Il Filo di Arianna di

                                    (Progetto Arianna)

                                                                              Forum      e-school di Arrigo Amadori

 

  (Versione 1.1 del  27-10-2005)

 

M-I  TEORIA DEGLI INSIEMI

1       Definizioni

2       Relazioni

2.1        Definizioni

2.2        Relazioni Fra Due Insiemi

2.3        Relazioni Su un Insieme

2.4        Relazioni di Equivalenza

2.5        Relazioni di Ordinamento

3       Applicazioni

3.1        Definizioni

3.2        Operazioni Binarie

3.3        Classificazione delle Applicazioni

3.4        Particolari tipi di Applicazioni

3.5        Operatori

3.6        Isomorfismi

3.7        Successioni, Serie, Limiti

4       Sistemi di Numeri

4.1        Numeri Naturali

4.2        Numeri Interi

4.3        Numeri Razionali

4.4        Numeri Reali

4.5        Numeri Complessi

4.6        Quaternioni

5       Numeri Transfiniti

5.1        Definizioni Preliminari

5.2        Insiemi Numerabili

5.3        Insieme Potenza

5.4        Potenza del Continuo

5.5        Antinomie

6       Teoria Assiomatica degli Insiemi

7       I Numeri Primi

8       Il Teorema di Goedel

Bibliografia

Indice Analitico

 

La nozione di Insieme, e dei concetti ad esso collegati, è alla base non solo della Matematica ma anche del nostro stesso modo di ragionare. Si pensi ad esempio al fatto che le varie definizioni matematiche (comprese quelle fondamentali di numero, relazione, corrispondenza …) vengono – in ultima analisi – ricondotte al concetto di Insieme, oppure al fatto che le operazioni di intersezione e di unione di insiemi corrispondono alle operazioni logiche elementari AND e OR.

La nozione di Insieme costituisce la categoria attorno alla quale si “stratifica” ogni espressione del pensiero umano. Essa è infatti alla base del processo di astrazione che porta ad assimilare quegli insiemi che, pur essendo costituiti da oggetti di tipo differente, soddisfano tuttavia le stesse proprietà.[1]

                                                                                                 1    Definizioni

[e-school: Algebra   Insiemi].

Definizioni Base

La Teoria degli Insiemi tratta oggetti astratti (di natura arbitraria) e le loro relazioni relativamente alle diverse collezioni che li contengono. Nella cosiddetta Teoria Ingenua degli Insiemi[2], la nozione di Insieme viene considerata primitiva, ed è possibile intuire il suo significato esaminandone i sinonimi: classe, collezione, raccolta, conglomerato, gruppo, aggregato, famiglia, …. Un insieme può essere pensato come una raccolta – ben definita – di oggetti, considerata come un tutt’uno.

Vengono inoltre considerate primitive anche le nozioni di oggetto (i cui sinonimi sono Elemento, punto[3], membro, …) e di appartenenza di un elemento ad un insieme.

Un elemento di un insieme può essere esso stesso in un insieme (contenente quindi a sua volta altri elementi), ovvero un insieme può essere anche elemento di altri insiemi. Pertanto la distinzione tra insiemi ed elementi è solo di natura relativa (rispetto cioè alla relazione di appartenenza) e non esprime nessuna caratteristica intrinseca.

Un insieme può essere definito indicando una particolare proprietà che deve essere soddisfatta dai suoi elementi. É tuttavia necessario porre molta attenzione in questo modo di definire gli insiemi, in quanto esso potrebbe portare a delle antinomie.

Dati due insiemi X ed Y:

·        L’insieme degli elementi appartenenti ad entrambi gli insiemi è detto loro Intersezione e si indica con XY := {z : (zX) AND (zY)}

·        Se i due insiemi non hanno elementi comuni, si dicono disgiunti la loro intersezione è l’insieme vuoto.

·        L’insieme degli elementi appartenenti ad uno dei due insiemi è detto loro Unione, e si indica con XY := {z : (zX) OR (zY)}.

·        L’insieme degli elementi appartenenti ad un Insieme ma non all’altro è detto Differenza, e si indica con X-Y  o con X\Y:= {x : xX AND xY}.

·        Se ogni elemento di Y è anche un elemento di X, si dice che Y è un Sottoinsieme di X, e si indica con YX (contenuto in, o anche appartenenza[4] di un insieme ad un altro insieme), oppure XY (contiene, o anche inclusione).

·        Se inoltre ogli elemento di X è anche un elemento di Y, allora i due insiemi contengono gli stessi elementi e sono detti uguali, e si indica con X=Y.

Due insiemi sono uguali se e solo se sono verificate entrambe le condizioni XY e YX

·        Se invece esiste almeno un elemento di X non appartenente ad Y, si dice che Y è un Sottoinsieme Proprio di X, e si indica con YX oppure XY.

Ulteriori Definizioni

·        Un insieme privo di elementi è detto Insieme Vuoto e si indica con = {}

·        Un insieme A costituito da un unico elemento x è detto Singleton: A = {x}

·        Un insieme C costituito da due elementi x1 e x2 è detto Coppia: C = {x1, x2}.

Poichè gli elementi di un insieme non sono necessariamente ordinati, non c’è differenza fra la coppia {x1, x2} e la coppia {x2, x1}.

·        Dati due insiemi X ed Y, l’insieme {{x}, {x,y}} è detto Coppia Ordinata e viene indicato con (x, y). L’elemento x è detto prima coordinata (della coppia ordinata), e l’elemento y è detto seconda coordinata.

