I Campi Scalari ed i Campi Vettoriali sono sostanzialmente delle funzioni che
associano ai punti dello spazio rispettivamente dei numeri reali
e dei vettori.
Definizione
Un Campo Scalare è una funzione che associa
un numero reale ad ogni punto dello spazio (o di una certa regione di spazio).
ES: La
temperatura o la pressione di una regione di spazio sono descritte da campi scalari.
NB: Il
numero reale definito da un campo scalare non dipende dalla scelta di un
particolare sistema di coordinate, è appunto uno scalare.
Detto ℰ N uno spazio euclideo
N dimensionale (i cui punti indichiamo con P), ed X un suo sottoinsieme,
un campo scalare è un’applicazione F: X→ ℝ, e può essere indicato con F(P).
Poiché ℰ N è
isomorfo ad
un qualsiasi spazio
vettoriale reale VN, un campo scalare può anche essere considerato
come una funzione che associa numeri reali a vettori e venire quindi indicato
con F(v).
Un Campo
Scalare è un’Applicazione F: (X ⊆VN) → ℝ
Espressione Analitica
Per esprimere analiticamente un campo scalare è sufficiente individuare
i punti di X per mezzo di un opportuno sistema di coordinate:
P = (x1, x2, … , xN). Così facendo il campo
scalare F(P) diventa un’applicazione ℝ→ℝ, ed è quindi espresso da
una funzione
reale di più variabili reali f(xi).
Alla base di questa possibilità c’è l’isomorfismo esistente
fra lo spazio euclideo ℰ
N e lo spazio ℝN
delle N-ple ordinate di numeri reali.
É necessario chiarire la differenza tra la F(P) e la f(xi):
la F(P) prescinde da qualsiasi sistema di coordinate utilizzato per individuare
i punti P del suo dominio, mentre la f(xi) è solo una delle tante
possibili rappresentazioni di F(P), legata allo specifico sistema di coordinate
utilizzato, ed è pertanto influenzata da un’eventuale trasformazione di
coordinate. In termini formali, detta A: X→ℝN
l’applicazione (biunivoca) che identifica i punti di X per mezzo di un
particolare sistema di coordinate, abbiamo che f(xi) = F(X-1(xi)).
Questa distinzione è di fondamentale importanza nel
momento in cui la nozione di campo scalare viene estesa alle varietà differenziabili,
mentre risulta meno rilevante nel caso in cui il dominio del campo sia costituito
da uno spazio euclideo o da uno spazio vettoriale reale (tanto che le due
nozioni vengono spesso confuse
utilizzando la stessa lettera F per indicare indifferentemente sia F(P) che F(xi)).
NB: Nel caso in cui il dominio X coincida con
l’intero spazio VN, allora il campo scalare può essere
considerato come un operatore da
VN ad ℝ ().
Continuità e Differenziabilità
Le nozioni di continuità e di differenziabilità di un
campo scalare vengono ricondotte alle analoghe nozioni delle funzioni ℝN→ℝ:
Un campo scalare F: ℰN→ℝ viene detto continuo (differenziabile)
se può essere rappresentato per mezzo di un’applicazione
continua (differenziabile) ℝN→ℝ.
Definizione
Un Campo Vettoriale è una funzione che associa un vettore ad ogni punto dello spazio (o di una
certa regione di spazio).
ES: Per
descrivere la corrente d’acqua di un fiume si potrebbe pensare di individuare
le singole molecole d’acqua e considerare quindi la velocità vi(t)
di ciascuna di esse, ma questo approccio, è difficilmente praticabile per il
gran numero delle molecole. Risulta invece preferibile descrivere la velocità
come una funzione dello spazio (oltre che del tempo): v = v(r,
t). Per ogni punto r all’interno del letto del fiume si fornisce cioè,
istante per istante, la velocità della molecola che in quel momento transita
per quel punto. Il risultato è un campo vettoriale (variabile nel tempo).
Detti ℰ N uno spazio euclideo
N dimensionale (i cui punti indichiamo con P), X un suo sottoinsieme, e WM
uno spazio vettoriale reale M dimensionale, un campo vettoriale è
un’applicazione F: X→ WM, e può essere
indicato con F(P).
