensibile, grazie anche alle numerose illustrazioni ed esempi, e tende a focalizzare l’attenzione sui principi fondamentali senza perdersi in inutili dettagli.

Smirnov, V.: Cours de Mathématiques Superieurs. (éditions MIR, Moscou, 1969).

**           Opera monumentale, di impostazione tradizionale, scritta con stile proverbialmente piano e chiaro.

Di particolare interesse:

                TOME II: Ch. IV (Analysr vectorielle et théorie du champ) – Ch. V (éléments de géométrie différentielle).

                TOME III (Première Partie): Ch. I (Dèterminants et resolution des systèmes d’équations linéaires) – Ch. II (Transformations linéaires et formes quadratiques).

Spiegel, R. M.: Vector Analysis. (Schaum’s Outline – Mc Graw Hill, New York, 1959).

**           Chiaro, sintetico e ricco di esercizi.

Articoli
Siti Internet

E-school di Arrigo Amadori – http://www.arrigoamadori.com/lezioni/index.htm

(*), **    Sito di Matematica e Fisica contenente materiale decisamente interessante (a vari livelli: divulgativo, di approfondimento e didattico).. É dotato di stimolanti sezioni di Forum, Chat, Open Blog e Open Book. Ottimo sia per lo studente che per lo studioso fai-da-te.

WikipediA – The Free Encyclopedia – http://en.wikipedia.org, http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_real_analysis_topics.

**           L’approccio è di tipo enciclopedico; le singole voci sono trattate con estrema chiarezza, senza disdegnare spiegazioni intuitive ed esempi. Un utilizzo estensivo dei collegamenti ipertestuali rende molto agevole la navigazione fra le singole voci. Interessanti anche la sezione didattica (Wikiversity) e gli Open Books (Wikibooks).

 

Indice Analitico


Campo

Centrale.............................................................. 6, 21

Centrale proporzionale a 1/r2.......................... 7, 30

Conservativo............................................... 6, 17, 44

Irrotazionale....................................................... 8, 44

Radiale...................................................................... 7

Radiale proporzionale a 1/r.............................. 7, 22

Scalare...................................................................... 4

Solenoidale........................................................ 8, 36

Vettoriale.................................................................. 5

Circuitazione............................................................. 17

Continuità

Campi Scalari........................................................... 5

Campi Vettoriali....................................................... 6

Derivata

di un Vettore............................................................ 9

Direzionale............................................................... 9

Differenziabilità

Campi Scalari........................................................... 5

Campi Vettoriali....................................................... 6

Divergenza................................................................ 33

Equazione di Continuità.......................................... 37

Equazione di Laplace............................................... 45

Flusso........................................................................ 27

Gradiente................................................................... 10

Proprietà................................................................. 11

Trasformazione delle Componenti...................... 14

Integrale di Linea

di un Campo Scalare............................................. 15

di un Campo Vettoriale......................................... 16

Integrale di Superficie

di un Campo Scalare............................................. 26

di un Campo Vettoriale......................................... 27

Legge di Gauss

forma differenziale................................................. 36

forma integrale....................................................... 32

Linee di Flusso......................................................... 34

Potenziale

Scalare.................................................................... 21

Vettore.................................................................... 37

Rotore........................................................................ 40

Teorema del Gradiente............................................. 18

Teorema di Gauss..................................................... 35

Teorema di Green..................................................... 44

Teorema di Stokes.................................................... 43

Vorticosità................................................................. 40


 

Keywords

Calcolo Vettoriale, Filo di Arianna, Diego Vasdeki, Campo Centrale, Campo proporzionale a 1/r2, Campo Conservativo, Campo Irrotazionale, Campo Radiale, Campo proporzionale a 1/r, Campo Scalare, Campo Solenoidale, Campo Vettoriale, Circuitazione, Continuità, Derivata di un Vettore, Derivata Direzionale, Differenziabilità, Divergenza, Equazione di Continuità, Equazione di Laplace, Flusso, Gradiente, Integrale di Linea, Integrale di Superficie, Legge di Gauss, Linee di Flusso, Potenziale Scalare, Potenziale Vettore, Rotore, Teorema del Gradiente, Teorema di Gauss, Teorema di Green, Teorema di Stokes, Vorticosità



[1]   normalmente si utilizzano, per comodità, delle coordinate cartesiane, ma, in generale, il punto P potrebbe anche essere individuato per mezzo di coordinate affini o di coordinate curvilinee.

[2]   è quella che Woodhouse definisce scherzosamente la prima fondamentale confusione del Calcolo.

[3]   rammentiamo che ha struttura di spazio vettoriale di dimensione 1.

[4] sempre che, ovviamente, soddisfi le condizioni di integrabilità

[5]   talvolta il simbolo Γ viene utilizzato in maniera più restrittiva per indicare la circuitazione lungo una curva chiusa; noi tuttavia non seguiremo questa convenzione e lo utilizzeremo per indicare l’integrale di linea lungo una qualsiasi curva, anche aperta.

[6] in questo caso il simbolo ∂ non ha nulla a che fare con le derivate!

[7]   o Linee di Forza nel caso di un campo di forze

> utilizzando la stessa lettera F per indicare indifferentemente sia F(P) che F(xi)).

NB: Nel caso in cui il dominio X coincida con l’intero spazio VN, allora il campo scalare può essere considerato come un operatore da VN ad ([3]).

Continuità e Differenziabilità

Le nozioni di continuità e di differenziabilità di un campo scalare vengono ricondotte alle analoghe nozioni delle funzioni N:

Un campo scalare F: N viene detto continuo (differenziabile) se può essere rappresentato per mezzo di un’applicazione continua (differenziabile) N.

1.2Campi Vettoriali

Definizione

Un Campo Vettoriale è una funzione che associa un vettore ad ogni punto dello spazio (o di una certa regione di spazio).

ES: Per descrivere la corrente d’acqua di un fiume si potrebbe pensare di individuare le singole molecole d’acqua e considerare quindi la velocità vi(t) di ciascuna di esse, ma questo approccio, è difficilmente praticabile per il gran numero delle molecole. Risulta invece preferibile descrivere la velocità come una funzione dello spazio (oltre che del tempo): v = v(r, t). Per ogni punto r all’interno del letto del fiume si fornisce cioè, istante per istante, la velocità della molecola che in quel momento transita per quel punto. Il risultato è un campo vettoriale (variabile nel tempo).

Detti N uno spazio euclideo N dimensionale (i cui punti indichiamo con P), X un suo sottoinsieme, e WM uno spazio vettoriale reale M dimensionale, un campo vettoriale è un’applicazione F: XWM, e può essere indicato con F(P).

Poiché N è isomorfo ad un qualsiasi spazio vettoriale reale VN, un campo vettoriale può anche essere considerato come una funzione che associa vettori a vettori, e venire quindi indicato con F(v).

Un Campo Vettoriale è un’Applicazione F: (X VN) WM .

Espressione Analitica

Per esprimere analiticamente un campo vettoriale è sufficiente individuare i punti di X per mezzo di un opportuno sistema di coordinate: P = (x1, x2, … , xN). Così facendo il campo vettoriale F(v) diventa un’applicazione NM, ed è quindi espresso da una M-pla ordinata di funzioni reali di N variabili reali:

                                   

o, più sinteticamente: wk = Fk(vi), con k=1, 2, … , M e con i = 1, 2, … , N.

Alla base di questa possibilità c’è l’isomorfismo esistente fra un qualsiasi spazio vettoriale reale VN e lo spazio N delle N-ple ordinate di numeri reali (e analogamente per WM e M)..

Anche nel caso dei campi vettoriali valgono, relativamente alla distinzione tra la F(v) e le Fk(vi), delle osservazioni analoghe a quelle già svolte nel caso dei campi scalari.

NB: Nel caso in cui il dominio X di un campo vettoriale coincida con l’intero spazio VN, allora il campo vettoriale può essere considerato come un operatore da VN a WM.

        Inoltre un campo scalare è un caso particolare di un campo vettoriale (dove la dimensione M del codominio è pari a uno).

Continuità e Differenziabilità

Le nozioni di continuità e di differenziabilità di un campo vettoriale vengono ricondotte alle analoghe nozioni delle funzioni NM. In Particolare:

Un campo vettoriale F: VNWM viene detto continuo (differenziabile) se può essere rappresentato per mezzo di un’applicazione continua (differenziabile) NM.

Particolari Tipi di Campi Vettoriali

Alcuni tipi di Campi Vettoriali godono di particolari proprietà; ne diamo qui un elenco.

Anche se si fa riferimento a nozioni che verranno introdotte nel seguito, riteniamo comunque che questo elenco possa essere utile sia come riferimento, sia per chiarire le interrelazioni esistenti fra le diverse entità.

·        Un campo vettoriale viene detto Conservativo se la sua Circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è identicamente nulla. Esso gode delle sequenti proprietà:

a)   il suo Integrale di Linea lungo una qualsiasi curva C dipende solo dagli estremi della curva (e non dalla particolare curva che li congiunge);

b)   può essere espresso come il gradiente di un campo scalare (detto Potenziale Scalare);

c)   è irrotazionale.

·        In Fisica Classica una Forza Centrale descrive una interazione fra due particelle che (a) è diretta lungo la congiungente le due particelle, (b) ha un’intensità che dipende solo dalla distanza relativa fra le particelle (es. forza gravitazionale, forza elettrica). Ponendo una delle due particelle nell’origine e generalizzando, si ottiene la definizione di Campo Centrale:

·        Un campo vettoriale viene detto Centrale se, in ogni punto P:

a)      la sua intensità dipende solo dalla distanza del punto P da un punto fisso O (normalmente posto nell’origine);

b)      la sua direzione è parallela al segmento .

Un Campo Centrale può quindi essere espresso nella forma:       F(r) = a(r)er ,dove r è il raggio vettore ed  è il versore radiale.

Un Campo Centrale è quindi dotato di Simmetria Sferica: esso assume cioè un valore costante lungo tutti i punti di una sfera centrata nell’origine. Inoltre tale valore dipende solo dal raggio della sfera, e la direzione del campo è sempre radiale (cioè perpendicolare alla superficie della sfera).

I Campi Centrali godono dell’importante proprietà di essere conservativi.

·        Particolare importanza riveste il caso dei campi centrali proporzionali a 1/r2, ovvero dove: a(r) = k/r2.

Infatti sia il campo elettrostatico che quello gravitazionale sono di questo tipo.

Questi campi godono dell’importante proprietà che il loro flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa è indipendente dalla forma della superficie: è uguale a 4π k se la superficie contiene l’origine, altrimenti è nullo.

·        Un campo vettoriale viene detto Radiale se, in ogni punto P:

a)      la sua intensità dipende solo dalla distanza fra ρ il punto P ed una retta fissa R;

b)      la sua direzione è tangente alla circonferenza C normale ad R passante per P.

Figura 11 – Campo Radiale

Un Campo Radiale può quindi essere espresso nella forma:        F(r) = b(ρ)et, dove ρ è il raggio della circonferenza C ed et è il versore tangente a C nel punto P.

Un Campo Radiale è quindi dotato di Simmetria Cilindica: esso assume cioè un valore costante lungo tutti i punti di un cilindro il cui asse coincide con la retta R. Inoltre tale valore dipende solo dal raggio del cilindro, e la direzione del campo è sempre tangenziale (cioè perpendicolare al raggio del cilindro).

·        Particolare importanza riveste il caso dei campi radiali proporzionali a 1/ρ, ovvero dove: b(ρ) = k/ρ.