La nozione di coppia ordinata consente di distinguere (x, y) da (y, x).

Per comprendere come la definizione posta soddisfi questo requisito, consideriamo i singleton A1 = {x} e A2 = {y}, nonchè la coppia B = {x, y}; consideriamo inoltre le coppie C1 = {A1, B} e C2 = {A2, B}. É importante realizzare che gli elementi da cui sono costituiti gli insiemi C1 e C2 non sono x ed y, bensì gli insiemi A1, A2 e B. É inoltre evidente che C1 ≠ C2 (in quanto costituiti da elementi differenti). Ciò consente di distinguere C1 da C2, anche senza aver stabilito alcuna relazione d’ordine.

La nozione di coppia ordinata può essere reiterata definendo così le Terne Ordinate o, in generale, le N-ple Ordinate.

·        Dati due insiemi X ed Y, l’insieme di tutte le coppie ordinate (x, y) è detto Prodotto Cartesiano di X per Y, e si indica con: X xY := {(x, y) : xX , yY}.

É evidente che XxYYxX

Se l’insieme X è finito[5], i suoi elementi possono essere espressi nella forma xi, ovvero possono essere rappresentati lungo un asse coordinato in corrispondenza dei punti di ascissa intera. Analogamente per l’insieme Y. La generica coppia ordinata (xi, yk) può quindi essere rappresentata con il punto di coordinate (i, k). Il prodotto cartesiano XxY viene quindi ad essere rappresentato geometricamente dall’insieme dei punti all’interno di un rettangolo con un vertice nell’origine (cfr. Figura 11).

Figura 11 - Prodotto Cartesiano

·        L’insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme X è detto Insieme Potenza (o Insieme delle Parti) di X, e si indica con: P(X) := {A : A X}.

·        Si dice che una famiglia di sottoinsiemi Xi di un insieme X ricopre[6] X se ogni elemento di X appartiene ad almeno un membro della famiglia (ovvero se i Xi = X).

·        Si dice che una famiglia di sottoinsiemi non vuoti Xi di un insieme X costituisce una Partizione di X se ogni elemento di X appartiene esattamente ad un solo membro della famiglia (ovviamente gli Xi sono disgiunti e ricoprono X).

Considerando equivalenti gli elementi appartenenti ad uno stesso membro della partizione, una Partizione di un insieme induce su di esso una relazione di equivalenza e viceversa.

·        Chiusura : in generale la chiusura di un oggetto X è il più piccolo oggetto che include {X} (come sottoinsieme) e che possiede una proprietà assegnata. La chiusura di un insieme X è l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X: P(X) = {A | A X}.

                                                                                                   2    Relazioni

[e-school: Algebra - Insiemi].                                                                                                                         

La nozione di Relazione è di importanza fondamentale, in quanto su di essa si basano le nozioni di Applicazione e di Operazione, con le quali vengono poi definite le principali strutture Algebriche.

La nozione di relazione è una generalizzazione del concetto alla base di idee come: uguale a, maggiore di, congruente con, è un elemento di, è un sottoinsieme di, … In particolare, dati due insiemi X ed Y, definire una relazione fra di essi equivale a fissare un criterio che, fissato un generico elemento xX, risulterà soddisfatto solo per alcuni elementi yY.

Una relazione consente quindi di identificare le coppie ordinate (x, y) che soddisfano il criterio in questione. L’insieme di queste coppie ordinate è ovviamente un sottoinsieme del prodotto cartesiano XxY.

Prescindendo dall’aspetto semantico (ossia dal significato del particolare criterio assunto), è quindi possibile identificare una relazione fra due insiemi con un particolare sottoinsieme del loro prodotto cartesiano (cfr. Figura 2‑1)

Figura 21 - Relazione

2.1Definizioni

Una Relazione Binaria (o, più semplicemente, una Relazione) fra (o sopra) due insiemi X ed Y è una terna ordinata R = (X, Y, G(R)) dove G(R), detto Grafico della relazione R, è un sottoinsieme del prodotto cartesiano: G(R) X x Y.

Se (x,y) G(R), diciamo che x e y sono in relazione R, e scriviamo xRy, oppure R(x,y). Talvolta si tende ad identificare una relazione con il suo grafico.

A titolo di esempio consideriamo la relazione “minore del doppio” fra due numeri reali; essa può essere rappresentata dal simbolo “< 2”, per cui il grafico della relazione y < 2x è costituito dall’insieme dei punti del piano che giacciono al di sotto della retta di equazione y = 2x.

Dalla definizione posta risulta che:

·        non necessariamente tutti gli elementi di X devono essere correlati a qualche elemento di Y e viceversa. Il sottoinsieme di X costituito dalle x che sono correlate con qualche y è detto Dominio della relazione, mentre il sottoinsieme di Y costituito dalle y che sono correlate con qualche x è detto Codominio della relazione.

·        un elemento di X può essere correlato a più elementi di Y e viceversa (in generale una relazione binaria è, come si suol dire, “n-ad-m”).

La nozione di Relazione Binaria può essere ovviamente generalizzata ad un numero (finito) qualsiasi di insiemi: una Relazione N-aria fra gli insiemi X1, X2, … , Xn è una (N+1)pla ordinata R = (X1, X2, … , XN, G(R)) , dove G(R), detto grafico della relazione R, è un sottoinsieme del prodotto cartesiano X1 x X2 xx XN .