Poiché ℰ N è
isomorfo ad
un qualsiasi spazio
vettoriale reale VN, un campo vettoriale può anche essere
considerato come una funzione che associa vettori a vettori, e venire
quindi indicato con F(v).
Un Campo
Vettoriale è un’Applicazione F: (X ⊆VN) → WM .
Espressione Analitica
Per esprimere analiticamente un campo vettoriale è
sufficiente individuare i punti di X per mezzo di un opportuno sistema
di coordinate: P = (x1, x2, … , xN). Così
facendo il campo vettoriale F(v) diventa un’applicazione ℝN→ ℝM, ed è quindi espresso
da una M-pla ordinata di funzioni reali di N variabili reali:
o, più sinteticamente: wk = Fk(vi),
con k=1, 2, … , M e con i = 1, 2, … , N.
Alla base di questa possibilità c’è l’isomorfismo
esistente fra un qualsiasi spazio vettoriale reale VN e lo
spazio ℝN
delle N-ple ordinate di numeri reali (e analogamente per WM e
ℝM)..
Anche nel caso dei campi vettoriali valgono, relativamente
alla distinzione tra la F(v) e le Fk(vi),
delle osservazioni analoghe a quelle già svolte nel caso dei campi scalari.
NB: Nel caso in cui il dominio X di un campo vettoriale
coincida con l’intero spazio VN, allora il campo vettoriale
può essere considerato come un operatore da
VN a WM.
Inoltre un campo scalare è un caso particolare
di un campo vettoriale (dove la dimensione M del codominio è pari a uno).
Continuità e Differenziabilità
Le nozioni di continuità e di differenziabilità di un
campo vettoriale vengono ricondotte alle analoghe nozioni delle funzioni ℝN→ℝM. In
Particolare:
Un campo vettoriale F: VN→WM
viene detto continuo (differenziabile) se può essere rappresentato
per mezzo di un’applicazione continua
(differenziabile) ℝN→ℝM.
Particolari Tipi di Campi Vettoriali
Alcuni tipi di Campi Vettoriali godono di particolari
proprietà; ne diamo qui un elenco.
Anche se si fa riferimento a nozioni che verranno
introdotte nel seguito, riteniamo comunque che questo elenco possa essere utile
sia come riferimento, sia per chiarire le interrelazioni esistenti fra le diverse
entità.
·
Un campo vettoriale viene detto Conservativo se la sua Circuitazione lungo una qualsiasi curva chiusa è
identicamente nulla. Esso gode delle sequenti proprietà:
a) il suo Integrale di Linea lungo una qualsiasi curva C dipende solo dagli estremi
della curva (e non dalla particolare curva che li congiunge);
b) può essere
espresso come il gradiente di un campo scalare (detto Potenziale
Scalare);
c) è irrotazionale.
·
In Fisica Classica una Forza Centrale descrive una
interazione fra due particelle che (a) è diretta lungo la congiungente le due
particelle, (b) ha un’intensità che dipende solo dalla distanza relativa fra le
particelle (es. forza gravitazionale, forza elettrica). Ponendo una delle due
particelle nell’origine e generalizzando, si ottiene la definizione di Campo Centrale:
·
Un campo vettoriale viene detto Centrale se, in ogni punto P:
a) la
sua intensità dipende solo dalla distanza del punto P da un punto fisso O (normalmente
posto nell’origine);
b) la
sua direzione è parallela al segmento
.
Un Campo Centrale può quindi
essere espresso nella forma: F(r) = a(r)er
,dove r è il raggio vettore ed
è il versore radiale.
Un Campo Centrale è quindi
dotato di Simmetria Sferica: esso assume cioè un valore costante
lungo tutti i punti di una sfera centrata nell’origine. Inoltre tale valore
dipende solo dal raggio della sfera, e la direzione del campo è sempre radiale
(cioè perpendicolare alla superficie della sfera).
I Campi Centrali godono
dell’importante proprietà di essere conservativi.
·
Particolare importanza riveste il caso dei campi centrali proporzionali a 1/r2, ovvero dove: a(r) = k/r2.
Infatti sia il campo
elettrostatico che quello gravitazionale sono di questo tipo.
Questi campi godono dell’importante
proprietà che il loro flusso attraverso una qualsiasi
superficie chiusa è indipendente dalla forma della superficie: è uguale a
4π k se la superficie contiene l’origine, altrimenti è nullo.