Infatti sia il campo elettrostatico di un filo rettilineo uniformemente carico che il campo magnetostatico di un filo rettilineo percorso da una corrente stazionaria sono di questo tipo.

Questi campi godono dell’importante proprietà che la loro circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è indipendente dalla forma della curva: è uguale a 2π k se la curva contiene l’asse di simmetria, altrimenti è nulla.

·        Un campo vettoriale la cui divergenza sia identicamente nulla viene detto Solenoidale, Esso può essere espresso come il rotore di un campo vettoriale (detto Potenziale Vettore).

·        Un campo vettoriale il cui rotore sia identicamente nullo viene detto Irrotazionale. I campi irrotazionali sono conservativi.

                                                                          2Calcolo Differenziale

2.1Derivata di un Vettore

La nozione di derivata introdotta per le funzioni reali di una variabile reale può essere estesa ai vettori che siano funzione di una variabile reale (ad esempio il raggio vettore r di una particella in moto: r = r(t)), definendo banalmente:

( 2a)                               .

La definizione è ben posta in quanto a secondo membro abbiamo il prodotto della differenza di due vettori per uno scalare (1/∆t), e gli assiomi degli Spazi Vettoriali ci garantiscono che il risultato è ancora un vettore.

Detta poi f(t) una funzione reale di t, si verifica immediatamente che ∂t(f(t)r(t)) = (∂tf)r + f ∂tr (dove abbiamo utilizzato la notazione compatta).

Esprimendo r(t) in termini delle sue componenti xi(t) secondo una base {e(i)} , abbiamo che, se la base rimane fissa nel tempo (e quindi ∂te(i) = 0), risulterà: ∂tr(t) = ∂t(xi(t) e(i)) = (txi(t))e(i), e quindi, detti v = ∂tr e vi = ∂txi, risulta: vi = ∂txi.

L’ultima espressione esprime il fatto che, se la base rimane fissa, le componenti della derivata di un vettore sono uguali alle derivate delle sue componenti.

NB: Se invece la base è mobile, la relazione non è più così semplice, in quanto saranno presenti dei termini aggiuntivi (vedi p. es. l’accelerazione centrifuga e quella di Coriolis e le cosiddette forze apparenti).

2.2Derivata Direzionale

e-school:   Analisi II - Funzioni f: N differenziabili (2° parte)06 – Derivata secondo una direzione e secondo una retta

Definizione

La Derivata Direzionale di un campo scalare F(r) secondo una direzione identificata dal vettore unitario k è definita come:

( 2b)                          

Alla base di questa definizione c’è il fatto che, se nel dominio di F a partire dal punto r0 ci spostiamo lungo una direzione prefissata k, il campo scalare F(r) si riduce ad una funzione di un’unica variabile (la distanda da r0), alla quale possiamo quindi applicare il procedimento “standard” di derivazione delle funzioni reali di una variabile reale.

Interpretazione Geometrica

Figura 21 - Derivata direzionale

Come sappiamo (cfr. Calcolo Differenziale ed Integrale) il grafico di una funzione di due variabili F(x, y) è costituito dalla superficie z = F(x, y). Dato un punto P nel piano xy, consideriamo quindi la retta r del piano xy di direzione k e passante per P ed il piano π, parallelo all’asse z, contenente la retta r. L’intersezione del piano π con il grafico di F è una curva piana, la cui tangente nel punto F(P) è la derivata direzionale di F secondo la direzione k.

É necessario tener presente che, variando la direzione di k, il piano π ruoterà attorno ad una retta verticale passante per il punto P, e di conseguenza cambierà il profilo della sua intersezione con il grafico di F: ovviamente la derivata direzionale di una funzione dipende dalla direzione secondo cui essa viene calcolata!

Proprietà

Come vedremo nella ( 2e) la derivata direzionale secondo una direzione k è la componente del gradiente in quella direzione.

2.3Gradiente

e-school:         Analisi II - Funzioni f: N differenziabili (4° parte)

Definizione

Consideriamo l’insieme di tutte le funzioni differenziabili F(x, y, z) (ovvero di tutti i campi scalari differenziabili F(r)). Ad ogni funzione è possibile associare la terna ordinata delle sue derivate parziali prime: (∂xF, ∂yF, ∂zF). Non è difficile verificare che – in virtù della linearità dell’operazione di derivazione – l’insieme di queste terne ordinate, dotato delle ovvie operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, ha struttura di Spazio Vettoriale Reale di dimensione tre.

Il generico vettore di questo spazio viene detto Gradiente del campo F(r), ed è solitamente indicato con F, dove si è utilizzato l’operatore differenziale nabla, la cui definizione, in coordinate cartesiane, è data da:

( 2c)                          

NB: Se si utilizza un sistema di coordinate non cartesiane (ad es. polari, sferiche o curvilinee) l’espressione delle grandezze definite tramite l’operatore nabla (gradiente, divergenza e rotore) cambierà forma.

Poiché le derivate parziali di F(r) sono a loro volta delle funzioni di r, è evidente che il gradiente di un campo scalare, poiché definisce un vettore per ogni punto dello spazio, è un campo vettoriale.

Gradiente e Differenziale Totale

Rammentiamo la formula del differenziale totale di una funzione F(xi) di più variabili:

∆F = ∂iFxi (dove abbiamo utilizzato la notazione compatta). Tenendo conto che ∂iF dono le componenti del vettore F, e che ∆xi sono le componenti del vettore ∆r, la formula del differenziale totale può essere espressa in forma vettoriale come:

( 2d)                           ΔF = FΔr = rFr

La natura vettoriale del gradiente risulta evidente dalla ( 2d): infatti, poichè ∆F è uno scalare e ∆xi è un vettore controvariante, per il criterio di tensorialità abbiamo che ∂iF deve essere un vettore covariante.

Proprietà del Gradiente

Il gradiente di un campo scalare ha una chiara interpretazione geometrica:

·        La Direzione del Gradiente (in un punto):

      – è perpendicolare alla Suprficie di Livello (per quel punto);

      – è quella lungo cui la Variazione del Campo è massima.

·        L’Intensità del Gradiente è pari alla Derivata Direzionale calcolata lungo la direzione di Massima Pendenza

·        Per dimostrare che il gradiente è perpendicolare alla superficie di livello, iniziamo a considerare il caso bidimensionale: se da un punto qualsiasi r0 ci si sposta lungo una curva di livello C, il campo rimane – per definizione – costante F(C) = F0, ovvero non subisce variazioni: ∆F = 0. Considerando quindi uno spostamento infinitesimo ∆r lungo una curva di livello, in virtù della ( 2‑d), abbiamo che: FΔr = 0, e quindi i due vettori F e Δr sono perpendicolari. D’altra parte il vettore ∆r giace sulla tangente alla curva di livello nel punto r0, e quindi il gradiente è perpendicolare alla curva di livello.

Il discorso è sostanzialmente identico nel caso tridimensionale, salvo il fatto che ora abbiamo delle superfici di livello e che lo spostamento ∆r lungo una superficie di livello può avvenire in qualsiasi direzione. In questo caso ∆r giace sul piano tangente alla superficie di livello per r0. Poiché FΔr = 0 per qualsiasi direzione di ∆r nel piano tangente, ne consegue che il gradiente è perpendicolare alla superficie di livello per r0.

Il ragionamento può essere articolato più dettagliatamente come segue:

-  detto F0 =F(r0.), l’equazione F(r) = F0 rappresenta la superficie di livello passante per r0;

-  sia r = r(t) l’equazione parametrica di una generica curva passante per r0 (ad es. per t=0, e quindi r(0) = r0); questa curva giacerà sulla superficie di livello per r0 se: F(r(t)) = F0 = F(r(0));

-  differenziando la funzione composta F(r(t)) abbiamo:, che può essere espressa in forma vettoriale come F(r(t))r’(t), e quindi per t=0 otteniamo F(r0)r’(0) = 0;

-  ciò significa che in r0 il gradiente è perpendicolare alla tangente r’(0) alla generica curva giacente sulla superficie di livello, e quindi – in virtù dell’arbitrarietà di questa curva – è perpendicolare alla superficie di livello per quel punto.

·        Per dimostrare che la direzione del gradiente è quella lungo cui la variazione del campo è massima (direzione di “massima pendenza”), basta esprimere la ( 2d) come: ∆F = |F| |∆r| cos θ (dove θ è l’angolo fra la direzione dello spostamento e quella del gradiente); è chiaro ∆F risulta massima quando le due direzioni coincidono.

Figura 22 – Direzione di massima pendenza

·        Per dimostrare infine che l’intensità del gradiente è pari alla derivata direzionale calcolata lungo la direzione di massima pendenza, basta introdurre la formula del differenziale totale ( 2d)  nella definizione della derivata direzionale ( 2b). Detto k il versore della generica direzione di r, e posto ε = |Δr|, si ottiene: ∂kF(r0) = lim ε0 ΔF / ε = lim ε0 (F Δr) / ε , e quindi:

( 2e)                           kF = F k

ovvero:

La Derivata Direzionale di un Campo Scalare in una Direzione
è pari alla Componente del Gradiente
in quella Direzione.

Detto infine h il versore della direzione di massima pendenza (ovvero la direzione in cui la variazione del campo è massima), poiché questa direzione è parallela a quella del gradiente, abbiamo: F = |F| h, e quindi la ( 2e) diventa:

                                    |F| = |∂hF|

·        Anticipiamo infine il fatto che il gradiente F(r) è un campo conservativo (Teorema del Gradiente).

Dimostrazioni Geometriche

Le proprietà del Gradiente risultano evidenti da un punto di vista geometrico.

Consideriamo infatti il caso bidimensionale, dove il campo scalare è rappresentato da una superficie. Con riferimento alla Figura 2‑3, supponiamo di trovarci nel punto A situato su questa superficie ad altitudine h, e di voler salire all’altitudine h+Δh per il cammino più breve. Ovviamente il cammino più breve sarà anche quello più ripido.

Figura 23 – Direzione di massima pendenza

Sia C un punto ad altitudine h+∆h e B il punto sulla verticale di C ad altitudine h; il triangolo ABC è rettangolo, e quindi la lunghezza del percorso da A a C è data da: , e poichè  è fissato, il percorso più breve si ottiene minimizzando .

Poichè le due curve di livello passanti per i punti A e B si trovano a distanza infinitesima, le loro tangenti nei punti A e B risultano parallele (a meno di infinitesimi di ordine superiore). Ne consegue che  risulta minimo quando è perpendicolare alla curva di livello passante per A. Ciò significa che la direzione di massima pendenza è quella perpendicolare alla curva di livello (qed).

Questa dimostrazione può essere formulata in termini analitici come segue:

-    dopo aver stabilito un riferimento cartesiano nel piano xy, abbiamo che:

                                                ∆h = ∆F(x, y) = Fx∆x + Fy∆y ;

-    per trovare la direzione nel piano xy per cui ∆h risulta massimo (o minimo), fissiamo il raggio ∆r di un cerchio infinitesimo centrato nel punto (x, y) e indichiamo con α l’angolo fra questo raggio e l’asse x; abbiamo quindi:

                                                                        ∆h(α) = ∆r (Fxcos α + Fysin α) ;

-    derivando rispetto ad α e imponendo la condizione che questa derivata si annulli si ottiene: Fx sin α + Fy cos α = 0, ovvero: , che ci dice appunto che ∆h assume un valore estremale nella direzione del gradiente (qed).