Data una relazione R fra X ed Y, è sempre possibile invertire i ruoli dei due insiemi X ed Y, ottenendo così una relazione R-1 (detta Relazione Inversa) definita come segue: xRy yR-1x (ovvero: x è in relazione R con y se e solo se y è in relazione R-1 con x).

2.2Relazioni Fra Due Insiemi

Detta R una relazione fra gli insiemi X ed Y:

·        Se ogni x è correlato con qualche y ( xX  yY   t.c.: xRy ), la relazione è detta Totale.

Il Dominio della Relazione coincide con l’insieme X (cfr. Figura 22).

NB: Questa definizione è differente dall’analoga definizione relativa alle Relazioni Totali su un insieme.

·        Se ogni y è correlato con qualche x ( yY  xX   t.c.: xRy ), la relazione è detta Suriettiva.

Il Codominio della Relazione coincide con l’insieme Y(cfr. Figura 22).

Figura 22 - Relazioni Totali Fra Insiemi - Relazioni Suriettive

·        Se nessun x è correlato con più y, ovvero se [ xX ; y1,y2Y]  xRy1 xRy2    y1=y2 , la relazione è detta Funzionale[7].

Le rette verticali contengono al massimo un elemento di Y (cfr. Figura 23).

·        Se nessun y è correlato con più x, ovvero se [ x1,x2X ; yY ]  x1Ry x2Ry    x1=x2,  la relazione è detta Iniettiva (o uno-ad-uno).

Le rette orizzontali contengono al massimo un elemento di X (cfr. Figura 23).

Figura 23 - Relazioni Funzionali - Relazioni Iniettive

2.3Relazioni Su un Insieme

Una relazione fra un insieme X e se stesso è detta sull’insieme X.                                                

Le relazioni su un insieme non vanno confuse con le relazioni suriettive.

Detta R una relazione su un insieme X:

·        Se ogni elemento è correlato a se stesso (oltre che, eventualmente, ad altri elementi) [ xX] : xRx, la relazione è detta Riflessiva (ad es. le relazioni di uguaglianza, inclusione di insiemi, minore o uguale, divisibilità).

La relazione contiene tutti i punti lungo la diagonale principale (cfr. Figura 24).

·        Se nessun elemento è correlato a se stesso (ovvero se ogni elemento è correlato solo ad elementi diversi da se stesso) [ xX] : ¬(xRx) , la relazione è detta Antiriflessiva, o Non-Riflessiva (ad es. la relazione strettamente minore).

La relazione non contiene nessun punto sulla diagonale principale (cfr. Figura 24).

NB: Una relazione può essere Riflessiva, Antiriflessiva, oppure nessuna delle due (se contiene solo qualche elemento, ma non tutti, lungo la diagonale principale).

Figura 24 - Relazioni Riflessive - Relazioni Antiriflessive

·        Se non esiste nessuna coppia di elementi non correlati [ x1,x2X] : x1Rx2 x2Rx1 , la relazione è detta Totale (ad es. la relazione di minore o uguale).

Per ogni coppia di punti simmetrici, la relazione ne contiene almeno uno. Una relazione totale su un insieme è necessariamente riflessiva.

NB: Questa definizione è differente dall’analoga definizione relativa alle Relazioni Totali fra due insiemi.

·        Se è sempre possibile scambiare i ruoli di due elementi [ x1,x2X] : x1Rx2 x2Rx1, la relazione è detta Simmetrica (ad es. la relazione di consanguineità).

La presenza di un punto implica la presenza del punto simmetrico rispetto alla diagonale principale (cfr. Figura 25). La diagonale principale può contenere o meno degli elementi; una relazione simmetrica può essere anche riflessiva oppure antiriflessiva.

NB: Il contrario di Simmetria è Asimmetria, e non Antisimmetria.

Sono ammesse tutte le possibili combinazioni: esistono cioè relazioni che sono:

-  contemporaneamente simmetriche ed antisimmetriche (ad esempio l’uguaglianza): in questo caso la relazione può contenere solo punti situati sulla diagonale principale;

-  né simmetriche né antisimmetriche (ad esempio la divisibilità);

-  simmetriche e non antisimmetriche (ad esempio la congruenza);

-  antisimmetriche e non simmetriche (ad esempio minore o uguale).

Una relazione simmetrica, antisimmetrica e riflessiva contiene tutti i punti situati sulla diagonale principale, e nessun altro punto.

·        Se non è mai possibile scambiare i ruoli di due elementi [ x1,x2 X]: x1Rx2 ⇒ ¬(x2Rx1), la relazione è detta Asimmetrica .

La presenza di un punto implica l’assenza del punto simmetrico rispetto alla diagonale principale (cfr. Figura 25). La diagonale principale non può contenere nessun elemento.

NB: Una relazione asimmetrica è una relazione antiriflessiva e antisimmetrica.

Figura 25 – Relazioni Simmetriche – Relazioni Asimmetriche

·        Se [ x1,x2 X]: x1Rx2 x2Rx1 x1=x2, la relazione è detta Antisimmetrica (ad es. la relazione di minore o uguale).

Una relazione antisimmetrica non può contenere coppie di punti simmetrici distinti, mentre può contenere punti simmetrici coincidenti (situati cioè lungo la diagonale principale) (cfr.Figura 26).

Una relazione antisimmetrica e riflessiva contiene tutti gli elementi lungo la diagonale principale, e non contiene altre coppie di punti simmetrici.