·
Un campo vettoriale viene detto Radiale se, in ogni punto P:
a) la
sua intensità dipende solo dalla distanza fra ρ il punto P ed una retta
fissa R;
b) la
sua direzione è tangente alla circonferenza C
normale ad R passante per P.
Figura 1‑1 – Campo Radiale
Un Campo Radiale può quindi
essere espresso nella forma: F(r) = b(ρ)et,
dove ρ è il raggio della circonferenza C
ed et è il versore tangente a C nel punto P.
Un Campo Radiale è quindi
dotato di Simmetria Cilindica: esso assume cioè un valore
costante lungo tutti i punti di un cilindro il cui asse coincide con la retta R.
Inoltre tale valore dipende solo dal raggio del cilindro, e la direzione del
campo è sempre tangenziale (cioè perpendicolare al raggio del cilindro).
·
Particolare importanza riveste il caso dei campi radiali proporzionali a 1/ρ, ovvero dove: b(ρ) = k/ρ.
Infatti sia il campo
elettrostatico di un filo rettilineo uniformemente carico che il campo magnetostatico
di un filo rettilineo percorso da una corrente stazionaria sono di questo tipo.
Questi campi godono
dell’importante proprietà che la loro circuitazione
lungo una qualsiasi curva chiusa è indipendente dalla forma della curva: è
uguale a 2π k se la curva contiene l’asse di simmetria, altrimenti è nulla.
·
Un campo vettoriale la cui divergenza
sia identicamente nulla viene detto Solenoidale, Esso può essere espresso come il rotore
di un campo vettoriale (detto Potenziale Vettore).
·
Un campo vettoriale il cui rotore sia identicamente
nullo viene detto Irrotazionale. I campi irrotazionali sono conservativi.
La nozione di derivata
introdotta per le funzioni reali di una variabile reale può essere estesa ai
vettori che siano funzione di una variabile reale (ad esempio il raggio vettore
r di una particella in moto: r = r(t)), definendo
banalmente:
( 2‑a)
.
La definizione è ben posta in quanto a secondo membro
abbiamo il prodotto della differenza di due vettori per uno scalare
(1/∆t), e gli assiomi degli Spazi Vettoriali
ci garantiscono che il risultato è ancora un vettore.
Detta poi f(t) una funzione reale di t, si verifica
immediatamente che ∂t(f(t)r(t)) = (∂tf)r
+ f ∂tr (dove abbiamo utilizzato la notazione
compatta).
Esprimendo r(t) in termini delle sue componenti xi(t)
secondo una base {e(i)}
, abbiamo che, se la base rimane fissa nel tempo (e quindi ∂te(i)
= 0), risulterà: ∂tr(t) = ∂t(xi(t)
e(i)) = (∂txi(t))e(i),
e quindi, detti v = ∂tr e vi =
∂txi, risulta: vi = ∂txi.
L’ultima espressione esprime il fatto che, se la base rimane
fissa, le componenti della derivata di un vettore sono uguali alle derivate delle
sue componenti.
NB: Se invece
la base è mobile, la relazione non è più così semplice, in quanto saranno
presenti dei termini aggiuntivi (vedi p. es. l’accelerazione centrifuga e
quella di Coriolis e le cosiddette forze apparenti).
e-school: Analisi II - Funzioni
f: ℝN→ℝ differenziabili (2°
parte) – 06 – Derivata secondo una direzione e secondo una retta
Definizione
La Derivata Direzionale di un campo scalare F(r) secondo una direzione
identificata dal vettore unitario k è definita come:
Alla base di questa definizione c’è il fatto che, se nel
dominio di F a partire dal punto r0 ci spostiamo lungo una
direzione prefissata k, il campo scalare F(r) si riduce ad una
funzione di un’unica variabile (la distanda da r0), alla quale
possiamo quindi applicare il procedimento “standard” di derivazione delle
funzioni reali di una variabile reale.
