Il Filo di Arianna di Diego Vasdeki

GEOMETRIA     MATEMATICA     FISICA                         Home (Progetto Arianna)

                             PREV    NEXT                                   Forum      e-school di Arrigo Amadori

 

  (Versione 0.2  del  27-10-2005)

VERSIONE PRELIMINARE

 

M-III  CALCOLO DIFFERENZIALE  ED INTEGRALE

1       Notazione Compatta

2       Funzioni Reali

2.1     Applicazioni

2.2     Applicazioni N

2.3     Applicazioni NM

3       Calcolo Differenziale – I (Applicazioni ℝ)

3.1     Derivata

3.2     Differenziale

3.3     Proprietà delle Derivate – Regole di Calcolo

3.4     Derivate di Funzioni Notevoli

3.5     Punti Critici

4       Calcolo Differenziale – II (Applicazioni Nℝ)

4.1     Derivate Parziali

4.2     Differenziale Totale

4.3     Punti Critici

5       Calcolo Differenziale – III (Applicazioni N M)

6       Calcolo Integrale

6.1     Funzioni di una Variabile

6.2     Funzioni di più Variabili

6.3     Integrale di Volume

Bibliografia

Indice Analitico

 

In questa sezione esamineremo alcuni aspetti del calcolo differenziale e integrale, evidenziando soprattutto la loro interpretazione geometrica.

e-school:   Analisi I – La retta reale

e-school:   Analisi I – Limiti di funzioni reali

e-school:   Analisi I – Successioni di funzioni  reali

e-school:   Analisi I – Serie di potenze

e-school:   Analisi I – Serie di Taylor

e-school:   Analisi I – Funzioni analitiche

e-school:   Analisi I – Funzioni reali notevoli

e-school:   Analisi I – Funzioni complesse notevoli

e-school:   Analisi II – Funzioni a variazione limitata

e-school:   Analisi II – Integrali di Steltjes

e-school:   Analisi II – 1-forme

 

                                                                               1Notazione Compatta

Notazioni

·        Viene utilizzata la Convenzione di Einstein di sottintendere i simboli di sommatoria per gli indici ripetuti (una volta in alto ed una volta in basso).

·        Detta f(x) una funzione reale della variabile reale x, indicheremo spesso la sua derivata con:

·        Talvolta, quando ciò non crei ambiguità, sottintenderemo il pedice con l’indicazione della variabile di derivazione, scrivendo semplicemente ∂f.

NB: in questa notazione il simbolo ∂ non indica necessariamente una derivata parziale.

·        Talvolta il simbolo ∂ verrà omesso, specificando direttamente la variabile di differenziazione con un pedice sulla funzione:

·        Analogamente, detta Ff(x,y,z) una funzione reale di più variabili reali (o equivalentemente F(r) un campo scalare), indicheremo le sue derivate parziali con:

 

; ;  

il suo gradiente  con:

(in questo caso il pedice viene indicato in grassetto).

e la sua derivata direzionale nella direzione k con:

(anche in questo caso il pedice viene indicato in grassetto).

·        Nel caso di un campo scalare le coordinate dei punti sono spesso contraddistinte da un indice, ovvero F(xi); in questo caso può essere conveniente esprimere la derivata parziale rispetto alla variabile xi sottintendendo la variabile x (qualora ciò non crei ambiguità) e specificandone solamente l’indice i: 

NB: per il simbolo ∂ è stato utilizzato un indice in basso, coerentemente con la natura covariante del gradiente.

·        Il simbolismo viene esteso alle derivate di ordine superiore, ad esempio:

·        Nel caso di una trasformazione di coordinate espressa da xi = xi(x’k), è talvolta conveniente porre:

dove la funzione xi è specificata per mezzo dell’indice controvariante i, mentre la variabile x’k è specificata per mezzo dell’indice covariante k’ (notiamo che l’apice viene ora posto sull’indice e non sulla variabile).

Analogamente per la trasformazione inversa x’i = x’i(xk), porremo:

·        Nel prodotto di più derivate parziali il simbolo ∂ verrà specificato una sola volta, ponendo:

ikpq :=  ikpq

Regole di Calcolo

·        Un indice ripetuto, una volta in alto e una volta in basso, può essere eliminato oppure sostituito dal delta di Kroeneker. Infatti:

( 1a)                          

Questa identità risulta subito evidente se si considera il fatto che essa altro non è che la regola di derivazione della funzione inversa nel caso di un’applicazione NN.

 

                                                                                            2Funzioni Reali

2.1Applicazioni

Definizioni

Una Funzione Reale di una Variabile Reale è un’applicazione f: XY, dove X e Y=, e viene comunemente indicata con y = f(x).

Gli elementi di X sono detti Variabili Indipendenti (o di Input), mentre quelli di Y sono detti Variabili Dipendenti (o di Output).

Rappresentazione

Se la funzione f è continua, ponendo  y = f(x) si ottiene l’equazione esplicita di una curva piana, detta grafico della funzione f.

Ai fini di una successiva generalizzazione, è opportuno esplicitare il procedimento geometrico di rappresentazione:

·         una funzione reale di una variabile reale è un sottoinsieme del prodotto cartesiano x, ovvero di 2;

·         gli elementi di 2 possono essere considerati come le coordinate dei punti di un piano cartesiano;

·         sotto opportune condizioni di regolarità, l’insieme dei punti di cui è costituita la funzione, viene ad essere una curva piana.

Continuità

e-school:   Analisi I – Funzioni reali continue

La nozione di continuità risulta intuitiva in ambito geometrico: una curva piana viene detta continua se può essere tracciata su un foglio di carta senza mai staccare la punta della matita dal foglio.

Questa nozione può essere facilmente applicata alle funzioni reali di una variabile reale: in questo caso infatti il grafico della funzione è una curva nel piano cartesiano, e la funzione è continua se il suo grafico non presenta buchi (punti in cui la funzione non è definita) salti (brusche variazioni di valore della y che non possono essere eliminate restringendo l’intervallo di variazione della x).

É chiaro quindi che la continuità viene ad essere una caratteristica locale della curva, o – più in generale – della funzione associata alla curva. In quest’ambito, una funzione viene detta continua (in un punto) quando piccole variazioni della variabile di input (nell’intorno di questo punto) producono piccole variazioni della variabile di output.

Questa definizione verrà progressivamente estesa in modo da renderla applicabile in ambiti sempre più estesi (funzioni reali di più variabili, funzioni complesse, applicazioni fra Spazi Metrici) fino ad arrivare al massimo livello di generalizzazione: quello delle applicazioni fra Spazi Topologici.

Nella Fisica Classica le relazioni fra le varie grandezze sono normalmente espresse da funzioni continue (Natura non facit saltum).