Una relazione antisimmetrica, riflessiva e transitiva è un ordinamento parziale.

Figura 26 - Relazioni Antisimmetriche

·        Se [ x1,x2,x3 X]: x1Rx2 x2Rx3 x1Rx3, la relazione è detta Transitiva (ad es. la relazione di discendenza).

·        Se, tutte le coppie (non ordinate) di elementi sono sempre correlate (ovvero se [ x1, x2 X] : x1Rx2 x2Rx1, la relazione è detta Dicotomica.

·        Se inoltre la condizione x1Rx2 x2Rx1 non può essere soddisfatta da elementi differenti (ovvero se [ x1, x2 X] : x1Rx2 x2Rx1  x1=x2, la relazione è detta Tricotomica.

2.4Relazioni di Equivalenza

[e-school: Insiemi 05 – Classi di equivalenza].

Una relazione ~ su un insieme X è detta Relazione di Equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.

Le relazioni di equivalenza vengono spesso utilizzate per raggruppare insieme degli oggetti in base a qualche loro caratteristica, e che quindi, relativamente agli aspetti connessi a questa caratteristica, possono essere considerati equivalenti.

Una relazione di equivalenza su un insieme X che sia anche antisimmetrica[8] è una Uguaglianza, ed è l’unica relazione su X con queste caratteristiche.

Ogni relazione di equivalenza su X definisce una partizione di X in sottoinsiemi denominati Classi di Equivalenza: Classe(x0) := {xX : x~x0}.

Tutti gli elementi di X equivalenti l’uno all’altro appartengono alla stessa classe di equivalenza. Viceversa se X può essere partizionato in sottoinsiemi, è possibile definire una relazione di equivalenza ~ su X: a ~ b se e solo se appartengono allo stesso sottoinsieme.

L’insieme di tutte le classi di equivalenza di una relazione ~ su X è detto Insieme Quoziente di X rispetto a ~, ed è indicato con X/~.

Le relazioni di equivalenza sono spesso utilizzate per generare nuovi spazi “incollando gli oggetti insieme”. Ad esempio:

Partendo da:

e incollando:

si ottiene:

Relazione

Segmento

X = [0, 1]

gli estremi del segmento

Cerchio

x1 ~ x2  x1=0 x2=1

(sinteticamente: 0 ~ 1)

Quadrato

XxY = [0, 1] x [0, 1]

lato destro - lato sinistro
senza inversione

Cilindro

(asse verticale)

(0, y) ~ (1, y)

Cilindro

(asse verticale)

cerchio superiore   - cerchio inferiore

(ex lato superiore – ex lato inferiore)

Toro

(ciambella verticale)

(0, y) ~ (1, y)

(x, 0) ~ (x, 1)

Quadrato

lato destro - lato sinistro
con inversione

Nastro di Moebius

(0, y) ~ (1, 1–y)

Nastro di Moebius

le due metà della curva chiusa di bordo
(ex lato alto – ex lato basso)
 senza inversione

Bottiglia di Klein

(0, y) ~ (1, 1–y)

(x, 0) ~ (x, 1)

Nastro di Moebius

le due metà della curva chiusa di bordo
(ex lato alto – ex lato basso)
 con inversione

Piano Proiettivo

(0, y) ~ (1, 1–y)

(x, 0) ~ (1–x, 1)

Una qualsiasi funzione f: X→Y definisce la seguente relazione di equivalenza: x1 ~ x2 se e solo se f(x1) = f(x2). La classe di equivalenza di x è l’insieme degli elementi di X con la stessa immagine (ovvero essa è la preimmagine di f(x)). Questa relazione di equivalenza è detta anche Kernel di f.

Se la funzione f è iniettiva, le sue classi di equivalenza sono dei singleton.

2.5Relazioni di Ordinamento

[e-school: Insiemi: 06 – Relazioni d’Ordine].

L’aspetto fondamentale catturato dalla nozione di ordinamento è quello di poter confrontare coppie di elementi di un insieme e di stabilire quale di essi viene prima e quale viene dopo rispetto ad un criterio prestabilito.

Intuitivamente possiamo dire che alla base della nozione di ordinamento vi è la possibilità di disporre gli elementi di un insieme in una sequenza “ordinata” (nell’accezione comune del termine, tale cioè che ogni oggetto abbia un suo posto ben preciso).

L’ordinamento più semplice è quello lineare dove gli oggetti sono disposti lungo un’unica fila, all’interno della quale ogni oggetto viene dopo tutti quelli che lo precedono e viene prima di tutti quelli che lo seguono.

L’ordinamento può però anche essere più articolato: ad esempio gli oggetti possono essere disposti su più file separate che eventualmente, ad un certo punto confluire – in una sorta di Y – in un’unica fila (o anche grafi più complessi). In questo caso ha senso confrontare la posizione di un oggetto solo limitatamente agli oggetti appartenenti al suo stesso ramo del grafo. Un esempio di questo tipo di ordinamento (parziale) è dato da un insieme di persone, nel quale sia stata definita una relazione di discendenza.

Nel caso in cui l’insieme abbia natura numerica, poiché nel concetto di numero è insito quello di quantità, esiste la possibilità di confrontare due numeri e di stabilire se essi rappresentino la stessa quantità oppure quale di essi rappresenti una quantità più grande. In questo caso il criterio naturale di ordinamento è quello di maggiore oppure di minore (o amche di maggiore o uguale oppure di minore o uguale). Ciò evidenzia il fatto che su uno stesso insieme possono essere stabiliti più criteri di ordinamento.