Interpretazione Geometrica
Figura 2‑1 - Derivata direzionale
Come sappiamo (cfr. Calcolo Differenziale ed
Integrale) il grafico di una funzione di due variabili F(x, y) è costituito
dalla superficie z = F(x, y). Dato un punto P nel piano xy, consideriamo quindi
la retta r del piano xy di direzione k e passante per P ed il piano
π, parallelo all’asse z, contenente la retta r. L’intersezione del piano
π con il grafico di F è una curva piana, la cui tangente nel punto F(P) è
la derivata direzionale di F secondo la direzione k.
É necessario tener presente che, variando la direzione di k,
il piano π ruoterà attorno ad una retta verticale passante per il punto P,
e di conseguenza cambierà il profilo della sua intersezione con il grafico di F:
ovviamente la derivata direzionale di una funzione dipende dalla direzione
secondo cui essa viene calcolata!
Proprietà
Come vedremo nella ( 2‑e) la derivata direzionale secondo una direzione k è la componente del gradiente in quella direzione.
e-school:
Analisi II - Funzioni f: ℝN→ℝ differenziabili (4° parte)
Definizione
Consideriamo l’insieme di tutte le funzioni differenziabili F(x,
y, z) (ovvero di tutti i campi scalari differenziabili F(r)). Ad ogni funzione
è possibile associare la terna ordinata
delle sue derivate
parziali prime: (∂xF, ∂yF, ∂zF).
Non è difficile verificare che – in virtù della linearità
dell’operazione di derivazione – l’insieme di queste terne ordinate, dotato
delle ovvie operazioni di somma e di moltiplicazione per uno scalare, ha
struttura di Spazio Vettoriale
Reale di dimensione
tre.
Il generico vettore di questo spazio viene detto Gradiente del campo F(r), ed è
solitamente indicato con ∇F,
dove si è utilizzato l’operatore differenziale nabla,
la cui definizione, in coordinate
cartesiane, è data da:
NB: Se si
utilizza un sistema di coordinate non cartesiane (ad es. polari, sferiche o
curvilinee) l’espressione delle grandezze definite tramite l’operatore nabla (gradiente, divergenza e rotore) cambierà forma.
Poiché le derivate parziali di F(r) sono a loro volta
delle funzioni di r, è evidente che il gradiente di un campo scalare,
poiché definisce un vettore per ogni punto dello spazio, è un campo vettoriale.
Gradiente e Differenziale Totale
Rammentiamo la formula del differenziale
totale di una funzione F(xi) di più variabili:
∆F = ∂iF ∆xi (dove
abbiamo utilizzato la notazione
compatta). Tenendo conto che ∂iF dono le componenti del
vettore ∇F, e
che ∆xi sono le componenti del vettore ∆r, la
formula del differenziale totale può essere espressa in forma vettoriale come:
( 2‑d) ΔF = ∇F∙Δr
= ∂rF∙∆r
La natura vettoriale del
gradiente risulta evidente dalla ( 2‑d): infatti, poichè ∆F è uno scalare e ∆xi
è un vettore
controvariante, per il criterio di tensorialità
abbiamo che ∂iF deve essere un vettore covariante.
Proprietà del
Gradiente
Il gradiente di un campo scalare ha una chiara
interpretazione geometrica:
·
La Direzione del
Gradiente (in un punto):
– è perpendicolare alla Suprficie di Livello
(per quel punto);
– è quella lungo cui la Variazione del
Campo è massima.
·
L’Intensità del
Gradiente è pari alla Derivata Direzionale calcolata lungo la direzione di
Massima Pendenza
·
Per dimostrare che il gradiente è perpendicolare alla superficie
di livello, iniziamo a considerare il caso bidimensionale: se da un punto
qualsiasi r0 ci si sposta lungo una curva di
livello C, il campo
rimane – per definizione – costante F(C)
= F0, ovvero non subisce variazioni: ∆F = 0. Considerando quindi
uno spostamento infinitesimo ∆r lungo una curva di livello, in
virtù della ( 2‑d), abbiamo che: ∇F∙Δr
= 0, e quindi i due vettori ∇F
e Δr sono perpendicolari. D’altra parte il
vettore ∆r giace sulla tangente alla curva di livello nel punto r0,
e quindi il gradiente è perpendicolare alla curva di livello.
Il discorso è sostanzialmente
identico nel caso tridimensionale, salvo il fatto che ora abbiamo delle superfici
di livello e che lo spostamento ∆r lungo una superficie di
livello può avvenire in qualsiasi direzione. In questo caso ∆r
giace sul piano tangente alla superficie di livello per r0.