Una prima definizione formale di continuità è la seguente:

Un’applicazione f: X→ (con X) è detta continua in  un punto c  se:

-  c X ;

-  lim x→c+ f(x) = lim x→c- f(x) = f(c) .

Una funzione viene detta continua dappertutto (o più semplicemente continua) se è continua in tutti i punti del suo dominio.

Alcune osservazioni:

·         La continuità è definita solo per i punti appartenenti al dominio della funzione: se in un punto una funzione non è definita, non ha senso parlare di continuità in quel punto (es: f: –{0}→ : f(x) = 0 (per x≠0), pur essendo dotata di entrambi i limiti e pur coincidendo tali limiti, non è definita nell’origine, e quindi non ha senso parlare di continuità nell’origine).

·         Non ha senso parlare di continuità di una funzione nemmeno nel caso in cui non esistano entrambi i limiti (quello destro e quello sinistro) della funzione in quel punto.

·         La condizione che il limite destro coincida con quello sinistro fa sì che la continuità di una funzione in un punto, pur essendo una caratteristica locale del punto, dipende tuttavia solo dal punto in questione (oltre che ovviamente dalla funzione) e non da come ci si avvicina al punto (da destra o da sinistra) (es: f(x) = {0 per x ≤ 0; 1 per x>0}).

·         La condizione che il valore della funzione coincida con il valore del limite è ciò che garantisce l’assenza di salti. (cfr. ad es. f(x) = {0 per x≠0; 1 per x=0}

·         chiarire cosa succede se c non è un punto di accumulazione.

É possibile dare una definizione di continuità[1] (detta “epsilon-delta”) anche senza far riferimento alla nozione di limite:

Un’applicazione f: X→ (con X) è detta Continua  in  un punto  c  se:

ε>0  δ>0      t.c.: |x–c|<δ    xX        |f(x) – f(c)| < ε

Figura 21 – Continuità

In termini informali si può dire che la continuità di una funzione y = f(x) in un punto c esprime il fatto che le variazioni della y (rispetto a f(c)) possono essere contenute a piacere pur di non allontanarsi troppo dal punto c.

In altre parole: una funzione y = f(x) è continua nel punto c, quando è sempre possibile scegliere opportunamente un sottoinsieme Ic del suo dominio, contenente il punto c (ovvero quando esiste sempre un intorno di c: Ic  = {x : |x – c| < δ} ) tale che, per tutti i punti di Ic , lo scostamento ∆f(x) := |f(x) – f(c)|  risulti piccolo a piacere (max(∆f(Ic) < ε).

L’insieme F(X) delle funzioni X→, dotato delle operazioni di somma di due funzioni e di moltiplicazione di una funzione per uno scalare, ha struttura di Spazio Vettoriale. Il suo sottoinsieme FC(X) delle funzioni continue è un Sottospazio Vettoriale di F(X).

Inoltre se X = allora, poiché la composizione funzionale di due funzioni continue è ancora una funzione continua, abbiamo che FC(), dotato dell’operazione di composizione funzionale, ha struttura di Algebra Associativa.

Funzione Esponenziale Reale

Nel capitolo sulla Teoria degli Insiemi abbiamo definito l’operazione di elevamento a potenza di un numero reale positivo ad un esponente razionale. Una volta che si sia fissata la base (a), si tratta in effetti di un’applicazione fa: , definita da: fa(p) = ap.

É possibile estendere questa operazione al caso in cui l’esponente sia un qualsiasi numero reale, ottenendo così una funzione ga: , che viene normalmente indicata con ga(x) = ax.

Detta infatti: p1, p2, … pn, … una successione di Cauchy che tende al numero reale x, anche la successione fa(p1), fa(p2), … fa(pn), … tenderà ad un numero reale, che potremo assumere come il valore di ga nel punto x.

Il passaggio al limite non altera le proprietà già viste nel caso degli esponenti razionali; in particolare:

( 2a)                           ax+y = axay

( 2b)                           a-x = 1/ax

( 2c)                          

Sottolineiamo che 1x = 1 (x), e che a0 = 1 (a).

2.2Applicazioni N

e-school:   Analisi II - Funzioni f: (A N)→ differenziabili

1° parte:    Retta semiretta e segmento, Iperpiano e semispazio, Insieme convesso, Combinazione Lineare convessa, Funzione convessa, funzione concava

2° parte:    Derivata secondo una direzione e secondo una retta, Derivata parziale

3° parte:    Differenziabilità e differenziale

4° parte:    Gradiente, Insiemi C(0)A  e  C(1)A

5° parte:    Punto Critico, Estremante relativo, Funzioni Implicite

6° parte:    Derivata parziale di ordine superiore, Insiemi C(q)A  e  C(∞)A

7° parte:    Serie di Taylor, Funzione Analitica e Reale

Definizioni

Una Funzione Reale di più Variabili Reali è una funzione che associa un numero reale a delle n-ple ordinate di numeri reali.

Una Funzione Reale di N Variabili Reali è una Applicazione F: X
 
(dove X N).

Le Funzioni Reali di N Variabili Reali vengono comunemente indicate con y = F(x1, x2, … , xN) o, più sinteticamente, con y = F(xi) ([2]).Le singole xi le Variabili Indipendenti, mentre y è la Variabile Dipendente.

Per N=2 e N=3 si usa anche F(x, y) e F(x,y,z).

Una funzione reale di N variabili reali è sostanzialmente equivalente ad un campo scalare F(P): infatti le N variabili indipendenti xi possono essere considerate come le coordinate cartesiane di un punto P in uno spazio Euclideo ad N dimensioni.

La differenza fra le due nozioni è questa: poiché le componenti di un vettore dipendono dalla scelta di una particolare base, ne consegue che una funzione di più variabili può essere utilizzata per descrivere un campo scalare solo dopo che sia stata fissata una specifica base per rappresentare le componenti dei vettori, e che essa è relativa a questa specifica base. Se cambia la base, cambierà anche la funzione. Un campo scalare è invece un’entità che, come i vettori, prescinde dalla scelta di una specifica base.

Rappresentazione

Utilizzando lo stesso procedimento già seguito per le funzioni di una variabile, possiamo aggiungere ad 2 una dimensione (la cui coordinata indichiamo con z) ottenendo così uno spazio tridimensionale 3, nell’ambito del quale l’espressione z = F(x,y) rappresenta – sotto opportune condizioni di regolarità – l’equazione esplicita di una superficie bidimensionale (che viene anch’essa chiamata grafico della funzione F).

Una tecnica molto diffusa per rappresentare le funzioni di più variabili è quella degli Insiemi di Livello, che per N=2 sono detti Curve di Livello.