La nozione di ordinamento generalizza questa possibilità ad insiemi arbitrari, prescindendo quindi dagli aspetti quantitativi strettamente legati agli insiemi numerici (basti pensare, ad esempio, all’ordinamento lessicografico delle parole di un dizionario).

Cercando di catturare, dagli esempi sopra riportati, gli aspetti salienti del concetto di ordinamento, notiamo che:

a)    Un ordinamento consente di confrontare alcune (non necessariamente tutte) coppie di elementi di un insieme e di stabilire quale di essi viene prima e quale viene dopo; un ordinamento è cioè un particolare tipo di relazione su un insieme.

b)   Poiché il dominio di una relazione su un insieme X è, per definizione, un sottoinsieme del prodotto cartesiano XxX, ne consegue che le coppie ordinate che non appartengono al dominio non sono comparabili;

c)    se un elemento x precede un altro elemento y, allora esso precede anche tutti gli elementi che vengono dopo y: una relazione di ordinamento è cioè transitiva.

d)   due elementi distinti non possono precedersi a vicenda; viceversa: se due elementi si precedono a vicenda, allora essi devono necessariamente coincidere; una relazione di ordinamento è cioè antisimmetrica.

e)    per quanto riguarda la relazione fra un generico elemento e se stesso, esistono due possibilità:

-  ogni elemento precede se stesso (ovvero ogni elemento, posto in relazione con se stesso, soddisfa la relazione di ordinamento), come ad esempio nel caso di un ordinamento per “minore o uguale” (≤);

-  nessun elemento precede se stesso (nel senso sopra specificato), come ad esempio per un ordinamento per “strettamente minore” (<).

NB: non è contemplata la possibilità che alcuni elementi precedano se stessi e altri no.

In generale non si richiede che tutti gli elementi di un insieme siano mutuamente comparabili (ordinamento parziale); se tuttavia questa condizione risulta soddisfatta, allora l’ordinamento è detto totale.

Un Ordinamento Parziale Debole (la maggior parte delle volte detto semplicemente Ordinamento Parziale) su un insieme X è una relazione binaria su X riflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Pertanto, indicando con ≤ tale relazione, si ha che [ x1,x2,x3 X] risultano soddisfatte le seguenti proprietà:

·   x1≤x1                                                                                                      (riflessività)

·   x1≤x2 x2≤x1      x1=x2                                    (antisimmetria)

·   x1≤x2 x2≤x3     x1≤x3                                                      (transitività)

Il prototipo della relazione di ordinamento parziale debole è dato dalla relazione di inclusione ( ) fra i sottoinsiemi di un insieme. E’ evidente che in generale, dati due sottoinsiemi qualsiasi, possono esistere sia elementi del primo che non sono contenuti nel secondo che viceversa; in questo caso nessuno dei due sottoinsiemi contiene l’altro, e pertanto essi non sono comparabili utilizzando la relazione di inclusione (ma potrebbero essere comparabili  utilizzando un altro criterio, ad esempio la loro cardinalità).

Un altro esempio di ordinamento parziale debole è dato dalla relazione di divisibilità fra due numeri interi (chiaramente la relazione non è totale, ma è riflessiva, antisimmetrica e transitiva).

Un ordinamento debole è una relazione tricotomica.

Nel caso di insiemi finiti, la struttura geometrica definita da una relazione di ordinamento parziale debole può essere rappresentata da un grafo; tuttavia tale rappresentazione non è univoca: infatti, anche utilizzando la proprietà transitiva per eliminare le ridondanze, una stessa relazione può essere rappresentata da più grafi differenti, ciascuno dei quali rispecchia differenti aspetti della struttura matematica sottostante.

Un Ordinamento Parziale Stretto su un insieme X è una relazione binaria su X antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva.

Pertanto, indicando con < tale relazione, si ha che [ x1,x2,x3 X] risultano soddisfatte le seguenti proprietà:

·   ¬(x1<x1)                                                                                             (antiriflessività)

·   x1≤x2 x2≤x1      x1=x2                                    (antisimmetria)

·   x1≤x2 x2≤x3     x1≤x3                                                      (transitività)

Il prototipo della relazione di ordinamento parziale stretto è dato dalla relazione strettamente minore o di inclusione propria ( ) fra i sottoinsiemi di un insieme.  

Un ordinamento stretto è una relazione dicotomica;

Qualora una relazione di ordinamento parziale debole[9] sia anche totale (ovvero se essa è definita per tutte le coppie ordinate degli elementi di un insieme: [x1,x2 X] : x1Rx2 x2Rx1 ([10])), essa è detta Ordinamento Totale (o Ordinamento Lineare).

.

Un insieme con una relazione di ordinamento toale è detto totalmente ordinato (oppure linearmente ordinato o catena). La proprietà di totalità garantisce che ogni elemento dell’insieme è mutuamente comparabile con tutti gli altri elementi.

Il prototipo della relazione di ordinamento totale è dato dalla relazione minore o uguale (≤) fra numeri.

Se l’insieme è finito una relazione di ordinamento totale consente di disporre i suoi elementi in una sequenza lineare t.c. ai ≤ ai+1.

Un insieme totalmente ordinato è anche parzialmente ordinato.