Trasformazione delle Componenti del Gradiente

Una trasformazione di coordinate  influenza la funzione che descrive il campo e quindi anche le sue derivate prime; essa induce cioè una trasformazione delle componenti del gradiente.

Non è difficile verificare che,

Limitatamente alle Trasformazioni di Coordinate Ortogonali,
un Gradiente si trasforma come un  Vettore Spostamento

e ciò consente di considerare a tutti gli effetti i gradienti alla stessa stregua dei comuni vettori spostamento.

Infatti, a seguito della trasformazione di coordinate (x’i = x’i(xj)), abbiamo che: F’(x’i) = F’(x’i(xj)) = F(xj), da cui derivando ed utilizzando la regola di derivazione delle funzioni composte, otteniamo: , ovvero:

( 2f)                .

La ( 2f) può essere facilmente invertita tenendo conto dell’identità:, per cui, moltiplicando ambo i membri per , otteniamo:

( 2g)               ,

che esprime la formula generale di trasformazione dei gradienti.

NB: La ( 2g) poteva essere ricavata più agevolmente utilizzando la notazione compatta:
jF = ∂k’F’ ∂k’j , da cui: ∂jFjp’ = ∂k’F’ ∂k’jjp’ = ∂k’F’ δk’p’ = ∂p’F’.

Notiamo che la  ( 2g) non coincide con la formula di trasformazione dei vettori spostamento, bensì con quella dei vettori covarianti. In altre parole:

Il Gradiente è un Vettore Covariante.

Nel caso di una Trasformazione Ortogonale abbiamo x’i = Aikxk, dove la matrice di trasformazione è ortogonale: Aik = [Aki]-1 , e quindi xk = [Aki]-1 x’i = Aikx’i; pertanto la ( 2g) diventa: (F’)p = Apk (F)k, che coincide con la formula di trasformazione dei vettori controvarianti, e con ciò resta dimostrato l’asserto.

 

                                                                                    3Integrali di Linea

L’Integrale di Linea è una immediata generalizzazione dell’integrale definito al caso in cui la funzione integranda sia un campo scalare oppure un campo vettoriale.

In entrambi i casi, poiché il dominio della funzione integranda è uno spazio euclideo (o un suo sottoinsieme), non è più sufficiente (come nel caso dell’integrale definito delle funzioni di una variabile) specificare solo i due estremi di integrazione, ma è necessario specificare un cammino di integrazione, ovvero una particolare curva lungo cui la funzione integranda deve essere valutata.

3.1Integrale di Linea di un Campo Scalare

Definizione

Siano F(r) un generico campo scalare e r = r(t), con t [tA, tB], l’equazione parametrica di un arco di curva C. L’applicazione composta F(r(t)) rappresenta il valore del campo lungo i punti della curva, ed è una funzione reale di una variabile reale; come tale può quindi essere integrata[4]. Applicando la definizione di integrale definito possiamo definire l’Integrale di Linea di un Campo Scalare F(r) come:

 ( 3a)                          C F(r)dr := lim i F(ri) ri

dove:

·        tA = t0 < t1 < … < tN = tB definisce una partizione dell’intervallo di definizione del parametro della curva;

·        ri = r(ti) sono i punti corrispondenti lungo la curva;

·        ri = |ri+1ri| sono, a meno di infinitesimi di ordine superiore, le lunghezze degli archi infinitesimi di curva.

Espressione Analitica

Esplicitando nella  ( 3a) le equazioni della curva, e tenendo conto che , abbiamo:

( 3b)                           .

Proprietà

L’integrale di linea di un campo scalare è un numero reale che dipende sia dal campo F(r) che dalla curva C, ma non dipende dalla particolare parametrizzazione scelta per la curva C.

Infatti, detta t = t(t’) la trasformazione del parametro che lega le due parametrizzazioni, abbiamo che r’(t’) = r( t(t’) e quindi:

                                                 ,

(dove nell’ultimo passaggio si è sfruttata la formula del cambiamento di variabile di integrazione).

Interpretazione Geometrica

L’interpretazione geometrica dell’integrale di linea di un campo scalare è la seguente:

-  parametrizziamo la curva C, ad esempio con la sua ascissa curvilinea s;

-  consideriamo la superficie S ottenuta spostando lungo la curva C una direttrice perpendicolare al piano xy;

-  l’intersezione fra la superficie z = F(x, y) e la superficie S definisce una curva D appartenente ad entrambe le superfici;

-  la superficie S può essere “spianata” ottenendo così un piano sz, nel quale giace una curva D’ (ottenuta dalla curva D per effetto di questa operazione di spianamento);

-  nel piano sz, l’area tra l’asse s e la curva D’ è l’integrale curvilineo in questione.

3.2Integrale di Linea di un Campo Vettoriale

Definizione

La nozione di Integrale di Linea può essere estesa facilmente al caso in cui la funzione integranda sia un campo vettoriale F(r), considerando, in ogni punto del cammino di integrazione, la componente Ft del campo tangente alla curva in quel punto: Ft(ri)∆ri = F(ri)ri.

Possiamo quindi definire l’Integrale di Linea di un Campo Vettoriale F(r) come:

( 3c)                           ΓC(F) = C F(r)dr := lim i F(ri) ri    ([5]).

Figura 31 – Integrale di Linea di un Campo Vettoriale

Espressione Analitica

Tenuto conto che , abbiamo che:

( 3d)                           .

A titolo di esempio: in Fisica, se F è un campo di forze, il suo integrale di linea rappresenta il lavoro effettuato per spostare un punto materiale da un punto ad un altro, seguendo un particolare percorso.

Proprietà

Come nel caso dell’Integrale di Linea di un campo scalare, la grandezza definita dalla ( 3d) è un numero reale che non dipende dalla scelta di una particolare parametrizzazione della curva C, bensì dal campo F(r) e, in generale, dalla curva C.

Inoltre, poiché l’integrale di linea è definito in termini di prodotto scalare di due vettori, è evidente che esso è una grandezza scalare, indipendente dal sistema di coordinate utilizzato.

Circuitazione

L’integrale di linea di un campo vettoriale F(r) lungo una curva chiusa C viene detto Circuitazione di F lungo C: .

Figura 32Additività della Circuitazione

Quando una curva chiusa C viene suddivisa in parti, la somma di tutte le circuitazioni Γi lungo le varie maglie Ci è uguale alla circuitazione lungo la curva di partenza C (in quanto i tratti interni vengono percorsi due volte, in direzioni opposte, e quindi il loro contributo totale è nullo):

( 3e)                           ΓC = ∑i Γi

3.3Campi Conservativi

Come abbiamo visto:

Un Campo Vettoriale viene detto Conservativo
se la sua Circuitazione è sempre nulla.

Dalla definizione posta segue immediatamente che:

L’Integrale di  Linea di un Campo Conservativo
lungo una qualsiasi curva
 non dipende dalla Curva, ma solo dai suoi Estremi.

Infatti, detta C1 una curva dal punto A al punto B e C2 una curva da B ad A, poiché la curva C1 + C2 è chiusa, risulta: , e poichè C2 è percorsa in senso inverso rispetto a C1, abbiamo che i due integrali di linea, quando vengono percorsi entrambi nello stesso verso, sono uguali. Tenendo infine conto dell’arbitrarietà di entrambe le curve, resta dimostrato l’asserto.

Figura 33 - Scomposizione di una Curva Chiusa  in due Curve con gli stessi estremi

Chiaramente il ragionamento può essere invertito, arrivando così a dimostrare che se l’integrale di linea non dipende dalla curva ma solo dai suoi estremi, allora la circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è sempre nulla. Le due condizioni sono cioè equivalenti.

In Fisica, quando F rappresenta un campo di forze, l’integrale di linea rappresenta il lavoro compiuto dal campo per spostare un punto materiale – soggetto all’azione della forza – lungo la curva C. In questo caso la funzione integranda è la potenza istantanea W(t) = F(t)v(t) che, integrata sul tempo, dà il lavoro. Se il lavoro non dipende dal percorso, il campo di forze è conservativo, ed il potenziale scalare rappresenta l’energia potenziale del sistema.

Come vedremo (6.3), i campi conservativi sono irrotazionali.

3.4Teorema del Gradiente

Formulazione del Teorema del Gradiente

Il Teorema del Gradiente può essere espresso in diverse forme fra loro equivalenti:

Il Gradiente di un Campo Scalare è un Campo Conservativo.

 

L’Integrale di Linea del Gradiente
non dipende dal Percorso di Integrazione,
ma solo dal Valore del Campo nei suoi Punti Estremi.

 

La Circuitazione di un Gradiente è identicamente nulla.

 

Il Gradiente è un Campo Irrotazionale.

In altre parole, dati due punti rA ed rB, l’integrale di linea di F assume lo stesso valore per tutte le curve aventi questi punti come estremi; tale valore è pari a ∆F = F(rB) – F(rA).

Nel caso particolare di una curva chiusa, rA = rB, e quindi F(rB) – F(rA) = 0:

Dimostrazione Analitica

La dimostrazione segue direttamente dalla formula del differenziale totale ( 2d); infatti applicando la definizione di integrale di linea al campo vettoriale F, la sommatoria nel secondo membro della  ( 3c) diventa:

               i F(ri) ri   = ∑i Fi

                                       = (F(r2) – F(r1)) + (F(r3) – F(r2)) +  … + (F(rN) – F(rN-1))

                                       = F(rN) – F(r1)

(in quanto tutti i termini intermedi si elidono a vicenda), e quindi, passando al limite:

( 3f)                           

da cui segue l’asserto.

Dimostrazione Geometrica

Il Teorema del Gradiente risulta evidente dal punto di vista geometrico: è infatti sufficiente suddividere il percorso di integrazione in corrispondenza dei punti di intersezione con una famiglia di curve (o di superfici) di livello a distanza infinitesima l’una dall’altra (cfr. Figura 2‑1).

Figura 34 - Integrale di Linea di un Gradiente (percorso infinitesimo)

Lungo il generico intervallino di integrazione ∆ri il campo è approssimativamente costante e l’arco di curva, approssimativamente rettilineo, ha lunghezza ∆ri =  ∆hi / sin αi, dove ∆hi è la distanza fra le due curve di livello e αi è l’angolo tra ∆ri e le curve di livello.

Abbiamo pertanto che: Firi = |Fi| (∆hi / sin αi) cos βi, dove βi è l’angolo tra il gradiente e ∆ri.

Tenuto conto del fatto che il gradiente è perpendicolare alle curve di livello, abbiamo che αi = π/2 – βi , e quindi Firi = |Fi|hi.

Abbiamo così dimostrato che, lungo ogni trattino ∆ri del percorso di integrazione, il valore (infinitesimo) dell’integrale di linea non dipende dalla direzione di ∆ri.

Tenendo infine conto del fatto che , abbiamo che: Firi = Fi, da cui sommando, poiché i termini intermedi si elidono a vicenda, otteniamo la ( 3‑f):  Fdr = FB – FA              (qed).

Analogia con la Formula della Primitiva

Notiamo l’analogia fra la ( 3f) e la Formula della Primitiva:

 

Oggetto da integrare

Derivata di una Funzione

Gradiente di un Campo

Tipo di integrazione

Integrale Definito

Integrale di Linea

Dominio di integrazione

Segmento di Retta

Arco di Curva

Confini del dominio
di integrazione

Estremi del Segmento

Estremi dell’Arco

Valore dell’integrale

Funzione Primitiva

Campo

 

In effetti il Teorema del Gradiente non è altro che la generalizzazione in più dimensioni della Formula della Primitiva: per le funzioni si ha che: , mentre per le funzioni N si ha che: dF = Fdr.