Si tratta di una tecnica che trae le sue origini dalla cartografia: per rappresentare su una mappa il profilo montagnoso di una zona geografica si immagina di sezionare la montagna con dei piani orizzontali posti ad altitudini prefissate (cfr. Figura 22): l’intersezione della montagna (ovvero della superficie di equazione esplicita z = F(x, y)) con ciascuno di questi piani (di equazione cartesiana z = zk) dà origine ad una famiglia di F(x, y) = zk), dette appunto curve di livello in quanto i punti appartenenti a ciascuna di esse si trovano ad un’altitudine costante (sono cioè dei sentieri pianeggianti). Accanto ad ogni curva di livello viene posta l’indicazione della relativa altitudine (Cfr. Figura 23).

Figura 22 - Curve di Livello (I)

Figura 23 - Curve di Livello (II)

Se le curve sono tracciate in corrispondenza di altitudini che differiscono l'una dall'altra di uno stesso dislivello, l'infittirsi delle curve indica un aumento della pendenza: con riferimento alla Figura 24 la superficie raffigurata a sinistra, viene "affettatata" (al centro) alle altituidini di 200 m, 400 m, ...); anche solo osservando le curve di livello (a destra) si capisce che man mano che si sale lungo il pendio la pendenza inizialmente aumenta, quindi si riduce progressivamente fino ad azzerarsi lungo il bordo del cratere; proseguendo la pendenza cambia segno (si sta iniziando a scendere), fino ad azzerarsi nuovamente nel punto più basso del cratere.

Figura 24 - Curve di Livello (III)

Ovviamente questa tecnica può essere utilizzata anche per applicazioni F: N; nel caso N=3 gli Insiemi di livello sono dati da F(r) = costante, che è l’equazione implicita di una famiglia di superfici, dette appunto Superfici di Livello.

In Fisica, qualora il campo scalare F(r) descriva un potenziale, le superfici di livello sono dette Superfici Equipotenziali.

Continuità

DA COMPLETARE

2.3Applicazioni NM

e-school:   Analisi II - Funzioni f: (A r)→ differenziabili

1° parte:    Matrice di un Operatore Lineare - Isometria

2° parte:    Applicazioni differenziabili, Insiemi C(q)A  e  C(∞)A

3° parte:    Invertibilità Locale, Funzioni implicite,Varietà di N di dimensione r e Classe C(q)

4° parte:    Vettore tangente, spazio tangente, r-piano tangente ad una varietà, Spazio normale ad una varietà

5° parte:    Massimi e minimi relativi condizionati

DA COMPLETARE

                                                                     3Calcolo Differenziale – I
(Applicazioni
ℝ)

La Derivata è una delle due nozioni centrali del Calcolo Differenziale ed Integrale[3], ed ha a che vedere con le grandezze cinematiche (velocità ed accelerazioni), con alcuni aspetti geometrici di curve e superfici (quali, ad esempio, tangente, curvatura, torsione, flessi, ecc.), con la ricerca dei punti di massimo e di minimo relativo, nonché con i problemi di approssimazione.

Tutti questi sono aspetti connessi alla rapidità del cambiamento di qualche grandezza: si tratta cioè di entità che descrivono delle caratteristiche locali (in termini di struttura o di comportamento) della grandezza in questione, e che vengono determinate analizzandone il comportamento o la struttura in un intorno infinitesimale dei singoli punti.

L’altra nozione è quella di Integrale;  le due nozioni sono reciprocamente correlate dal Teorema Fondamentale del Calcolo, che dice sostanzialmente che le due operazioni sono una l’inversa dell’altra.

La nozione di Derivata ha un ambito di applicazione molto esteso; inizieremo con quello più semplice (derivata delle funzioni reali di una variabile reale), per poi passare alle funzioni reali di più variabili reali (derivate parziali, differenziale totale), ed infine alle applicazioni NM (matrici e determinanti Jacobiani). Gli aspetti relativi alle funzioni complesse verranno trattati nella specifica sezione di questo capitolo degli Appunti, mentre quelli relativi al Calcolo Vettoriale ed al Calcolo Tensoriale sono oggetto di capitoli specifici.

3.1Derivata

e-school:   Analisi I – Derivate di funzioni reali

Definizione Geometrica di Derivata

In ambito geometrico

La Derivata esprime il Coefficiente Angolare della Tangente
ad una Curva in un suo punto.

Il procedimento per ottenere la retta tangente ad una curva in un punto P0 consiste nel considerare la retta secante la curva nei punti P0 e P1, e quindi, tenendo fermo P0, avvicinare P1 a P0 fino a farlo coincidere con esso.

É chiaro che:

-        si tratta di un procedimento di passaggio al limite;

-        affinché il procedimento abbia senso è necessario che la curva sia continua;

-        sotto il profilo puramente geometrico, è necessario distinguere il caso in cui P1 si trovi a destra di P0 da quello in cui si trovi a sinistra, e in generale i due limiti potrebbero dar luogo a rette differenti (tangente destra e tangente sinistra), come avviene nelle cuspidi;

-        sempre in ambito geometrico una curva può presentare dei punti multipli, in corrispondenza dei quali si avranno ovviamente delle tangenti multiple (una per ogni arco di crva passante per il punto multiplo);

-        la tangente può avere anche pendenza verticale.

Ponendoci nel piano cartesiano, detta y = f(x) l’equazione esplicita della curva, e detti rispettivamente ∆y = y1 – y0 = f(x1) – f(x0) e ∆x = x1 – x0 le lunghezze dei segmenti  e , avremo che, detta α1 l’inclinazione della secante rispetto all’asse x, risulta:  (dove ∆y = y1 – y0 = f(x1) – f(x0)), e quindi, posto x1 = x0 + h, si ha:

( 3a)                           .

Definizione Analitica di Derivata

É possibile generalizzare la nozione di Derivata in modo da prescindere dalla sua interpretazione geometrica e dalle particolarità che abbiamo visto nel caso della tangente.

Prendendo spunto dalla cinematica, descrivendo il moto di un punto materiale con una funzione x = f(t), la derivata di f rispetto a t rappresenta la velocità del punto, ovvero la rapidità del cambiamento della sua posizione nel tempo.

In generale: date due grandezze x ed y tra cui esiste una relazione funzionale y = f(x),

La Derivata di una funzione y=f(x) esprime la
rapidità con cui cambia la variabile dipendente
y
a fronte di un cambiamento della variabile indipendente
x.

Ad esempio la capacità termica di un corpo, che rappresenta la rapidità con cui è necessario fornirgli calore per aumentarne la temperatura.

Data quindi una funzione reale di una variabile reale y = f(x), la sua Derivata rispetto ad x nel punto x0 viene definita come il limite del rapporto incrementale:

( 3b)                          

(dove ∆y = f(x0+∆x) – f(x0) ).