Nell’ambito degli insiemi infiniti particolare rilevanza assumono quegli insiemi (come ad es. i numeri razionali o i numeri reali) nei quali, pur essendo stabilito un ordinamento, non è possibile definire il “successore immediato” di un generico elemento, in quanto, per ogni coppia di elementi ne esiste uno intermedio.

Un insieme parzialmente ordinato X è detto denso se se [x1,x3 X t.c. x1<x3]   x2X t.c.: x1<x2<x3.

                                                                                              3    Applicazioni

[e-school: Algebra - Insiemi].

3.1Definizioni

Definizioni Base

·        Un’Applicazione (detta anche Mapping o Funzione)  da un insieme X ad un insieme Y è una relazione binaria totale e funzionale fra X ed Y, e viene indicata con f : X→Y .

Una funzione è essenzialmente una regola che assegna ad ogni x (input) un unico y (output). Infatti la prima condizione (relazione totale) esprime il fatto che non esistono input a cui non corrisponde nessun output, mentre la seconda condizione (relazione funzionale) esclude che ad uno stesso input possano corrispondere più output differenti.

I termini funzione e mapping, ancorché sinonimi, hanno connotazioni leggermente differenti: più matematico il primo (in questo caso il Dominio ed il Codominio sono, in genere, insiemi di numeri), più geometrico il secondo (in genere si parla di mapping da uno spazio ad un altro). Si tratta comunque di sfumature e la distinzione fra i vari termini non è esattamente delineata.

·        L’insieme X di tutti i valori di input è detto Dominio (di definizione) dell’applicazione.

Ad esempio, nel campo dei numeri reali x, il dominio della funzione y = √x è l’insieme dei reali non negativi, e non l’insieme di tutti i numeri reali (in quanto la funzione non è definita per x<0).

·        L’insieme Y dei possibili valori di output è detto Codominio dell’applicazione, mentre l’insieme degli effettivi valori di output è detto Range dell’applicazione[11].

Ulteriori Definizioni

·        Detto x un elemento di X, il corrispondente elemento di Y viene indicato con y=f(x) ed è detto Immagine (o valore) di x.

La stessa notazione può essere utilizzata anche con i sottoinsiemi: ad esempio se AX, f(A) := {yY: y = f(a) , per qualche aA}. Pertanto Range(f) = f(X) Y

·        Per definizione l’immagine y di un elemento x è unica, ma più elementi di X possono avere la stessa immagine y. Il sottoinsieme di X costituito da tali elementi è detto Preimmagine (o immagine inversa) di y, e viene indicato con f -1(y).

Quindi: f -1(y) := {xX: f(x) = y} X, e per un sottoinsieme AX, f -1(A) : { xX: f(x)A} X.

Ad esempio, data l’applicazione f: definita da: f(x) = x2, la preimmagine dell’insieme {4, 9 } è il sottoinsieme del dominio: { –3, –2, 2, 3 }.

La preimmagine di un sottoinsieme non va confusa con l’applicazione inversa, snche se viene utilizzato lo stesso simbolo per entrambe. In generale, data un’applicazione f: X→Y, la preimmagine è un’applicazione f -1 dall’insieme potenza di Y all’insieme potenza di X, ed è sempre definita, mentre la funzione inversa è un’applicazione da Y a X, ed è definita solo se f è biiettiva.

Se f è iniettiva ogni elemento di X ha un’unica immagine, e quindi la preimmegine di ogni elemento di Y è un singleton (eventualmente costituito dall’insieme vuoto se f non è suriettiva).

Se f è biiettiva ogni elemento di Y ha un’unica preimmagine, diversa dall’insieme vuoto, e l’immagine di un qualsiasi sottoinsieme AX di X è il sottoinsieme di AY di Y costituito dalle immagini dei singoli elementi di AX. In questo caso la preimmagine è sostanzialmente equivalente alla funzione inversa.

·        La preimmagine di un singleton f -1({y}) è detta Fibra.

Alternativamente, data un’applicazione f: X→Y, la preimmagine di un elemento y0 del suo codominio è detta fibra di y0: Fibra(y0) := f -1(a) = {xX: f(x) = y0}.

Ad esempio, data l’applicazione f: 2definita da f(x, y) = x2 + y2, le fibre f -1({R}) sono cerchi concentrici intorno all’origine, l’origine oppure l’insieme vuoto, a seconda che risulti R > 0, R = 0 oppure R < 0.

·        Nel caso di funzioni reali di variabili reali (ovvero di applicazioni f: N)  invece di Fibra, si preferisce parlare di Insieme di Livello..

Essendo N isomorfo allo spazio affine reale AN, un Insieme di Livello può essere considerato il luogo dei punti di AN nei quali il il campo scalare f assume un valore costante k: {PAN : f(P) = k}, ossia all’ipersuperficie

 di equazione implicita f(P) = k.

Ovviamente per N=2 gli insiemi di livello sono delle curve, e per N=3 delle normali superfici.

Composizione Funzionale

Se il codominio di un’applicazione f: X→Y coincide con il dominio di un’altra applicazione g: Y→Z, è possibile far operare in cascata le due applicazioni, ottenendo così un’applicazione h: X→Z definita da: h(z) = g(f(x). L’applicazione h viene detta Composizione Funzionale di f e di g  (o anche Applicazione Composta), e viene indicata con f g.

Detti FXY , FYZ e FXZ gli insiemi di tutte le applicazioni rispettivamente X→Y, Y→Z e X→Z, la composizione funzionale è in effetti un’applicazione FXY x FYZ → FXZ.