Il Gradiente è un Campo Irrotazionale

Si verifica immediatamente che ∇x∇F = (∂yzF – ∂zyF)ex + (∂zxF – ∂xzF)ey +(∂xyF – ∂yzF)ez = 0 (per via dell’uguaglianza delle derivate miste), e quindi il gradiente di un campo scalare F(r) è un campo irrotazionale.

Si poteva arrivare a questa conclusione anche considerando il fatto che il Gradiente è un campo conservativo, e che tutti i campi conservativi sono irrotazionali.

Questa proprietà è peraltro evidente anche dal punto di vista geometrico. Detto F0 = F(r0) il valore del campo scalare F nel punto r0, per ottenere il rotore di F possiamo calcolarne la circuitazione lungo una curva di livello infinitesima definita da F(r) = F0 + ∆F e poi far tendere ∆F a zero. Poiché, a meno di infinitesimi di ordine superiore, questa curva giace nel piano normale a F, ne consegue che la componente tangenziale di F lungo la curva è nulla, e di conseguenza anche la sua circuitazione e quindi il suo rotore sono nulli.

Potenziale Scalare

Abbiamo visto che il Teorema del Gradiente afferma che il gradiente di un campo scalare è un campo conservativo. É vero anche il viceversa:

Un Campo Conservativo può sempre essere espresso come il Gradiente  di un Campo Scalare (detto Potenziale Scalare)

La dimostrazione si basa sul fatto che, poiché il rotore è una circuitazione per unità di area, una circuitazione identicamente nulla implica un rotore nullo, e quindi:

 e ciò comporta che la forma differenziale Fxdx + Fydy + Fzdz è un differenziale esatto, ovvero che esiste una funzione φ(x, y, z) tale che Fx = ∂xφ, Fy = ∂yφ, Fz = ∂zφ, e quindi: F = φ.  (q.e.d.)

3.5Campi a Simmetria Sferica

Conservatività dei Campi Centrali

Vogliamo dimostrare che:

I Campi Centrali sono Conservativi

Dimostrazione Analitica

Detta A(r) la primitiva di a(r), abbiamo che:

( 3g)                            

 (dove si è sfruttato il fatto che ).

La ( 3g) ci dice che il generico campo centrale F(r) = a(r)er può essere espresso come gradiente del campo scalare A(r), e poiché i gradienti sono conservativi, segue l’asserto.

Alla base di questa proprietà c’è il fatto che tutti gli elementi coinvolti (a(r), A(r) e A(r)) sono dotati di simmetria sferica.

Nel caso di un campo centrale che dipenda dall’inverso del quadrato della distanza, abbiamo che: a(r) = k/r2, e quindi: A(r) = -k/r.

Dalla conservatività dei campi centrali segue direttamente la loro irrotazionalità. In effetti x(f(r)r) = (f(r))xr + f(r)xr = 0 (in quanto f(r) è parallelo ad r e xr = 0.

Dimostrazione Geometrica

Per dimostrare la conservatività dei campi centrali, il procedimento è analogo a quello utilizzato per dimostrare la conservatività del gradiente.

Si suddivide il percorso di integrazione in corrispondenza dei punti di intersezione con una famiglia di circonferenze (o di sfere) centrate nell’origine di raggio ρi e a distanza infinitesima ∆ρi = ρi+1ρi l’una dall’altra.

Figura 35Conservatività dei Campi Centrali

Poiché la direzione della forza è radiale, abbiamo che F(ri)ri = F(ρi)∆ρi, da cui sommando e passando al limite si ottiene: , che non dipende dal percorso, ma solo dai suoi estremi.                                      (qed).

3.6Campi a Simmetria Radiale

Circuitazione di un Campo Radiale proporzionale a 1/ρ

I Campi Radiali proporzionali a 1/ρ sono, per definizione, dei campi vettoriali del tipo , dove (con riferimento alla Figura 11):

-        r è il raggio vettore del generico punto P;

-        ρ è la distanza fra il punto P e l’asse di simmetria;

-        et è il versore normale a ρ (e quindi tangente alla circonferenza per il punto P );

-        k è la costante di proporzionalità.

Essi rivestono una grande importanza in Fisica: infatti sia il campo elettrostatico di un filo rettilineo uniformemente carico che il campo magnetostatico di un filo rettilineo percorso da una corrente stazionaria sono di questo tipo (in effetti la magnetostatica è ottenibile dall’elettrostatica con un semplice cambiamento di sistemi di riferimento inerziali).

I campi radiali proporzionali a 1/ρ godono della notevolissima proprietà che la loro circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è indipendentemente dalla forma della curva ed uguale a 2πk se la curva contiene l’asse di simmetria, altrimenti è nulla:

(3h)                           

Dimostrazione Geometrica

Procediamo per passi:.

·        Se la curva C è una circonferenza giacente su un piano π normale all’asse di simmetria, con centro in PR e raggio ρ (cfr. Figura 11), il campo ha intensità costante (pari a k/ρ) lungo tutta la circonferenza ed è sempre tangente ad essa, per cui la circuitazione totale lungo la circonferenza è data da (k/ρ)L, dove L = 2πρ è la lunghezza della circonferenza, e quindi Γ = 2πk, ed è quindi indipendente dal raggio della circonferenza.

·        Anche nel caso in cui la curva C sia una curva piana di forma arbitraria giacente sul piano π e contenente l’asse di simmetria, risulta  ΓC = 2π k.In altre parole il valore della circuitazione non dipende dalla forma della curva.

·         Consideriamo infatti una circonferenza con centro in PR e raggio ρ tale da essere interamente contenuta all’interno della curva C e consideriamo un angolo che tagli una piccola porzione ∆l sulla circonferenza interna e, proseguendo, una porzione ∆L sulla curva C, a distanza ρ’ dal punto PR  (cfr Figura 36).

·         La lunghezza di ∆L è maggiore di quella di ∆l  per due fattori: (a) per il rapporto ρ’/ρ delle distanze da PR; (b) per il fattore 1/cos θ (dove θ è l’angolo fra le tangenti alle due curve) che tiene conto della loro diversa inclinazione.

·         La componente tangenziale del campo in ∆L è invece inferiore a quella in ∆l per due fattori: (a) per il rapporto ρ/ρ’ che deriva dal fatto che il campo è inversamente proporzionale alla distanza dall’asse di simmetria; (b) per il fattore cos θ che tiene conto della diversa inclinazione di ∆L rispetto a ∆l.

·         Vediamo quindi che i vari coefficienti si bilanciano perfettamente e pertanto risulta: F(ρ’)∙∆L = F(ρ)∙∆l.

·         Infine, poiché ogni porzione della curva C può essere messa in corrispondenza con una parte della circonferenza, ne consegue che la circuitazione totale attraverso le due curve deve risultare la stessa, e quindi ΓC = 2π k.

Figura 36Circuitazione attraverso una curva chiusa di forma arbitraria contenente PR

·        Nel caso in cui la curva C sia una curva piana di forma arbitraria, sempre giacente sul piano π, ma che non contenga l’asse di simmetria, risulta  ΓC = 0.

Infatti, con riferimento alla Figura 37, se consideriamo una circonferenza centrata in PR che intersechi la curva C in due punti, si ha che: Γ(A2+C1) = Γ(C2+A1) = 2π k (in quanto entrambe le curve contengono l’asse di simmetria) , e quindi Γ(C1+C2) = Γ(C1+A2) – Γ(C2+A1) =  0

Figura 37Circuitazione attraverso una curva chiusa di forma arbitraria non contenente PR

·        Infine, per dimostrare che i risultati ottenuti sono applicabili anche a qualsiasi curva chiusa sghemba, è sufficiente dimostrare che, se consideriamo una curva ottenuta intersecando la superficie cilindrica con un piano qualsiasi, la circuitazione lungo questa curva è indipendente dalla giacitura del piano.

Consideriamo un piano π1 normale all’asse di simmetria  ed un piano π2 inclinato di un angolo θ rispetto al piano π1.

Sia Σ la superficie del cilindro di equazione ρ = costante. Indicando rispettivamente con C1 e con C2 le intersezioni di Σ con π1 e con π2, abbiamo che:

·   l’intensità del campo è costante lungo tutta la superficie Σ, e quindi anche lungo sia C1 che C2;

·   la componente tangenziale del campo in C2 è inferiore a quella in C1 per un fattore cos θ;

·   la lunghezza di C2 è maggiore della lunghezza di C1 per un fattore 1/cos θ.

Anche in questo caso i due fattori si bilanciano e quindi la circuitazione lungo le due curve assume lo stesso valore, sempre pari a 2π k.

Con lo stesso procedimento dei punti (b) e (c) si dimostra che la circuitazione non dipende dalla forma della curva ed è nulla se la curva non contiene l’origine).

É infine evidente che partizionando una curva sghemba in un gran numero di archi elementari, questi risulteranno approssimativamente piani, e con ciò resta dimostrato l’asserto.

É importante sottolineare che il risultato ottenuto dipende crucialmente da due elementi: (a) il fatto che il campo è radiale (potendo così bilanciare il fattore cos θ); (b) il fatto che il campo è  proporzionale a 1/ρ (in quanto ρ è lo stesso fattore con cui crescono le lunghezze). Per tutti gli altri tipi di campo i vari fattori non si bilanceranno, e quindi il risultato qui ottenuto non è applicabile.

 

                                                                          4Integrali di Superficie

L’Integrale di Superficie è un integrale dove la funzione integranda può essere un campo scalare (o una funzione di più variabili) oppure un campo vettoriale, e viene valutata lungo una specifica superficie.

4.1Integrale di Superficie di un Campo Scalare

Definizione

Supponiamo di dover calcolare la massa di una superficie disomogenea S della quale conosciamo la densità superficiale σ(P), dove P è il generico punto della superficie. Possiamo suddividere S in un gran numero N di porzioni ∆Si infinitesime, la cui massa sarà approssimativamente ∆Mi = σ(Pi) ∆Si e poi sommare. Il limite della somma darà la massa della superficie purchè, al crescere di N, si abbia che max(∆Si) tenda a zero. Questo limite è l’integrale di superficie del campo F(r).

Siano S una superficie di equazione parametrica r = r(u, v) e F(r) un campo scalare definito su di essa. Per semplicità supponiamo che i parametri (u, v) siano definiti all’interno di un dominio connesso D2 di forma rettangolare.

Partizionando i lati di D con due successioni di punti (ui) e (vj), veniamo a definire un reticolo di punti {Pij (ui, vj)} che stabilisce una partizione di D in rettangolini infinitesimi Dij di lati ∆ui = ui–ui-1 e ∆vj = vj–yj-1 e di aree ∆uivj.

Indichiamo con:

·         rij = r(ui, vj) l’immagine del punto Pij sulla superficie S;

·        Sij = F(Dij) l’immagine del rettangolino Dij;

·        Sij l’area del rettangolino Dij.

Possiamo a questo punto definire l’Integrale di Superficie del Campo Scalare F(r) come:

( 4a)                           ∫∫S F(r)dS := lim i,j F(rij) ∆Sij

dove il limite viene preso per N ,  max {∆xi} 0 e max {∆yj} 0.