Osservazioni

·         La linearità dell’operazione di differenziazione (ovvero il fatto che:  e , fa sì che l’insieme delle funzioni differenziabili definite su uno stesso intervallo I, dotato delle ovvie operazioni di somma di due funzioni e di moltiplicazione di una funzione per un numero reale, abbia struttura di Spazio Vettoriale Reale.

·         Talvolta, e dove ciò non crei ambiguità, utilizzeremo la notazione compatta ∂f per indicare la derivata di f (dove però il simbolo ∂ non implica una derivata parziale).

Differenziabilità

Affinché la ( 3‑b) abbia senso, è necessario non solo che il limite della forma indeterminata 0/0 esista, ma anche che sia univoco[4] (ovvero che il limite destro ∆x0+ coincida con quello sinistro ∆x0-).

Una funzione che, in un punto del suo dominio, soddisfa queste condizioni è detta differenziabile in quel punto. Una funzione differenziabile in tutti i punti di un intervallo è detta differenziabile nell’intervallo. Una funzione differenziabile in tutti i punti del suo dominio è detta differenziabile.

La differenziabilità è una condizione più forte della semplice continuità: per poter essere differenziabile, una funzione, oltre ad essere continua, deve soddisfare un’ulteriore condizione di regolarità, che può essere interpretata geometricamente come l’assenza di spigolosità: (ovvero il fatto che l’arco di curva alla destra del punto si raccordi con quello alla sua sinistra in modo dolce, senza brusche variazioni della tangente).

Derivate di Ordine Superiore

Poiché al variare di x0 in X varia anche f '(x0), è evidente che la derivata di una funzione f: X è essa stessa una funzione f ': X. Se tale funzione risulta essere differenziabile, essa stessa può essere differenziata, dando origine alle cosiddetta derivata seconda (indicata con  f ''(x), o con ). Il procedimento può essere ovviamente reiterato fintantoché il risultato ottenuto (derivate di ordine successivo) sia una funzione differenziabile.

Dare l’interpretazione geometrica della derivata seconda

Funzioni di Classe CN e Regolarità (“Smoothness”)

DA FARE

·        Una funzione continuamente differenziabile r volte (ovvero che possiede derivate (parziali) continue fino all’ordine r (compreso) è detta di classe Cr.

Ulteriore Interpretazione della Derivata

In vista di una futura generalizzazione, consideriamo una funzione f: , che sia differenziabile, invertibile (e la cui funzione inversa sia continua ???). La variabile indipendente x e quella dipendente y=f(x) possono essere considerate come le coordinate dei punti di due rette distinte X ed Y; inoltre le condizioni poste ci consentono di considerare la funzione f come una trasformazione (non necessariamente lineare) di coordinate da una retta all’altra.

Inoltre la continuità di f assicura che, detto ∆x un intorno del punto x0,  la sua immagine ∆y = f(∆x) sia un intorno del punto y0 = f(x0). Ne consegue che il rapporto ∆y/∆x viene ad esprimere il rapporto fra le lunghezze dei due intorni.

Pertanto, in quest’ottica:

La Derivata di una Funzione  f(x)  rappresenta
il Coefficiente Puntuale di Deformazione delle Lunghezze
indotto dalla Trasformazione di Coordinate rappresentata da
f(x).

(cfr. Figura 31).

Questo coefficiente ha segno positivo o negativo a seconda che l’orientamento della retta Y sia concorde o discorde rispetto all’orientamento della retta X (la biunivocità della funzione esclude la possibilità che esso sia nullo). Ovviamente esso è costante se l’applicazione è lineare, altrimenti varia da punto a punto.

 

Figura 31 - Deformazione delle Lunghezze

3.2Differenziale

La variazione ∆f subita da una funzione f(x) nel passare da un punto x0 ad un punto infinitamente vicino x0 + ∆x è detta Differenziale della funzione (nel punto x0), ed è dato – al primo ordine di approssimazione –  da:

( 3c)                           ∆f(x0) := f(x0+∆x) – f(x0) = f '(x0) ∆x ,

che può essere riscritta come:

( 3d)                          

o anche come:

( 3e)                           f(x0+∆x) = f(x0) + k ∆x + Ordine(∆x2)

(dove k = f '(x0)), da cui risulta evidente che:

Al primo Ordine di Approssimazione, una Funzione Differenziabile è Lineare.

Dal punto di vista geometrico ciò equivale ad approssimare, nell’intorno di un punto, una curva con la sua tangente.

3.3Proprietà delle Derivate – Regole di Calcolo

La ( 3e) consente di ricondurre lo studio delle proprietà delle derivate delle funzioni allo studio delle proprietà delle corrispondenti rette tangenti, ottenendo così una chiara rappresentazione geometrica delle varie formule.

Interpretando al solito la x e la y come le coordinate di un punto P in un piano cartesiano, conviene traslare l’origine degli assi nel punto in questione (cioè in modo da avere P0 = O’, cfr. Figura 3‑2),  cosicchè la tangente in P0 sarà una retta passante per l’origine e le formule si semplificano.  

Figura 32 - Approssimazione Lineare

 

a)      Derivata della somma di due funzioni:                    ∂(y1 + y2) = ∂y1 + ∂y2     .

La somma di due rette è ancora una retta il cui coefficiente angolare è pari alla somma dei coefficienti angolari (cfr. Figura 33).

 

Figura 33 - Derivata della somma di funzioni

b)      Derivata del prodotto di due funzioni:                    ∂ (y1y2 ) = (∂y1)y2 + y1(∂y2)    .

Nel piano y1y2  il valore di g(x) = y1(x) y2(x) è dato dall’area del rettangolo identificato dall’origine e dal punto di coordinate {y1(x), y2(x)}, per cui Δg è dato (a meno del rettangolino Δy1 Δy2) dalla somma dei rettangoli y2Δy1 e y1Δy2.

 

                      

Figura 34 - Derivata del prodotto di funzioni

c)      Derivata di una funzione composta:                       x z[y(x)] = ∂yz(y)  xy(x)    .

Analiticamente: al primo ordine entrambe le funzioni z(y) e y(x) sono lineari, per cui risulta: ∆z yz ∆y e anche ∆y xy ∆x, da cui sostituendo: ∆z (∂yz) (∂xy) ∆x.

Formalmente, dette  f: X→Y l’applicazione definita da: y = f(x), g: Y→Z l’applicazione definita da: z = g(y), e h: X→Z l’applicazione composita   h = g f : X→Z definita da h(x) = f(g(x), la regola di derivazione delle funzioni composte può essere espressa come:     ∂ (gf) = (∂g) (∂f)  .

Geometricamente: la presenza di due funzioni comporta la necessità di utilizzare di un’ulteriore dimensione. Nel piano xy la funzione y(x) è approssimata dalla una retta di coefficiente angolare a = ∂xy; analogamente nel piano yz la funzione z(y) è approssimata da una retta di coefficiente angolare b = ∂yz. Pertanto la funzione composta z(y(x)) è approssimata da una retta nel piano xz di coefficiente angolare ab = (∂xy) (∂yz) (cfr. Figura 35).