Se le applicazioni f e g sono entrambe suriettive, allora anche f g è suriettiva. Analogamente nel caso in cui le applicazioni siano entrambe iniettive o entrambe biiettive.

3.2Operazioni Binarie

Le Operazioni Binarie sono le pietre miliari delle Strutture Algebriche, le quali sono appunto caratterizzate dalle proprietà che vengono imposte assiomaticamente a tali operazioni.

Definizione

Detti X il Codominio di un’applicazione f e A un insieme arbitrario:

·        se il Dominio di f coincide con il Prodotto Cartesiano XxX, allora l’applicazione f : XxX → X è detta Operazione Binaria Interna (o più semplicemente Operazione Binaria, o anche Operazione) sull’insieme X;

·        se invece il Dominio è costituito dal Prodotto Cartesiano AxX (oppure XxA), allora l’applicazione f : AxX → X ( oppure f : XxA → X) è detta Operazione Binaria Esterna (rispettivamente a sinistra o a destra).

Le Operazioni Binarie sono per definizione chiuse: infatti, x,y X si ha che: f(x, y) X, e vengono spesso indicate con un opportuno simbolo interposto fra i due operandi (es. x+y), ed il valore della funzione viene detto risultato.

La definizione può essere facilmente generalizzata ad un numero arbitrario di operandi: ad esempio un’operazione ternaria interna è un’applicazione f: XxXxX → X.

Particolari Tipi di Operazioni

Un’Operazione Binaria su un insieme A è detta:

·        associativa  se il risultato di una serie di operazioni non dipende da come vengono raggruppati gli operandi: [ x,y,z X ] :              x(yz) = (xy)z ;

·        commutativa   se invertendo l’ordine degli operandi il risultato non cambia: [ x,y X ] : xy = yx .

Elemento Neutro – Inverso

Un’Operazione Binaria su un insieme A è detta essere dotata di Elemento Neutro Destro se [ 1DA  t.c.  xA ] : 1Dx = x (analogamente per l’Elemento Neutro Sinistro). Ovviamente se l’operazione è commutativa l’elemento neutro è unico[12]

Detto xX, il suo Inverso Destro, se esiste, è un elemento yxX t.c. [ xA ] : xyx = 1D (analogamente per l’Inverso Sinistro). Ovviamente se l’operazione è commutativa l’inverso di un elemento, se esiste, è unico[13].

3.3Classificazione delle Applicazioni

Detta f un’applicazione X→Y:

·        Se ogni y è l’immagine di qualche elemento di X, ovvero se [ yY]    xX t.c.: y=f(x), l’applicazione è detta Suriettiva.

In altre parole: le applicazioni suriettive sono quelle per cui il Range coincide con il Codominio, ovvero: l’insieme Y – Range(f) è vuoto.

Ad esempio l’applicazione f: →Y definita da:  f(n) = n2 è suriettiva se Y = (l’insieme dei numeri naturali, ovvero gli interi non negativi), ma non lo è più se Y = (l’insieme dei numeri interi)

Questa proprietà dipende, oltre che dall’applicazione, anche da come viene definito il suo codominio.

A partire da un’applicazione qualsiasi f è possibile ridefinire il suo Codominio eliminando gli elementi privi di immagine inversa, definendo così una nuova applicazione f ‘ che risulterà suriettiva.

·        Se ogni y è l’immagine di un unico x, ovvero se f manda argomenti diversi in valori diversi  [ x1,x2 X]   f(x1)=f(x2)    x1=x2 , l’applicazione è detta Iniettiva (o uno-a-uno).

Ad esempio l’applicazione f:   definita da f(n) = 2n è iniettiva, mentre l’applicazione f(n) = Int (n/2) ([14]) non lo è.

Questa proprietà dipende solo dall’applicazione, ma non da come viene definito il suo Codominio.

Le applicazioni iniettive stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di X e le corrispondenti immagini. Tuttavia le y che non appartengono al Range di f (nel secondo esempio i numeri dispari) non hanno un’immagine inversa (o, equivalentemente, la loro preimmagine è l’insieme vuoto).

·        Se ad ogni x corrisponde un solo y, e viceversa (ovvero se f è suriettiva e iniettiva), l’applicazione è detta Biiettiva (o biunivoca).

Le applicazioni biiettive stabiliscono una corrispondenza biunivoca fra gli elementi di X e quelli di Y. Esse sono, come vedremo, invertibili.

3.4Particolari tipi di Applicazioni

Applicazioni Su un Insieme - Trasformazioni

·        Se un’applicazione f: X→X manda un elemento dell’insieme X in un altro elemento sempre dell’insieme X (ovvero se il Codominio coincide con il Dominio), allora si dice che essa è un’applicazione sull’insieme X.

Non bisogna confondere le applicazioni su un insieme con quelle suriettive.

·        Un’applicazione biiettiva su un insieme X viene talvolta detta Trasformazione[15] dell’insieme X.

Le trasformazioni stabiliscono quindi una corrispondenza biunivoca tra un insieme e se stesso.

La composizione funzionale di due trasformazioni su un insieme X è anch’essa una trasformazione sull’insieme X. In questo caso la composizione funzionale costituisce un’operazione sull’insieme delle trasformazioni di X. Si verifica immediatamente che tale operazione è associativa.

L’insieme delle trasformazioni di un insieme X, dotato dell’operazione di composizione funzionale, ha struttura di Gruppo, e vine detto Gruppo delle Trasformazioni di X.