Poiché ∇F∙Δr
= 0 per qualsiasi direzione di ∆r nel piano tangente, ne
consegue che il gradiente è perpendicolare alla superficie di livello per r0.
Il ragionamento può essere
articolato più dettagliatamente come segue:
-
detto F0 =F(r0.), l’equazione F(r)
= F0 rappresenta la superficie di livello passante per r0;
-
sia r = r(t) l’equazione parametrica di una generica curva
passante per r0 (ad es. per t=0, e quindi r(0) = r0);
questa curva giacerà sulla superficie di livello per r0 se:
F(r(t)) = F0 = F(r(0));
-
differenziando la funzione composta F(r(t)) abbiamo:
,
che può essere espressa in forma vettoriale come ∇F(r(t))∙r’(t), e quindi per t=0 otteniamo ∇F(r0)∙r’(0) = 0;
-
ciò significa che in r0 il gradiente è
perpendicolare alla tangente r’(0) alla generica curva giacente sulla
superficie di livello, e quindi – in virtù dell’arbitrarietà di questa curva –
è perpendicolare alla superficie di livello per quel punto.
·
Per dimostrare che la direzione del gradiente è quella lungo cui
la variazione del campo è massima (direzione di “massima pendenza”),
basta esprimere la ( 2‑d) come: ∆F = |∇F| |∆r| cos θ (dove
θ è l’angolo fra la direzione dello spostamento e quella del gradiente); è
chiaro ∆F risulta massima quando le due direzioni coincidono.
Figura 2‑2 – Direzione di massima pendenza
·
Per dimostrare infine che l’intensità del gradiente è pari alla
derivata direzionale calcolata lungo la direzione di massima pendenza, basta
introdurre la formula del differenziale totale ( 2‑d) nella definizione della derivata direzionale ( 2‑b). Detto k il versore della generica direzione di ∆r, e posto ε = |Δr|, si ottiene: ∂kF(r0)
= lim ε→0 ΔF / ε = lim
ε→0 (∇F
∙ Δr)
/ ε , e quindi:
ovvero:
La Derivata Direzionale di un Campo Scalare in una Direzione
è pari alla Componente del Gradiente in quella Direzione.
Detto infine h il versore
della direzione di massima pendenza (ovvero la direzione in cui la variazione
del campo è massima), poiché questa direzione è parallela a quella del gradiente,
abbiamo: ∇F =
|∇F| h,
e quindi la ( 2‑e) diventa:
|∇F| = |∂hF|
·
Anticipiamo infine il fatto che il gradiente ∇F(r) è un campo conservativo (Teorema
del Gradiente).
Dimostrazioni Geometriche
Le
proprietà del Gradiente risultano evidenti da un punto di vista geometrico.
Consideriamo
infatti il caso bidimensionale, dove il campo scalare è rappresentato da una
superficie. Con riferimento alla Figura 2‑3, supponiamo di trovarci nel punto A situato su questa superficie ad altitudine h, e di voler salire all’altitudine h+Δh
per il cammino più breve. Ovviamente il cammino più breve sarà anche quello più
ripido.
Figura 2‑3 – Direzione di massima pendenza
Sia
C un punto ad altitudine h+∆h e B il punto sulla verticale di C ad altitudine
h; il triangolo ABC è rettangolo, e quindi la lunghezza del percorso da A a C è
data da: 
, e poichè
è
fissato, il percorso più breve si ottiene minimizzando
.
Poichè
le due curve
di livello passanti per i punti A e B si trovano a distanza infinitesima,
le loro tangenti nei punti A e B risultano parallele (a meno di infinitesimi di
ordine superiore). Ne consegue che
risulta minimo quando
è perpendicolare alla curva di livello passante per A. Ciò significa che la
direzione di massima pendenza è quella perpendicolare alla curva di livello (qed).
Questa dimostrazione può essere
formulata in termini analitici come segue:
-
dopo aver stabilito un riferimento cartesiano nel piano xy,
abbiamo che:
∆h
= ∆F(x, y) = Fx∆x + Fy∆y ;
-
per trovare la direzione nel piano xy per cui ∆h
risulta massimo (o minimo), fissiamo il