 

Figura 35 - Derivata di una funzione composta

d)      Derivata della funzione inversa:                             ∂ (f -1) = (∂f) -1∂ (f -1) = (∂f) -1  .

Analiticamente: f -1(x) f(x) = I(x) (dove I(x) = x è l’elemento neutro dell’operazione ∘ ), e quindi:

                                                                                                  ∂ (f -1f) =  (∂f -1) (∂f ) = ∂I = 1   .

Geometricamente: avendo scelto delle coordinate cartesiane, l’angolo che una retta forma con l’asse y è complementare all’angolo che essa forma con l’asse x, quindi, invertendo il ruolo degli assi, al coefficiente angolare tg(α)  corrisponderà un coefficiente angolare pari a tg(π/2 – α) = 1 / tg(α), e poiché da una funzione si passa alla sua inversa invertendo il ruolo delle variabili, abbiamo che ∂(f -1) = 1 / ∂f (cfr Figura 36).

 

Figura 36 - Derivata della funzione inversa

3.4Derivate di Funzioni Notevoli

Derivata delle Funzioni Trigonometriche

Applicando la definizione di derivata alle funzioni trigonometriche si ottiene:

( 3f)                            ∂sin(x) = cos(x) ;

                                    ∂cos(x) = -sin(x) .

Il motivo di queste relazioni risiede nel fatto che le funzioni sin(x) e cos(x) non sono indipendenti, ma sono legate dall’Identità Trigonometrica:

( 3g)                           f 2(x) + g2(x) = 1

(dove si è posto f(x) = sin(x) e g(x) = cos(x)).

Derivando la ( 3g) si ottiene: ff = –gg, che può essere soddisfatta in uno dei seguenti modi:

( 3h)                           ;

( 3i)                            ;

( 3j)                            .

La ( 3h) è chiaramente da escludere. La ( 3i) e la ( 3j) sono entrambe ammissibili e la scelta fra una di esse dipende dal segno delle due funzioni e delle loro derivate in un punto qualsiasi; la ( 3i) è relativa alla scelta: , mentre la ( 3j) è relativa alla scelta: .

Derivata della Funzione Esponenziale

É facile verificare che il fatto che la derivata della funzione esponenziale sia proporzionale alla funzione stessa dipende dal fatto che la funzione esponenziale gode della seguente proprietà:

                                    f(x1+x2) = f(x1) f(x2) .

Infatti – in virtù della definizione di derivata – si ha che, per una funzione di questo tipo, risulta:

                                    ∂f = lim Δx0 [ (f(x) f(Δx) – f(x)) / Δx ] = α f(x) ,

dove si è posto: α := lim Δx0 [ (f(Δx) – 1) / Δx ] .

Per determinare il valore della costante α nel caso in cui f(x) = ax partiamo dalla definizione del numero di Nepero[5]: e = lim N ( 1 + 1/N )N = limy0 (1 + y) 1/y  , prendiamo quindi il logaritmo di entrambi i membri dell’uguaglianza: limy0 loga[(1+y) 1/y] = loga e = 1 / ln a e poniamo y = ax – 1 , ottenendo così: limx0 loga[(ax) ^ (1/(ax-1)] = limx0 [x / (ax-1)] = 1 / ln a, e quindi  α = ln a (ovviamente per a = e, risulta α = 1).

3.5Punti Critici

Un Punto Critico di una funzione di una variabile reale è un punto interno[6] al suo dominio dove la derivata della funzione è infinita, indefinita o nulla. In quest’ultimo caso esso viene detto Punto Stazionario.

Lo studio dei punti critici è di fondamentale importanza per gli aspetti di invertibilità locale delle funzioni: infatti nell’intorno di questi punti una funzione risulta localmente non invertibile.

L’immagine di un Punto Critico è detta Valore Critico. Sotto opportune condizioni di regolarità l’insieme dei punti critici ha misura nulla (Teorema di Sard). I punti diversi dai punti critici sono detti Punti Regolari e le corrispondenti immagini sono dette Valori Regolari.

Nell’intorno di un punto stazionario una funzione assume un Valore Stazionario, intendendo con ciò il fatto che le sue variazioni sono nulle al primo ordine di approssimazione; questa circostanza può verificarsi in presenza sia di un Valore Estremo (di massimo o di minimo) che di un Flesso (quando cioè la curva che rappresenta il grafico della funzione cambia il verso della sua concavità) orizzontale.

Nel primo caso il punto è detto Estremale (Massimale o Minimale); nel secondo caso è detto Punto di Flesso.

In un estremale una funzione assume un valore maggiore o minore rispetto ai valori assunti nei punti vicini. É chiaro che si tratta di una condizione locale (verificata cioè nell’intorno di un punto) e differenziale (le dimensioni dell’intorno possono essere arbitrariamente piccole) in quanto il procedimento matematico per individuare tali punti comporta il confronto con i valori assunti dalla funzione in un intorno del punto.

Da un punto di vista geometrico, limitandosi alle funzioni differenziabili[7], un punto stazionario è caratterizzato dal fatto che la tangente al grafico della funzione è orizzontale: infatti se così non  fosse (se cioè la tangente avesse una pendenza obliqua) la continuità della funzione comporterebbe che, se spostandosi in un verso la funzione diminuisse, spostandosi nel verso opposto dovrebbe invece necessariamente aumentare (ovviamente sempre che non ci si trovi in un punto estremo dell’intervallo di definizione della funzione).

Per determinare la natura di un punto stazionario (massimale / minimale / punto di flesso) è necessario indagare il comportamento della funzione, in un intorno del punto, al secondo ordine di approssimazione[8]:

·        nell’intorno di un minimale (cfr. Figura 37) il grafico della funzione si trova interamente al di sopra della tangente; le variazioni del secondo ordine sono quindi positive in entrambi i versi e la concavità è diretta verso l’alto; la curva è approssimata[9] dalla parabola y = kx2 (k>0) e la derivata seconda è positiva;

·        nell’intorno di un massimale (cfr. Figura 38) la situazione è rovesciata: il grafico della funzione si trova interamente al di sotto della tangente; le variazioni del secondo ordine sono quindi negative in entrambi i versi e la concavità è diretta verso il basso; la curva è approssimata[10] dalla parabola y = –kx2 (k>0) e la derivata seconda è negativa;

·        nell’intorno di un punto di flesso (cfr. Figura 39) il grafico della funzione attraversa la tangente; le variazioni del secondo ordine sono positive in un verso e negative nell’altro; la curvatura è nulla in quanto la curva passa da concava a convessa (o viceversa); la curva è approssimata[11] dalla cubica y = ±kx3 e la derivata seconda è nulla.