Conviene riscrivere la ( 4a) nella forma:

( 4b)                           ∫∫S F(r)dS := lim i,j F(r(ui, vj)) αij  ui vj ,

dove αij = ∆Sij / ∆ui vj rappresenta il coefficiente puntuale di deformazione delle aree introdotto dall’applicazione r(u, v) e può essere calcolato come segue: la superficie Sij può essere approssimata con il parallelepipedo identificato dai vettori r(ui, vj) – r(ui-1, vj) = ur(ui, vj) ∆ui  e r(ui, vj) – r(ui, vj-1) = vr(ui, vj) ∆vj , la cui area (tralasciando gli indici i e j) è data da:
|
ur x  vr | ∆u ∆v. Ne consegue che:

( 4c)                          

Con un procedimento analogo a quello seguito nel caso degli integrali di linea, è possibile verificare che la ( 4c) non dipende dalla scelta di una particolare parametrizzazione della superficie S.

Figura 41 – Integrale di Superficie

4.2Integrale di Superficie di un Campo Vettoriale

L’integrale di superficie di un campo vettoriale F(r) rappresenta il flusso di F attraverso una superficie S; esso viene ricondotto al calcolo di un integrale di superficie di un campo scalare considerando, in ogni punto del dominio di integrazione, la componente Fn del campo normale alla superficie in quel punto: Fn(rij)∆Sij = F(rij)nijSij (dove nij è il versore normale a Sij).

Pertanto, detta dσ = ndS la ( 4a) diventa:

( 4d)                           ∫∫S F(r)dσ := lim i,j F(rij)nSij

 

L’integrale di superficie di un campo vettoriale, essendo definito in termini di un prodotto scalare di due vettori, è uno scalare.

Il verso di n è arbitrario. Nel caso in cui S sia una superficie chiusa, è consuetudine considerare positivo il verso diretto all’esterno di S.

4.3Flusso

Definizione

Il Flusso è la rapidità con cui qualcosa fluisce attraverso una superficie; in generale è una misura di passaggio: quanta roba passa attraverso un’area nell’unità di tempo.

Per visualizzare il concetto di flusso basta immaginare una racchetta da tennis esposta al vento: in questo caso la quantità di aria che passa attraverso la racchetta in un dato intervallo di tempo è il flusso di aria attraverso la superficie della racchetta. Questa quantità dipende da:

·         densità dell’aria;

·         velocità del vento;

·         superficie della racchetta;

·         inclinazione della superficie della racchetta rispetto alla direzione del moto delle molecole: se è perpendicolare il flusso è massimo, se è parallela il flusso è nullo.

Supponiamo inizialmente di avere un fluido omogeneo (densità ρ costante) le cui molecole abbiano tutte la stessa velocità v, anch’essa costante, e che questo fluido attraversi una superficie S di area A.

Definiamo il flusso del fluido attraverso la superficie S come:

( 4e)                          

 (dove ∆M è la massa del fluido che attraversa la superficie S nel tempo ∆t).

Figura 42 - Flusso

 

Figura 43 – Flusso

·        Se la superficie è S orientata perpendicolarmente a v, essa viene attraversata, nel tempo ∆t, da tutte le molecole che si trovano ad una distanza ∆l = v∆t da essa, ovvero da tutte le molecole contenute all’interno di un volume ∆V = A∆l = Av∆t, e quindi:

                                     .

·        Se invece la normale n alla superficie forma una angolo θ rispetto a v, il flusso è ridotto di un fattore cos θ, e quindi, posto σ = An, abbiamo:

                                    ΦS = ρvσ .

Se la velocità e/o la densità del fluido non sono uniformi, esse possono essere descritte rispettivamente da un campo vettoriale v(r, t) e da un campo scalare ρ(r, t), per cui, detta:
j(r, t) = ρ(r, t) v(r, t) la densità di corrente, dividendo la superficie σ in porzioni infinitesime ∆σ e passando al limite si ha:

( 4f)                           

La ( 4f) definisce il flusso di j attraverso la superficie S come l’integrale di superficie di j esteso ad S.

Se né ρ né v dipendono da t, il moto del fluido è detto stazionario.

Dalla definizione è evidente che, se indichiamo con [J] l’unità di misura del campo vettoriale j, l’unità di misura di Φ(j) è pari a [J][l2]. Nel caso in questione [J] = [m l-3 l t-1], e quindi [Φ(j)] = [m t-1] ovvero gr / sec.

Esempi

É chiaro che la ( 4f) può essere utilizzata non solo per la densità di corrente j, ma anche per un qualsiasi campo vettoriale. Alcuni casi particolarmente significativi sono:

j = ρv = densità di corrente

                (ρ = densità di massa)

Φ(j) = dM/dt = quantità di materia per unità di tempo

j = ρv = densità di corrente elettrica

                (ρ = densità di carica)

Φ(j) = dQ/dt = I =    corrente elettrica
(quantità di carica per unità di tempo)

h = –κT densità di flusso termico

Φ(h) = flusso termico: quantità di calore (per unità di tempo)

S = E x B = vettore di Pointing

Φ(S) = energia elettromagnetica irraggiata (per unità di tempo)

E = campo elettrico

Φ(E) = flusso elettrico

B = campo magnetico

Φ(B) = flusso magnetico

Flusso attraverso una Superficie chiusa

Nel caso in cui si voglia calcolare il flusso attraverso una superficie chiusa, è possibile suddividere arbitrariamente il volume V racchiuso da tale superficie in più parti Vi e calcolare quindi la somma dei flussi attraverso le singole superfici chiuse che racchiudono ciascuna parte (in quanto il flusso attraverso ciascuna delle superfici interne è presente una volta col segno più e una volta col segno meno, e quindo il suo contributo totale è nullo).

Indicando[6] con S = ∂V la superficie che racchiude il volume V, abbiamo quindi:

( 4g)                           Φ∂V = ΣiΦ∂Vi

Figura 44 – Flusso attraverso una Superficie Chiusa

Flusso di un Campo Centrale proporzionale a 1/r2

I Campi Centrali proporzionali a 1/r2 (ovvero i campi del tipo: , dove er è il versore radiale rispetto all’origine) rivestono una grande importanza in Fisica: infatti sia il campo elettrostatico che quello gravitazionale sono di questo tipo.

Essi godono della notevolissima proprietà che il loro flusso attraverso una qualsiasi superficie chiusa è indipendente dalla forma della superficie ed è uguale a 4πk se la superficie contiene l’origine, altrimenti è nullo:

(4h)                           

Dimostrazione Geometrica

Procediamo per passi:.

·        Se la superficie S è una sfera con centro nell’origine e raggio r, il campo ha un’intensità costante (pari a k/r2) lungo tutta la superficie della sfera ed è sempre perpendicolare ad essa, per cui il flusso totale attraverso la sfera è dato da da (k/r2)A, dove A = 4πr2 è l’area della sfera, e quindi Φ = 4πk, ed è quindi indipendente dal raggio della sfera.

·        Anche nel caso in cui la superficie S sia una superficie chiusa di forma arbitraria contenente l’origine, risulta  ΦS = 4πk.In altre parole il valore del flusso non dipende dalla forma della superficie.

·         Consideriamo infatti una sfera con centro nell’origine e raggio r tale da essere interamente contenuta all’interno della soperficie S e consideriamo un cono con vertice nell’origine che tagli una piccola porzione di superficie ∆a sulla sfera interna e, proseguendo, una porzione ∆A sulla superficie S, a distanza R dall’origine  (cfr Figura 45).

·         L’area di ∆A è maggiore di quella di ∆a  per due fattori: (a) per il rapporto (R/r)2 delle distanze dall’origine; (b) per il fattore 1/cos θ (dove θ è l’angolo fra le normali alle due superfici) che tiene conto della loro diversa inclinazione.

·         La componente normale del campo in ∆A è invece inferiore a quella in ∆a per due fattori: (a) per il rapporto (r/R)2 che deriva dal fatto che il campo è proporzionale all’inverso del quadrato della distanza dall’origine; (b) per il fattore cos θ che tiene conto della diversa inclinazione di ∆A rispetto a ∆a.

·         Vediamo quindi che i vari coefficienti si bilanciano perfettamente e pertanto risulta: F(R)∙∆A = F(r)∙∆a.

·         Infine, poiché ogni porzione della superficie S può essere messa in corrispondenza con una parte della sfera, ne consegue che il flusso totale attraverso le due superfici deve risultare lo stesso, e quindi ΦS = 4πk.

 

Figura 45 – Flusso di un Campo Centrale proporzionale a 1/r2

·        Nel caso invece in cui la curva S sia una curva chiusa di forma arbitraria, ma che non contenga l’origine, risulta  ΦS = 0.

·         Infatti, con riderimento alla Figura 37 che illustra il procedimento nel caso del tutto analogo della circuitazione, se consideriamo una circonferenza centrata nell’origine intersechi la superficie S dividendola in due parti S1 ed S2 , abbiamo che, dette A1 ed A2 le parti in cui risulta divisa la sfera, risulta: Φ(A2+S1) = Φ(S2+A1) = 4π k (in quanto entrambe le superfici contengono l’origine) , e quindi Φ(S1+S2) = Φ(S1+A2) – Φ(S2+A1) = 0.

·         Se invece consideriamo una superficie S di forma arbitraria che non contenga l’origine, possiamo considerare una sfera Σ centrata nell’origine che intersechi la superficie S, suddividendola in due porzioni S1 ed S2.

É importante sottolineare che il risultato ottenuto dipende crucialmente da due elementi: (a) il fatto che il campo è centrale (potendo così bilanciare il fattore cos θ); (b) il fatto che il campo è  proporzionale a 1/r2 (in quanto r2 è lo stesso fattore con cui crescono le aree, e così i due contributi si bilanciano). Per tutti gli altri tipi di campo i valori del flusso saranno, in generale, diversi.

Legge di Gauss (Forma Integrale)

La legge di Gauss è una immediata applicazione del teorema precedente all’Elettrostatica. Essa stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una qualsiasi superficie chiusa è uguale (a meno di un fattore 4π) alla carica contenuta all’interno della superficie.

Il campo elettrico generato da una carica puntiforme qi ferma in ri è:  (dove ei è il versore della direzione rri). Il Campo Elettrico è quindi un campo centrale dipendente da 1/r2, e pertanto ΦS(Ei) = 4π qi.

Il campo elettrico generato da un sistema di cariche è uguale alla somma dei campi generati dalle singole cariche (Principio di Sovrapposizione): ETOT = ∑i Ei.

In base a quanto visto prima, il flusso delle cariche situate all’esterno della superficie S sarà nullo, e quindi:

( 4i)                            ΦS(E) = 4π Q

 (dove Q è la carica totale contenuta all’interno della superficie S).

                                                                                                  5Divergenza

5.1Definizione ed Interpretazione Fisica

Definizione

La Divergenza di un campo vettoriale F(r) è definita, in coordinate cartesiane, come:

( 5a)                           Div(F) := ∇∙F

(dove si è fatto uso dell’operatore nabla), ed è una grandezza scalare che descrive, in ogni punto, la tendenza del campo a originare da, o a convergere verso, quel dato punto.

Come vedremo, la Divergenza è sostanzialmente una densità di flusso (per unità di volume).

La definizione di divergenza data con la ( 5a) è relativa esclusivamente ad un sistema di coordinate cartesiane. Se si utilizza un differente sistema di coordinate l’espressione della divergenza cambia.

Nel caso tridimensionale, dette Fx(x, y, z), Fy(x, y, z) e Fz(x, y, z) le sue componenti secondo un riferimento cartesiano xyz, si ha che: Div(F) = ∂xFx + ∂yFy + ∂zFz.