 

    

Figura 37 - Punto di Minimo

 

Figura 38 - Punto di Massimo

 

Figura 39 - Punto di Flesso

                                                                    4Calcolo Differenziale – II
(Applicazioni
Nℝ)

4.1Derivate Parziali

e-school:   Analisi II - Funzioni f: N differenziabili (2° parte)

                    Analisi II - Funzioni f: N differenziabili (6° parte)

Definizione

La Derivata Parziale di una funzione reale di più variabili reali è la sua derivata rispetto ad una di queste variabili effettuata mantenendo costanti le altre variabili.

É infatti evidente che, tenendo ferme tutte le variabili tranne una, una funzione di più variabili diventa una funzione di un’unica variabile, alla quale si può quindi applicare la definizione “standard” di derivata.

Il termine derivata parziale è un po’ infelice: infatti non è che la funzione venga derivata solo parzialmente, ma essa viene derivata tenendo costanti tutti i suoi argomenti tranne uno.

Esistono vari modi per indicare le derivate parziali (cfr. Notazione Compatta).

A titolo di esempio consideriamo il volume di un cono di altezza h e raggio r: V(h, r) = πr2h / 3. Allora ∂hV = πr2 / 3 rappresenta la rapidità con cui cambia il volume del cono quando il raggio viene tenuto costante e si varia solo l’altezza, e viceversa per ∂rV = 2πrh / 3.

Considerando una funzione di due variabili F(x, y), abbiamo le seguenti derivate parziali:

 ( 4a)                         

                                   

Proprietà

Considerando le variabili indipendenti xi come le coordinate, secondo uno specifico riferimento cartesiano, di un punto P in uno spazio euclideo, abbiamo che

la Derivata Parziale è un Caso Particolare della Derivata Direzionale

quando la Direzione k coincide con quella di uno degli assi coordinati.

Infatti, l’equazione parametrica della retta parallela all’asse x e passante per il punto (x0, y0) è: ; introducendo queste espressioni nella F, otteniamo una funzione G(t) = F(x0+t, y0) che dipende solo da t. La derivata rispetto a t di questa funzione, calcolata per t=0, coincide con la  ( 4a), e ciò dimostra l’asserto

Derivate Parziali di Ordine Superiore

Poiché le derivate parziali di una funzione di N variabili sono anch’esse funzioni di N variabili, è possibile iterare il procedimento di derivazione parziale, ottenendo così le Derivate Parziali di Ordine Superiore.

In particolare, per le Derivate Parziali Miste, si dimostra (Teorema di Schwarz) che, se le derivate miste sono continue, l’ordine di derivazione è ininfluente (cioè ∂xy = ∂yx)[12].

Come controesempio basta considerare la funzione con F(0, 0) = 0. Le derivate miste esistono e sono continue dappertutto tranne che in (0, 0). In effetti Fxy(0, 0) ≠ Fyx(0, 0).

4.2Differenziale Totale

Il Differenziale Totale di una funzione di più variabili F(xi) è la variazione infinitesima ∆F subita dalla funzione nel passare da un punto xi ad un punto infinitamente vicino xi + ∆xi.

Figura 41 - Differenziale Totale

Considerando, ad esempio, una funzione di due variabili F(x, y), con riferimento alla Figura 41, abbiamo che la variazione totale ΔF lungo la diagonale del rettangolo può essere scomposta, indifferentemente, nelle variazioni parziali lungo i cateti di uno dei due triangoli rettangoli, per cui, al primo ordine di approssimazione, abbiamo che:

                                    ΔF = ΔF1 + ΔF2 = ΔF3 + ΔF4 .

Non è difficile verificare che ΔF2 differisce da ΔF3 per termini del secondo ordine, per cui – sempre al primo ordine di approssimazione – abbiamo che:

( 4b)                           ΔF(x0, y0)   = ΔF1(x0, y0) + ΔF3(x0, y0)
                                          = ∂xF(x0, y0)
Δx + ∂yF(x0, y0) Δy

dove entrambe le derivate parziali sono calcolate nel punto (x0, y0).

4.3Punti Critici

e-school:   Analisi II - Funzioni f: N differenziabili (3° parte)

La situazione è analoga a quella già vista nel caso delle funzioni di una variabile, salvo il fatto che ora la presenza di un maggior numero di variabili indipendenti comporta la possibilità di spostarsi, all’interno del dominio di definizione della funzione, lungo più direzioni, e ciò conferisce una maggiore articolazione all’intera problematica.

Un Punto Critico di una funzione di più variabili reali è un punto interno[13] al suo dominio di definizione nel quale il gradiente della funzione è infinito, indefinito o nullo. In quest’ultimo caso esso viene detto Punto Stazionario.

Esaminiamo la questione da un punto di vista geometrico per N=2. Il dominio della funzione è ora un sottoinsieme del piano xy, ed il grafico della funzione è la superficie di equazione esplicita z = F(x, y). Per dare concretezza al discorso consideriamo due situazioni:

a) quella cartografica, dove il valore della funzione (z) rappresenta l’altitudine di una montagna;

b) quella dinamica, dove il campo scalare rappresenta l’energia potenziale di un campo di forze.

Relativamente ai punti stazionari possono ora presentarsi le seguenti situazioni:

·         in corrispondenza di una vetta: (a) la curva di livello degenera in un punto, e l’altitudine diminuisce in qualsiasi direzione ci si sposti; (b) l’equilibrio è instabile[14] lungo tutte le direzioni;

·         in corrispondenza di un crinale orizzontale (ad esempio sul cratere di un vulcano, cfr. Figura 24) la curva di livello divide gli intorni dei suoi punti in due zone, e l’altitudine diminuisce in ciascuna di esse: in altre parole, l’altitudine rimane costante (l’equilibrio è stabile) nella direzione della curva di livello, mentre diminuisce (l’equilibrio è instabile) lungo tutte le altre direzioni;

·         in corrispondenza di un punto sella (cfr. Figura 42) due curve di livello si incrociano[15] e suddividono l’intorno di questo punto in due coppie di zone opposte al vertice: all’interno di una coppia l’altitudine diminuisce (l’equilibrio è instabile), mentre all’interno dell’altra l’altitudine aumenta (l’equilibrio è stabile).

Figura 42 - Punto Sella

Un punto stazionario potrebbe però essere un punto sella, e quindi per verificare se è un estremale è necessario verificare le variazioni del secondo ordine.

                                                                  5Calcolo Differenziale – III
(Applicazioni
N M)

DA COMPLETARE

 

                                                                                 6Calcolo Integrale

L’Integrale è una delle due nozioni centrali del Calcolo Differenziale ed Integrale[16],  ed ha a che vedere con lunghezze, aree e volumi, con centri di gravità, momenti d’inerzia e molte altre grandezze che esprimono delle caratteristiche globali di un oggetto (geometrico o fisico) e che vengono determinate con una scomposizione in un gran numero di parti e quindi con una somma (o una media) dei singoli contributi elementari.

L’altra nozione è quella di Derivata;  le due nozioni sono reciprocamente correlate dal Teorema Fondamentale del Calcolo, che dice sostanzialmente che le due operazioni sono una l’inversa dell’altra.

La nozione di Integrale ha un ambito di applicazione molto esteso; inizieremo con quello più semplice: le funzioni reali di una variabile reale (integrale definito ed indefinito), per poi passare alle funzioni reali di più variabili reali (integrali multipli). Gli aspetti relativi alle funzioni complesse verranno trattati nella specifica sezione di questo capitolo degli Appunti, mentre quelli relativi al Calcolo Vettoriale ed al Calcolo Tensoriale sono oggetto di capitoli specifici.

6.1Funzioni di una Variabile

e-school:   Analisi I – Integrali di Riemann

Definizione Geometrica dell’Integrale Definito

Da un punto di vista geometrico l’Integrale Definito rappresenta l’area della porzione di piano delimitata dall’asse delle x, dal grafico di una funzione y = f(x) e da due rette verticali perpendicolari all’asse x.

Ovviamente è necessario che, dette a e b le intersezioni delle due rette verticali con l’asse x, l’intervallo [a, b] sia compreso nel dominio di definizione della funzione. Supporremo inoltre che la funzione f(x) sia continua (anche se vedremo in seguito che questa condizione può essere sostituita da un’altra meno restrittiva).

Il procedimento per calcolare l’area in questione consiste nel suddividela in un numero N molto grande di aree parziali ottenute suddividendo l’intervallo [a, b] in N intervallini infinitesimi ∆xi, e nell’approssimare le singole aree parziali con quelle dei corrispondenti rettangolini infinitesimi.

Sia pertanto [a = x0 < x1 < … < xN = b] una partizione dell’intervallo [a b], detti rispettivamente xi = xi - xi-1 la lunghezza dell’imo intervallino e yi = f(ti) (xi-1 tixi) il valore della funzione in un punto al suo interno, l’area del corrispondente rettangolino sarà chiaramente yixi. La sommatoria i yi∆xi (detta Somma di Riemann) approssima l’area in questione, e, al diminuire dell’ampiezza di ogni singolo intervallino, tenderà all’area A che vogliamo calcolare:

( 6a)                           A = lim i yi∆xi

dove il limite viene preso per Ne per Max{∆xi}0.

Sotto condizioni abbastanza generali per la funzione f il limite presente nella ( 6a) converge ed il suo valore non dipende dalla scelta di una particolare partizione dai singoli punti ti all’interno dei vari intervallini.

La definizione posta comporta che, se f(x) può assumere valori negativi, le porzioni di area al di sotto dell’asse x vengono considerate di segno negativo.

Integrale Definito (di Riemann)

La ( 6a) può essere considerata anche prescindendo dalla sua interpretazione geometrica, ottenendo così la seguente definizione di Integrale Definito (di Riemann):

( 6b)                          

dove il limite viene preso per Ne per Max{∆xi}0.

Fra le numerosissime applicazioni dell’Integrale Definito, possiamo considerare, a titolo di esempio, il calcolo della massa di una sbarra (stretta e lunga) disomogenea. Detta L la lunghezza della sbarra e λ(x) la sua densità lineare di massa, suddividendo la sbarra in tratti di lunghezza ∆xi, la massa dell’imo tratto sarà chiaramente: ∆Mi = λ(xi)∆xi,, e quindi la massa totale sarà .

La linearità dell’operazione di integrazione definita  (ovvero il fatto che:

 e  fa sì che l’insieme delle funzioni integrabili su uno stesso intervallo I, dotato delle ovvie operazioni di somma di due funzioni e di moltiplicazione di una funzione per un numero reale, abbia struttura di Spazio Vettoriale Reale.

Primitiva

La Primitiva (o Antiderivata) di una funzione f(x), è una funzione F(x) tale che la sua derivata coincide con la funzione f(x), ovvero dF/dx = f(x).

Poiché la derivata di una costante è nulla, è chiaro che una funzione f(x) non individua univocamente una Primitiva, bensì un’intera famiglia di funzioni che differiscono fra loro per una costante arbitraria.

Condizione sufficiente (ma non necessaria) per l’esistenza di una primitiva è che la funzione f(x) sia continua.

Esistono molte funzioni la cui primitiva, pur esistendo, non può essere espressa in termini delle funzioni elementari (polinomi, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche dirette e inverse, o di loro combinazioni).

Detta (x1, x2, … xN) una partizione dell’intervallo [a, b], e detto ∆xi = xi+1xi, in base alla definizione di derivata ( 3‑b), abbiamo che: f (xi) ∆xi = F(xi+1) – F(xi), e quindi:

                  i f(xi)∆xi   = (F(x2) – F(x1)) + (F(x3) – F(x2)) + … + (F(xN) – F(xN-1))

                                    = F(xN) – F(x1)

(in quanto tutti i termini intermedi si elidono a vicenda), e quindi, passando al limite:

( 6c)                          

che, tenuto conto della ( 3d), può essere espressa anche come:

( 6d)                           .

La ( 6c) è della massima importanza in quanto consente di ricondurre il calcolo di un integrale definito al calcolo di una primitiva.

Integrale Indefinito

Se nella ( 6c), tenendo fermo il punto a, facciamo variare il punto b (diciamo b=x), otteniamo una funzione di x:

( 6e)                           ,

dove abbiamo indicato con t la variabile di integrazione.

L’insieme di tutte le Primitive di f(x) viene detto Integrale Indefinito di f(x) e viene indicato con ∫f(x)dx. Utilizzando tale nozione, la ( 6e) può essere espressa come:

( 6f)                            ,

e ciò ci dice che:

Se una Funzione Differenziabile viene prima Derivata e poi Integrata
si riottene la Funzione di Partenza.

Teorema Fondamentale del Calcolo Differenziale ed Integrale

Il Teorema Fondamentale del Calcolo stabilisce che le due operazioni fondamentali del calcolo differenziale ed integrale (la derivata e l’integrale) sono l’una l’inversa dell’altra. Ciò significa che:

Se una Funzione Continua viene prima Integrata e poi Derivata
si riottene la Funzione di Partenza.

Per dimostrare l’asserto è sufficiente applicare alla ( 6‑e) la definizione di derivata:

              

(dove, nel penultimo passaggio abbiamo sostituito l’integrale con l’area del rettangolino infinitesimo di base ∆x e di altezza f(x).