La definizione data può essere immediatamente estesa ad un numero N di dimensioni (ovvero alle applicazioni F: NN) ponendo Div(F) = ∂iFi, dove Fi sono le componenti di un campo vettoriale controvariante.

La natura scalare della divergenza segue immediatamente dal fatto che è stata definita in termini del prodotto scalare (o della contrazione degli indici).

Interpretazione fisica

Vogliamo dimostrare che la definizione di Divergenza posta in ( 5a) comporta che:

La Divergenza è una Densità di Flusso (per Unità di Volume)

Figura 51 – Divergenza

Consideriamo quindi un fluido descritto da una densità di corrente j(r) e calcoliamo il flusso del fluido uscente da un parallelepipedo infinitesimo di lati ∆x, ∆y e ∆z avente un vertice nel punto (x0, y0, z0). Abbiamo che:

-       il flusso entrante attraverso la faccia normale all’asse x posta ad x=x0 è:

                                    ΦIN(x0)       =  j(x0, y0, z0)σx = jx(x0, y0, z0) ∆y∆z ;

-       il flusso uscente dalla faccia normale all’asse x posta ad x=x0+∆x è:

                                    ΦOUT(x0+∆x)       = j(x0+∆x, y0, z0)σx = jx(x0+∆x, y0, z0) ∆y∆z ;

-       il flusso netto uscente dalle due facce è quindi:

                                    Φx(r0)      = ΦOUT(x0+∆x, y0, z0) – ΦIN(x0, y0, z0)

                                                   = ∂xjx(r0) ∆x∆y∆z ;

-       analogamente per le altre due coppie di facce:

                                    Φy(r0) = ∂yjy(r0) ∆x∆y∆z  ; 

                                    Φz(r0) = ∂zjz(r0) ∆x∆y∆z

-       il flusso netto uscente dal parallelepipedo è quindi:

                           Φ∆V = ∆Φx + ∆Φy + ∆Φz = (∂xjx + ∂yjy +∂zjz) ∆x∆y∆z

da cui, detto ∆V = ∆x∆y∆z, e tenendo conto della definizione di divergenza ( 5a), otteniamo:   

( 5b)                           Φ∆V = ∇∙j ∆V.

Per come è stata costruita, questa formula risulta valida al primo ordine di approssimazione. É tuttavia possibile ottenere una grandezza puntuale dividendo ambo i membri per ∆V e facendo tendere ∆V a zero:

( 5c)                          

                                                                                                                                                                        (q.e.d.)

Divergenza e Linee di Flusso

Se consideriamo il caso di un fluido incomprimibile, vediamo subito che la divergenza della sua densità di corrente è legata alla presenza di pozzi e/o sorgenti di fluido.

Innanzitutto osserviamo che la condizione di incomprimibilità comporta che il numero delle molecole del fluido presenti all’interno di un qualsiasi volume V non può che rimanere costante. Distinguiamo quindi le seguenti situazioni:

·        All’interno di V non sono presenti né pozzi né sorgenti.

Se il fluido è in movimento, in un dato intervallo di tempo alcune molecole potranno entrare dentro V, ma, affinché il numero totale di molecole presenti al suo interno rimanga costante, è necessario che, durante questo intervallo di tempo, un ugual numero di molecole esca da V.

Pertanto il flusso netto del fluido attraverso la superficie S che racchiude V sarà nullo. Le linee di flusso[7] si limiteranno ad attraversare V.

·        All’interno di ∆V è presente una sorgente.

Se in un dato intervallo di tempo la sorgente genera un certo numero di molecole, sempre per via dell’incomprimibilità del fluido, è necessario che nello stesso tempo un ugual numero di molecole esca da V, generando così un flusso netto uscente (> 0) dalla superficie S. All’interno di V si origineranno delle nuove linee di flusso.

·        All’interno di ∆V è presente un pozzo.

Con un ragionamento analogo si può verificare si dovrà avere un flusso netto entrante (< 0) dentro la superficie S, e che alcune le linee di flusso termineranno dentro V.

Poiché la divergenza è un flusso per unità di area, facendo collassare V in un punto, possiamo affermare che:

Le Linee di Flusso di un Campo
partono dai Punti a Divergenza Positiva
e terminano nei Punti a Divergenza Negativa.

Se un campo è solenoidale, allora non esistono né sorgenti né pozzi, e quindi:

Le Linee di Flusso di un Campo Solenoidale
sono Curve Chiuse.

É necessario tener presente che quest’ ultima proprietà risulta soddisfatta solo se si prende in considerazione l’intero lo spazio. Se invece ci si limita ad un suo dominio finito, allora non è detto che le linee di flusso riescano a chiudersi all’interno di questo dominio.

Se invece il fluido è comprimibile, la situazione è più articolata. Ad esempio una sorgente potrebbe non generare alcun flusso attraverso la superficie S se il fluido rimane confinato al suo interno (aumentando ovviamente di pressione e di densità). Viceversa anche in assenza di sorgenti potrebbe verificarsi un flusso positivo (negativo) se, all’interno di V, si verifica una compressione (rarefazione) del fluido, come avviene ad esempio in presenza di una sorgente termica.

5.2Teorema di Gauss

Teorema di Gauss

Il Teorema di Gauss (detto anche Teorema della Divergenza o di Ostrogradsky) stabilisce una relazione fra l’integrale di superficie di un campo vettoriale e l’integrale di volume della sua divergenza, dove la superficie è quella che delimita ad un volume arbitrario, Esso afferma che:

Il Flusso di un Campo Vettoriale attraverso una Superficie Chiusa
è uguale all’Integrale di Volume della Divergenza del Campo
esteso al Volume racchiuso dalla Superficie.

Il Teorema di Gauss non è altro che una riformulazione, in termini integrali, della definizione di Divergenza: poichè la Divergenza è un flusso infinitesimo per unità di volume, ne consegue che il flusso totale si ottiene moltiplicando il valore della divergenza in ogni punto per il volume attorno a  quel punto e sommando.

Il contenuto intuitivo del Teorema di Gauss è semplice: si tratta sostanzialmente della legge di conservazione della massa applicata ad un fluido incomprimibile: se considero una qualsiasi superficie chiusa all’interno di un fluido in movimento, il flusso totale di fluido attraverso di essa è nullo, a meno che al suo interno siano presenti delle sorgenti e/o dei pozzi. In questo caso, poichè la divergenza della densità di corrente rappresenta il flusso per unità di volume, il suo integrale di volume è uguale al flusso attraverso la superficie che lo racchiude..

Considerando un volume V, e indicando con ∂V la superficie chiusa che lo racchiude, possiamo suddividerlo in N volumetti elementari ∆Vi, applicare a ciascuno di essi la ( 5b) e sommare, ottenendo così: ∑iΦ∂Vi = ∑i (∇∙j)∆Vi . Tenendo conto della definizione di flusso ( 4f) e della sua additività ( 4g), si ha che:

( 5d)                          

che non è altro che la ( 5c) riscritta in forma integrale.

Analogia con la Formula della Primitiva

Notiamo che la ( 5d) può essere banalmente riscritta come:

( 5e)                          

dove SA ed SB sono due superfici che racchiudono V (ovvero S = SA + SB) e dove il segno meno tiene conto del fatto che il flusso uscente dalla superficie chiusa S è uguale al flusso uscente da SB meno il flusso entrante in SA.

Sotto questa forma è evidente l’analogia fra la ( 5e) e la formula della primitiva:

 

Oggetto da integrare

Derivata di una Funzione

Divergenza di un Campo

Tipo di integrazione

Integrale Definito

Integrale di Volume

Dominio di integrazione

Segmento di Retta

Volume

Confini del dominio
di integrazione

Estremi del Segmento

Superfici che racchiudono il Volume

Valore dell’integrale

Funzione Primitiva

Integrale di Superficie del Campo

Legge di Gauss (Forma Differenziale)

Applicando la ( 5d) alla ( 4i) e tenendo conto che , dove ρ(r) è la densità di carica elettrica, otteniamo:

( 5f)                            ∇∙E = 4π ρ

che è una delle Equazioni di Maxwell nel caso elettrostatico.

5.3Campi Solenoidali

Definizione

Come abbiamo visto:

Un Campo Vettoriale viene detto Solenoidale
se la sua Divergenza è nulla dappertutto.

Il Campo magnetostatico B è solenoidale, come pure il campo elettrostatico E in assenza di cariche. Il campo v delle velocità di un fluido incomprimibile è solenoidale.

Potenziale Vettore

Dato un campo vettoriale F(r), se esiste un campo vettoriale A(r) tale che F risulti essere il rotore di A (ovvero: F = xA), allora il campo A viene detto Potenziale Vettore di F.

Poiché la divergenza di un rotore è identicamente nulla ( 7c), ne consegue che F è solenoidale.

Si dimostra che è vero anche il viceversa: se un campo F è solenoidale, allora esiste un campo A t.c. F = xA (ciò vale puchè siano soddisfatte opportune condizioni tecniche per A). Pertanto:

Un Campo Vettoriale è Solenoidale se e solo se
 è il Rotore di un Potenziale Vettore.

Tuttavia, poiché il rotore di un gradiente è nullo ( 7d), ne consegue che il Potenziale Vettore è determinato a meno di una funzione arbitraria.

Il Rotore è un Campo Solenoidale

La ( 7c) (∇∙∇xF = 0) ci dice che la divergenza di un rotore è identicamente nulla, e quindi il rotore è un campo solenoidale. É possibile comprendere il motivo di questa identità utilizzando il Teorema di Stokes ed il Teorema di Gauss.

Consideriamo una superfice aperta S di grosse dimensioni, delimitata da una curva chiusa C di piccole dimensioni (ad esempio un palloncino gonfiato d’aria). Quando C collassa in un punto, il confine della superficie S sparisce e la superficie diventa chiusa.

Ora, se F è finito dappertutto, la sua circuitazione ΓC (F) deve tendere a zero quando C collassa in un punto (infatti la circuitazione è approssimativamente proporzionale alla lunghezza di C, che tende a zero).

Ne consegue che, per il Teorema di Stokes, anche ΦS(xF) deve tendere a zero (in qualche modo, chiudendo la superficie, abbiamo aggiunto dei contributi che cancellano ciò che c’era prima!).

Ma per il Teorema di Gauss: , e quindi anche ∇∙∇xF deve tendere a zero!

5.4Equazione di Continuità

L’Equazione di Continuità

L’Equazione di Continuità non è altro che un’equazione di conservazione (ad esmpio della massa o della carica) espressa in termini differenziali.

Consideriamo il caso generale di un fluido il cui moto è descritto dalla densità di corrente j(r, t) = ρ((r, t) v(r, t), e fissiamo un volume V di forma e dimensione qualsiasi. Supponiamo inoltre che V sia interamente contenuto all’interno del fluido, e indichiamo con S la superficie chiusa che lo racchiude.

In virtù del principio di conservazione della massa, abbiamo che la massa M del fluido contenuta in V può variare solo se vi è trasporto di massa attraverso i suoi confini.

In particolare, per qualsiasi intervallo di tempo ∆t, la variazione di massa ∆M deve uguagliare il flusso entrante in V:

( 5g)                           ,

da cui, tenendo conto del Teorema di Gauss ( 5d) e del fatto che , abbiamo che , e quindi:

( 5h)                           tρ + (ρv) = 0

che non è altro che la ( 5g) espressa sotto forma differenziale.

Tenendo infine conto della ( 7a), possiamo riscrivere la ( 5h) nella forma:

( 5i)                            tρ + ρ∇∙v + (ρ)v = 0.

Se il moto di un fluido è stazionario (∂tρ = 0), la ( 5h) ci dice che ∇∙j = 0, ovvero che j è solenoidale.

Se un fluido è incomprimibile (ρ = costante), la ( 5i) ci dice che ∇∙v = 0, ovvero che v è solenoidale.

Formulazione Alternativa

Tenendo conto che: , è possibile scrivere la ( 5i) anche nella forma:

( 5j)                           

Interpretazione fisica

Per ottenere l’interpretazione fisica della ( 5i) è opportuno distinguere le seguenti situazioni:

A)    Se il fluido è omogeneo e incomprimibile (ovvero ρ(r, t) = ρ0 = costante), allora si annulla sia il termimetρ che il termine ρ si annulla, e la  ( 5i) si riduce a: ∇∙v = 0.  

Applicando il Teorema di Gauss abbiamo che il flusso totale del fluido attraverso la superficie S che delimita V è nullo.

Ciò significa che il flusso entrante (ΦIN) deve uguagliare quello uscente (ΦOUT): il volune V viene solo attraversato dal fluido.

Poiché il fluido è, per ipotesi, incomprimibile, il numero delle sue molecole presenti all’interno di V non può cambiare: se da qualche parte entra una molecola, allora essa spingerà le molecole presenti all’interno, col risultato di far uscire, da qualche altra parte un’altra molecola. Pertanto, in qualsiasi intervallo di tempo, il numero delle molecole che entrano è esattamente uguale a quelle che escono. All’interno di V si è verificata solo una sostituzione di alcune molecole con un ugual numero di altre molecole.

Tuttavia è importante tener presente che durante l’attraversamento il fluido può accelerare (o decelerare), ovvero la velocità delle molecole che escono può essere maggiore (o minore) di quelle che entrano. Questa situazione si presenta, ad esempio, nel caso di un condotto la cui sezione di ingresso abbia un’area diversa da quella della sezione di uscita.

Figura 52 – Flusso attraverso un condotto a tronco di cono

Infatti, se pensiamo ad un condotto a forma di tronco di cono, dette AIN ed AOUT  le aree della sezione di ingresso e di uscita, abbiamo che l’equazione ΦIN = ΦOUT comporta che: AIN vIN = AOUT vOUT. In altre parole, se il condotto si restringe e il fluido non è comprimibile, allora esso deve uscire più velocemente di quanto entra, in modo da bilanciare i due flussi.

NB: Invece di ragionare in termini di flusso, avremmo anche potuto interpretare direttamente l’equazione ∇∙v = 0. Supponiamo per semplicità che vz sia costante, e consideriamo un quadratino elementare. L’equazione di continuità ci dice che vx(x+∆x, y, z) – vx(x, y, z) = – (vy(x, y+∆y, z) – vy(x, y, z)): un gradiente di velocità positivo nella direzione x deve essere compensato da un gradiente negativo nella direzione y.

B)    Se invece il fluido è comprimibile, è chiaro che se nell’intervallo di tempo ∆t la sua densità (all’interno di V) subisce una variazione uniforme ∆ρ positiva (negativa), la corrispondente compressione (espansione) del fluido contenuto all’interno di V genererà un flusso entrante (uscente) pari a -∂tρ.

C)    Infine anche nell’ipotesi in cui la densità risulti costante nel tempo, in presenza di un gradiente di densità si verificherà un flusso netto non nullo (ad es. se ρ(x, y, z) > ρ(x+∆x, y, z) e vx = costante, il numero delle molecole che entrano attraverso una faccia risulterà maggiore (o minore) di quelle che escono dall’altra faccia). Si verifica facilmente che il contributo totale di questo fenomeno è pari a –v∙∇ρ.

D)    Tenendo infine presente che i fenomeni A, B e C sono tra loro indipendenti, l’effetto totale sarà dato dalla somma dei tre contributi, ottenendo così la ( 5i).

                                                                                                          6Rotore

6.1Definizione e Interpretazione Fisica

Definizione

Il Rotore di un campo vettoriale F(r) è definito, in coordinate cartesiane, come:

( 6a)                           Rot(F) := xF

(dove si è fatto uso dell’operatore nabla) ed è una grandezza che descrive, in ogni punto, la rapidità di “rotazione” del campo attorno a quel punto. Si tratta di una grandezza vettoriale che fornisce, oltre alla “velocità angolare” anche l’asse di rotazione.

Il rotore è sostanzialmente una densità di circuitazione (per unità di area).

La definizione di rotore data con la ( 6a) è relativa esclusivamente ad un sistema di coordinate cartesiane. Se si utilizza un differente sistema di coordinate l’espressione del rotore cambia.

Il rotore è definito esclusivamente nel caso tridimensionale, ed il suo sviluppo in termini di componenti (secondo un riferimento cartesiano xyz) è: Rot(F) = (∂yFz – ∂zFy)ex + (∂zFx – ∂xFz)ey + (∂xFy – ∂yFx)ez.

L’estensione della nozione di rotore ad un numero N>3 di dimensioni richiede qualche cautela in quanto la grandezza che si ottiene non è più un vettore, bensì un tensore doppio antisimmetrico.

La natura vettoriale del rotore segue immediatamente dal fatto che esso è stato definito in termini del prodotto vettoriale (in effetti il rotore è uno pseudovettore).

Rotore e Vorticosità

Per comprendere il significato del rotore prenderemo spunto dalla nozione di vorticosità della fluidodinamica.

Per visualizzare la vorticosità di un fluido, supponiamo che una piccola porzione del fluido venga istantaneamente resa solida, e che il resto del fluido venga rimosso. Se questa piccola porzione, oltre a traslare, ruota anche rigidamente (come una trottola) attorno ad un asse passante per un suo punto, allora si dice che nel fluido è presente una vorticosità.

Figura 61Vorticosità

Si può pensare di misurare la vorticorità per mezzo di un piccolo mulinello che possa essere attaccato ad una porzione di fluido senza disturbarla troppo. Se il mulinello ruota, allora in quel punto il fluido presenta una vorticosità. Cambiando l’orientamento dell’asse del mulinello cambia anche la sua velocità di rotazione, per cui è possibile individuare un asse istantaneo lungo il quale la velocità di rotazione risulta massima.

Per formalizzare questi concetti, possiamo pensare alle porzioni di fluido come a delle piccole sfere rigide, e possiamo immaginare di attaccare a ciascuna sfera un sistema di riferimento solidale con essa (e con l’origine nel centro della sfera). In questo modo la rotazione infinitesima ∆φ di una sfera in un tempo ∆t viene ad essere descritta da un vettore ω (velocità angolare) la cui direzione è quella dell’asse di rotazione e la cui intensità è pari a ∆φ/∆t.

Abbiamo quindi che, così come gli aspetti traslazionali del moto del fluido sono descritti dal campo vettoriale v(r, t) delle velocità lineari, quelli rotazionali sono descritti dal campo ω(r, t) delle velocità angolari.

I due campi non sono però indipendenti, in quanto la rotazione di una sfera attorno ad un suo asse è determinata dalle velocità lineari delle sfere a contatto con essa e dall’attrito esistente fra una sfera e l’altra (ossia dalla viscosità del fluido). La vorticosità non dipende quindi solo dalla curvatura delle linee di flusso del fluido: può cioè esistere vorticosità anche in presenza di un moto rettilineo (basti pensare, ad esempio, ad un condotto nel quale la velocità lineare del fludo risulti maggiore al centro rispetto ai bordi).

Esiste quindi una relazione differenziale fra ω e v.

Il modo più semplice per determinarla è quello di considerare il fatto che la circuitazione del campo v delle velocità lineari è una grandezza legata alla “quantità di rotazione” del fluido. Prendendo quindi come cammino di integrazione una piccola circonferenza di raggio ρ, la circuitazione sarà  Γ = 2πρ vt , dove vt = ωρ è la componente tangenziale della velocità. Abbiamo quindi che Γ = 2πρ2ω = 2ωA (dove A = πρ2 è l’area delimitata dal cammino di integrazione). Abbiamo quindi che: la circuitazione per unità di area è il doppio della velocità angolare di rotazione.

In termini piò analitici detto P un punto sulla generica sfera, la sua velocità lineare (nel sistema di riferimento solidale con la sfera) è: v(t) = ω(t) x r(t), dove ω è un vettore che dipende solo dal tempo.

Fissato un istante t0 abbiamo che: ∂xv = (∂xω)xr + ωxxr = ωxex (dove tutti i campi sono calcolati all’istante t0, e dove si è tenuto conto del fatto che ∂xω(t0) = 0). Analogamente: ∂yv = ωxey e ∂zv = ωxez. Esplicitando le componenti abbiamo: , , , da cui, risolvendo rispetto ad ω, si ottiene: , ovvero, utilizzando l’operatore nabla: xv = 2ω.

Questo ci dice che la grandezza xv (detta rotore di v) è il doppio della velocità angolare di rotazione delle sferette su se stesse. Inoltre, come abbiamo appena visto, il rotore è una circuitazione per unità di area, e nel caso di un campo di velocità lineari di un fluido, esso è direttamente proporzionale alla vorticosità del fluido.

Interpretazione fisica

Vogliamo ora dimostrare, in maniera più analitica, che la definizione di Rotore posta in ( 6a) comporta che:

Il Rotore è una Circuitazione per Unità di Area

 

Figura 62 – Rotore

Consideriamo quindi un campo vettoriale F(r) e calcoliamone la circuitazione attorno ad un rettangolo infinitesimo di lati ∆x, ∆y, giacente sul piano xy e avente un vertice nel punto (x0, y0, z0). Abbiamo che:

-       lungo il lato (a) risulta:      F(r)r    = Fx(x0, y0, z0)∆x;

-       lungo il lato (b) risulta:      F(r)r    = Fy(x0+∆x, y0, z0)∆y

                                                            = Fy(x0, y0, z0)∆y + ∂xFy(x0, y0, z0)∆x∆y;

-       lungo il lato (c) risulta:      F(r)r    = –Fx(x0, y0+∆y, z0)∆x

                                                            = –Fx(x0, y0, z0)∆y – ∂yFx(x0, y0, z0)∆x∆y;

-       lungo il lato (d) risulta:      F(r)r    = –Fy(x0, y0, z0)∆x.

Sommando si ottiene quindi: Γxy = (∂xFy – ∂yFx) ∆x∆y. Confrontando il risultato ottenuto con l’espressione in coordinate cartesiane del rotore, vediamo che Γxy / ∆x∆y coincide con la componente z del rotore.

Se invece il rettangolino giace sul piano yz otteniamo Γyz / ∆y∆z = (∂yFz – ∂zFy), che coincide con la componente x del rotore.

Se infine il rettangolino giace sul piano zx otteniamo Γzx / ∆z∆x = (∂zFx – ∂xFz), che coincide con la componente y del rotore.

Il risultato ottenuto può essere espresso in termini vettoriali:

 ( 6b)                          Γσ = (xF) σ.

dove abbiamo indicato con Γσ la circuitazione attorno al bordo della superficie ∆σ.