Abbiamo così dimostrato che:

( 6g)                          

Cambiamento della Variabile di Integrazione

Supponiamo di operare, lungo l’asse delle x, una trasformazione di coordinate definita da x = g(x’), ovvero x’ = g -1(x), nel piano x’y’ abbiamo che:

-  gli estremi dell’intervallo di integrazione diventano a’ = g -1(a) e b’ = g -1 (b); 

-  le basi dei rettangolini subiscono una deformazione, per cui come abbiamo già visto risulta: xi = ki x’i (dove );

-  le altezze dei rettangolini restano invariate qualora si scelga t’i = g -1­ (t) (infatti f(g(t’i)) = f(g(g -1(ti))) = f(ti) ).

Ne consegue che:

( 6h)                          

dove il fattore  tiene conto della deformazione delle lunghezze indotta dalla trasformazione di coordinate.

La ( 6‑h) può esprimersi più semplicemente ponendo z = g(x): .

Lunghezza di un Arco di Curva

DA FARE

6.2Funzioni di più Variabili

Area di una Superficie Piana

Vogliamo calcolare l’area di una superficie piana S di equazioni parametriche { x = x(u, v), y = y(u, v) }. A tal fine utilizzeremo un procedimento che si presta ad essere generalizzato anche alle superfici curve. Osserviamo innanzitutto che le equazioni parametriche di S sono un’applicazione continua S: D→ 2 (dove D è un dominio connesso di 2). Consideriamo un’ellisse centrato sull’origine di raggio R: le equazioni parametriche sono { x =

6.3Integrale di Volume

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Penrose, R. : The Road to Reality. (Knopf, New York, 2005).

** –        Un’opera a tutto campo sulle leggi fondamentali della Fisica e sulla Matematica/Geometria ad esse connessa, scritta da uno dei massimi scienziati del nostro tempo. L’intento dichiarato è divulgativo, e come tale è caratterizzato da notevole semplicità e chiarezza espositiva, ma la vastità degli argomenti trattati e soprattutto la profondità delle osservazioni rendono questo libro un’opera assolutamente unica, di grande valore per tutti gli studiosi di Fisica.

                Il Capitolo 6 è dedicato al Calcolo Differenziale ed Integrale.

Smirnov, V.: Cours de Mathématiques Superieurs. (éditions MIR, Moscou, 1969).

**           Opera monumentale, di impostazione tradizionale, scritta con stile proverbialmente piano e chiaro.

Di particolare interesse:

                TOME II: Ch. IV (Analysr vectorielle et théorie du champ) – Ch. V (éléments de géométrie différentielle).

                TOME III (Première Partie): Ch. I (Dèterminants et resolution des systèmes d’équations linéaires) – Ch. II (Transformations linéaires et formes quadratiques).

Articoli

Calvert, J. B.: Logarithms. (http://www.du.edu/~etuttle/math/logs.htm).

Calvert, J. B..: Partial Derivatives And Jacobians. (http://www.du.edu/~etuttle/math/part.htm).

Siti Internet

Analysis WebNotes – http://www.math.unl.edu/~webnotes/contents/chapters.htm

**           Corso di Analisi Reale, completo e ben fatto. Approccio rigoroso e nello stesso tempo comprensibile.

E-school di Arrigo Amadorihttp://www.arrigoamadori.com/lezioni/index.htm . 

(*), **    Sito di Matematica e Fisica contenente materiale decisamente interessante (a vari livelli: divulgativo, di approfondimento e didattico).. É dotato di stimolanti sezioni di Forum, Chat, Open Blog e Open Book. Ottimo sia per lo studente che per lo studioso fai-da-te.

WikipediA – The Free Encyclopedia – http://en.wikipedia.org, http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_real_analysis_topics.

**           L’approccio è di tipo enciclopedico; le singole voci sono trattate con estrema chiarezza, senza disdegnare spiegazioni intuitive ed esempi. Un utilizzo estensivo dei collegamenti ipertestuali rende molto agevole la navigazione fra le singole voci. Interessanti anche la sezione didattica (Wikiversity) e gli Open Books (Wikibooks).

 

Indice Analitico


Convenzione di Einstein........................................... 3

Delta di Kroeneker..................................................... 4

Notazione Compatta.................................................. 3

Punto

notevole............................................... 19

Valore

estremo................................................ 19


 

Keywords

Calcolo Differenziale, Calcolo Integrale, Filo di Arianna, Diego Vasdeki



[1] fornita inizialmente da Cauchy

[2]   preferiamo contraddistinguere le variabili indipendenti con un indice in alto, per analogia con le componenti controvarianti del raggio vettore; questo indice non rappresenta quindi una potenza (qualora fosse necessario esprimeremo, ad esempio, il cubo della variabile x2 con (x2)3, che ovviamente non è x6 !)

[3] in inglese: Calculus. un termine un po’ obsoleto è anche: Analisi Infinitesimale.

[4] questa condizione non è chiaramente soddisfatta nei punti in cui il grafico della funzione presenta una cuspide.

[5] Il numero di Nepero può essere introdotto considerando il seguente problema finanziario: consideriamo un investimento unitario che renda il 100% in un anno: f1 = (1 + 100%) = 2; riducendo la giacenza a 6 mesi, chiaramente gli interessi si dimezzano ed il valore del capitale + interessi dopo 6 mesi è dato da (1 + 50%) = 1,5; reinvestendo questo importo (sempre allo stesso tasso) per i rimanenti 6 mesi, avremo che, alla fine dell’anno, il valore del capitale + interessi sarà dato da: f2 = (1+1/2)2 = 2,25. Suddividendo l’anno in N periodi uguali otteniamo: fN = (1 + 1/N)N , da cui il limite per N : f := e

[6]   cioè, se il dominio è un intervallo chiuso, il punto in questione non deve trovarsi agli estremi dell’intervallo.

[7]   Questa restrizione riguarda solo l’approccio geometrico in questione; infatti una cuspide potrebbe essere un’estremale, ma in questo punto la derivata non è definita.

[8]   in effetti potrebbe essere necessario procedere oltre, ma – per semplicità – supporremo che sia sufficiente fermarsi al secondo ordine; il procedimento per l’eventuale analisi agli ordini successivi è comunque sempre lo stesso.

[9]   ponendo l’origine degli assi coordinati nel punto di minimo

[10]                 ponendo l’origine degli assi coordinati nel punto di massimo

[11]                 ponendo l’origine degli assi coordinati nel punto di flesso

[12] possiamo dire che i due operatori commutano: [∂x, ∂y] = 0.

[13]                 il punto in questione non deve cioè trovarsi sulla frontiera del dominio.

[14]                 ovviamente nel caso di un massimo, mentre sarebbe stabile nel caso di un minimo.

[15] in generale è possibile che più curve di livello si incrocino (punto sella multiplo)

[16] in inglese: Calculus. un termine un po’ obsoleto è anche: Analisi Infinitesimale.