Per come è stata costruita, questa formula risulta valida al primo ordine di approssimazione. É tuttavia possibile ottenere una grandezza puntuale dividendo ambo i membri per |∆σ| e facendo tendere a zero ∆σ. É tuttavia necessario che in questo passaggio al limite venga mantenuta costante la direzione di ∆σ. Indicando quindi con n il versore parallelo a ∆σ (e quindi normale al piano su cui giace il bordo di ∆σ), abbiamo che:

( 6c)                           (xF)n = limσ0 Γσ / ∆σ

                                                                                                                                                                        (q.e.d.)

6.2Teorema di Stokes

Teorema di Stokes

Il Teorema di Stokes stabilisce una relazione fra l’integrale di linea di un campo vettoriale e l’integrale di superficie del suo rotore, dove la curva è quella che delimita una superficie arbitraria. Esso afferma che:

La Circuitazione di un Campo Vettoriale F
attraverso una curva C
è uguale al Flusso del Rotore di F
attraverso una qualsiasi supeficie delimitata dalla curva C.

Il Teorema di Stokes non è altro che una riformulazione, in termini integrali, della definizione di Rotore: poichè il rotore è una circuitazione infinitesima per unità di area, ne consegue che la circuitazione totale si ottiene moltiplicando il valore del rotore in ogni punto per l’area attorno a quel punto e quindi sommando. Poichè è necessario considerare solo la componente normale alla superficie, questa somma è il flusso del rotore.

Considerando una curva chiusa C , e indicando con Σ una qualsiasi superficie il cui bordo coincida con la curva C, possiamo suddividere Σ in un gran numero di superfici elementari ∆σi, applicare a ciascuna di essi la ( 6b) e sommare, ottenendo così: ∑i Γσ(i) = ∑i (xF) σi Tenendo conto della definizione di flusso  ( 4‑f) e della additività della circuitazione ( 3e), si ha che:

( 6d)                           ΓC(F) = ΦΣ(xF)

che non è altro che la ( 6c) riscritta in forma integrale.

Analogia con la Formula della Primitiva

Notiamo che la ( 6d) può essere banalmente riscritta come:

( 6e)                           ΦΣ(xF) = Γ(CB) – Γ(CA)                                                                         

dove CA e CB sono due archi di curva che delimitano Σ (ovvero C = CA + CB) e dove il segno meno tiene conto del fatto che, mentre C viene percorsa tutta in uno stesso verso di rotazione, CA e CB sono percorse in versi discordi.

Sotto questa forma è evidente l’analogia fra la ( 6e) e la Formula della Primitiva:

 

Oggetto da integrare

Derivata di una Funzione

Rotore di un Campo

Tipo di integrazione

Integrale Definito

Integrale di Superficie (Flusso)

Dominio di integrazione

Segmento di retta

Superficie

Confini del dominio
di integrazione

Estremi del Segmento

Archi di Curva che delimitano la Superficie

Valore dell’integrale

Funzione Primitiva

Integrale di Linea del Campo

Teorema di Green

Il Teorema di Green è semplicemente il Teorema di Stokes nel piano.

In questo caso il campo vettoriale assume la forma F(r) = Fx(x, y)ex + Fy(x, y)ey, e la ( 6d) si riduce a:

( 6f)                            ,

dove C è una curva piana semplice e chiusa e D è la regione di piano delimitata da C.

Figura 63 – Teorema di Green

6.3Conservatività e Irrotazionalità

Si verifica facilmente che le condizioni di conservatività e di irrotazionalità sono equivalenti, ovvero:

Un Campo Vettoriale è Conservativo se e solo se è Irrotazionale

Infatti se un campo vettoriale F è conservativo, allora la sua circuitazione attorno a qualsiasi curva è sempre nulla, pertanto per ogni punto dello spazio posso scegliere una curva chiusa C infinitesima attorno a quel punto e la circuitazione attorno a questa curva risulterà nulla: ΓC = (xF)σ = 0, ma poichèσ è arbitrario (sia come modulo che come direzione), ne consegue che xF = 0, e quindi il campo F è irrotazionale.

Viceversa, se un campo F = (Fx, Fy, Fz) è irrotazionale, esprimendo la condizione xF = 0 in termini delle componenti, abbiamo che: , e ciò comporta che la forma differenziale Fdr = Fxdx + Fydy + Fzdz è un differenziale esatto, ovvero che esiste un campo scalare φ(r) tale che Fdr = , ma poiché = φdr, ne consegue che F = φ, e poiché il gradiente è un campo conservativo, ne consegue che il campo F è conservativo.                      (q.e.d.)

6.4Equazione di Laplace

Rammentiamo che:

·        un campo conservativo può essere espresso come il gradiente di un potenziale scalare: F = φ;

·        un campo solenoidale può essere espresso come il rotore di un potenziale vettore: F = xA.

·        un campo conservativo è irrotazionale: xF = 0

·         la divergenza di un campo solenoidale è, per definizione, nulla: ∇∙F = 0;

Ne consegue che se un campo conservativo è solenoidale, allora: ∇∙F = ∇∙∇φ = φ = 0 (detta Equazione di Laplace).

Inoltre la relazione tra φ ed A è data da:  φ = xA, ed A soddisfa la seguente equazione:

∇x∇φ = 0 = ∇x∇xA= (∇∙A) - A (dove si è tenuto conto della ( 7f) e quindi:

A = (∇∙A) .

                                        7Alcune Formule di Calcolo Vettoriale

( 7a)            (φA) = φA + φA                   Divergenza di un Prodotto

( 7b)            x (φA) = (φ) x A + φxA             Rotore di un Prodotto

( 7c)            ( x A) = 0                                   Divergenza di un Rotore

( 7d)            x (φ) = 0                                       Rotore di un Gradiente

( 7e)            (φ) = φ                                    Divergenza di un Gradiente

( 7f)             x x A = (∇∙A)A                Rotore di un Rotore

( 7g)            (A x B) = B xA – A ∙ ∇xB    Divergenza di un Prodotto Vettoriale

( 7h)            ∇x(AxB) = (B∙∇)A – (A∙∇)B + (∇∙B)A – (∇∙A)B Rotore di un Prodotto Vettoriale

( 7i)             (AB) = (B∙∇)A + (A∙∇)B + Bx(xA) + Ax(xB) Gradiente di un Prodotto Scalare

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Penrose, R. : The Road to Reality. (Knopf, New York, 2005).

** –        Un’opera a tutto campo sulle leggi fondamentali della Fisica e sulla Matematica/Geometria ad esse connessa, scritta da uno dei massimi scienziati del nostro tempo. L’intento dichiarato è divulgativo, e come tale è caratterizzato da notevole semplicità e chiarezza espositiva, ma la vastità degli argomenti trattati e soprattutto la profondità delle osservazioni rendono questo libro un’opera assolutamente unica, di grande valore per tutti gli studiosi di Fisica.

Smirnov, V.: Cours de Mathématiques Superieurs. (éditions MIR, Moscou, 1969).

**           Opera monumentale, di impostazione tradizionale, scritta con stile proverbialmente piano e chiaro.

Di particolare interesse:

                TOME II: Ch. IV (Analysr vectorielle et théorie du champ) – Ch. V (éléments de géométrie différentielle).

                TOME III (Première Partie): Ch. I (Dèterminants et resolution des systèmes d’équations linéaires) – Ch. II (Transformations linéaires et formes quadratiques).

Spiegel, R. M.: Vector Analysis. (Schaum’s Outline – Mc Graw Hill, New York, 1959).

**           Chiaro, sintetico e ricco di esercizi.

Articoli
Siti Internet

E-school di Arrigo Amadorihttp://www.arrigoamadori.com/lezioni/index.htm . 

(*), **    Sito di Matematica e Fisica contenente materiale decisamente interessante (a vari livelli: divulgativo, di approfondimento e didattico).. É dotato di stimolanti sezioni di Forum, Chat, Open Blog e Open Book. Ottimo sia per lo studente che per lo studioso fai-da-te.

WikipediA – The Free Encyclopedia – http://en.wikipedia.org, http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_real_analysis_topics.

**           L’approccio è di tipo enciclopedico; le singole voci sono trattate con estrema chiarezza, senza disdegnare spiegazioni intuitive ed esempi. Un utilizzo estensivo dei collegamenti ipertestuali rende molto agevole la navigazione fra le singole voci. Interessanti anche la sezione didattica (Wikiversity) e gli Open Books (Wikibooks).

 

Indice Analitico


Campo

Centrale.............................................................. 6, 21

Centrale proporzionale a 1/r2.......................... 7, 30

Conservativo............................................... 6, 17, 44

Irrotazionale....................................................... 8, 44

Radiale...................................................................... 7

Radiale proporzionale a 1/r.............................. 7, 22

Scalare...................................................................... 4

Solenoidale........................................................ 8, 36

Vettoriale.................................................................. 5

Circuitazione............................................................. 17

Continuità

Campi Scalari........................................................... 5

Campi Vettoriali....................................................... 6

Derivata

di un Vettore............................................................ 9

Direzionale............................................................... 9

Differenziabilità

Campi Scalari........................................................... 5

Campi Vettoriali....................................................... 6

Divergenza................................................................ 33

Equazione di Continuità.......................................... 37

Equazione di Laplace............................................... 45

Flusso........................................................................ 27

Gradiente................................................................... 10

Proprietà................................................................. 11

Trasformazione delle Componenti...................... 14

Integrale di Linea

di un Campo Scalare............................................. 15

di un Campo Vettoriale......................................... 16

Integrale di Superficie

di un Campo Scalare............................................. 26

di un Campo Vettoriale......................................... 27

Legge di Gauss

forma differenziale................................................. 36

forma integrale....................................................... 32

Linee di Flusso......................................................... 34

Potenziale

Scalare.................................................................... 21

Vettore.................................................................... 37

Rotore........................................................................ 40

Teorema del Gradiente............................................. 18

Teorema di Gauss..................................................... 35

Teorema di Green..................................................... 44

Teorema di Stokes.................................................... 43

Vorticosità................................................................. 40


 

Keywords

Calcolo Vettoriale, Filo di Arianna, Diego Vasdeki, Campo Centrale, Campo proporzionale a 1/r2, Campo Conservativo, Campo Irrotazionale, Campo Radiale, Campo proporzionale a 1/r, Campo Scalare, Campo Solenoidale, Campo Vettoriale, Circuitazione, Continuità, Derivata di un Vettore, Derivata Direzionale, Differenziabilità, Divergenza, Equazione di Continuità, Equazione di Laplace, Flusso, Gradiente, Integrale di Linea, Integrale di Superficie, Legge di Gauss, Linee di Flusso, Potenziale Scalare, Potenziale Vettore, Rotore, Teorema del Gradiente, Teorema di Gauss, Teorema di Green, Teorema di Stokes, Vorticosità



[1]   normalmente si utilizzano, per comodità, delle coordinate cartesiane, ma, in generale, il punto P potrebbe anche essere individuato per mezzo di coordinate affini o di coordinate curvilinee.

[2]   è quella che Woodhouse definisce scherzosamente la prima fondamentale confusione del Calcolo.

[3]   rammentiamo che ha struttura di spazio vettoriale di dimensione 1.

[4] sempre che, ovviamente, soddisfi le condizioni di integrabilità

[5]   talvolta il simbolo Γ viene utilizzato in maniera più restrittiva per indicare la circuitazione lungo una curva chiusa; noi tuttavia non seguiremo questa convenzione e lo utilizzeremo per indicare l’integrale di linea lungo una qualsiasi curva, anche aperta.

[6] in questo caso il simbolo ∂ non ha nulla a che fare con le derivate!

[7]   o Linee di Forza nel caso di un campo di forze