Applicazione Identica – Applicazione Inversa

·        Un’applicazione f su un insieme X che ad ogni elemento di X fa corrispondere l’elemento stesso (tale cioè che [ xX ] :  f(x) = x) è detta Applicazione Identica e viene normalmente indicata con 1X.

·        Abbiamo visto che un’applicazione f: X→Y è una relazione totale e funzionale fra X e Y. Nel caso particolare in cui l’applicazione sia biiettiva, anche la Relazione Inversa è totale e funzionale, e quindi è un’applicazione Y→X. Questa applicazione è detta Applicazione Inversa, viene indicata con f -1, è anch’essa biiettiva, ed è tale che [ xX ] : f -1(f(x)) = x e [ yY ] : f(f -1(y)) = y.

In termini di composizione funzionale abbiamo che: f -1 f = 1X e f f -1 = 1Y.

3.5Operatori

Il termine Operatore è sostanzialmente un sinonimo di applicazione fra Spazi Vettoriali: un Operatore prende un vettore e ne restituisce un altro (non necessariamente appartenente allo stesso Spazio Vettoriale).

Alcuni esempi di Operatori sono:

·   le traslazioni, le omotetie e le inversioni nell’ambito di uno Spazio Affine;

·   le rotazioni e le proiezioni nell’ambito di uno Spazio Euclideo;

·   il prodotto scalare nell’ambito di uno Spazio Vettoriale con prodotto interno;

·   il prodotto vettoriale nell’ambito di uno Spazio Vettoriale Euclideo tridimensionale;

·   il gradiente, la divergenza e il rotore nell’ambito dell’insieme dei campi scalari o vettoriali;

·   le forme lineari e i tensori doppi nell’ambito di uno Spazio Vettoriale e del suo Duale;

·   la derivazione e l’integrazione nell’ambito degli spazi di funzioni;

·   le trasformazione di Fourier o di Laplace nell’ambito degli spazi di funzioni.

Gli Operatori possono essere classificati come unari, binari, ternari, … , in base al numero dei loro argomenti (detti appunto Operandi).

In Fisica il termine Operatore assume un significato più circoscritto: in Meccanica Quantistica gli operatori sono delle trasformazioni lineari da uno Spazio di Hilbert ad un altro (o, più astrattamente, sono degli elementi di una C*-Algebra) e corrispondono alle Osservabili.

Un caso particolarmente importante sono gli Operatori Lineari, ai quali, se gli Spazi Vettoriali hanno dimensioni finite, corrispondono le Matrici.

3.6Isomorfismi

·        Un Omomorfismo è un’applicazione da una struttura algebrica ad un’altra dello stesso tipo (o compatibile) che preserva la relativa struttura.

Ad esempio: siano (X, *) e (Y, @) due magma, un’applicazione f: X → Y è un omomorfismo se, x1, x2 X, si ha che: f(x1*x2) = f(x1) @ f(x2).

Ogni struttura ha il suo tipo di omomorfismo.

·        Un Endomorfismo è un omomorfismo da un insieme su se stesso.

Dato un oggetto X, la composizione funzionale di due suoi endomorfismi è ancora un suo endomorfismo, e poiché l’applicazione identità è un endomorfismo, ne consegue che l’insieme di tutti gli endomorfismi di questo oggetto (End(X)) ha la struttura di un monoide.

·        Un Isomorfismo è un omomorfismo biiettivo (ovvero un’applicazione biiettiva f tale che sia f che f -1 sono degli omomorfismi).

Si verifica immediatamente che la relazione di isomorfismo una relazione di equivalenza    .

Stabilire un isomorfismo fra due strutture differenti significa che, per determinati aspetti, le due strutture si comportano nello stesso modo, e quindi possono essere considerare equivalenti; in pratica si è raggiunto un livello di astrazione tale da poter prescindere dalle differenze inessenziali. Gli oggetti isomorfi sono completamente indistinguibili per quanto riguarda la struttura in questione.

·        Un Automorfismo è un isomorfismo da un insieme su se stesso, ovvero è un endomorfismo che è anche un isomorfismo.

L’insieme di tutti gli automorfismi di un oggetto X (Indicato con Aut(X)) forma un gruppo sotto l’operazione di composizione funzionale.

3.7Successioni, Serie, Limiti

e-school:   Analisi I – Successioni e serie reali

Successioni

Dato un insieme arbitrario A, una Successione Finita è un’applicazione M→ A, dove M = {1, 2, … , m}; una Successione Infinita è un’applicazione → A.

In entrambi i casi la successione viene indicata con (a1, a2, …), oppure con (an).

NB: Poiché per l’applicazione in oggetto non è richiesto il vincolo della iniettività, uno stesso elemento di A può comparire più volte all’interno di una successione; pertanto una successione non è un insieme.

        L’insieme delle successioni infinite a elementi in , dotato delle ovvie operazioni di somma di due successioni e moltiplicazione di una successione per un numero complesso, ha struttura di Spazio Vettoriale: lo Spazio delle Successioni.

Se l’insieme A è ordinato[16], è possibile definire la nozione di Successione Monotona : crescente se an≤an+1, strettamente crescente se an<an+1, e analogamente per quelle decrescenti.

Se l’insieme A è uno Spazio Metrico, è possibile definire la nozione di Successione di Cauchy: una successione di Cauchy è una successione i cui termini tendono ad avvicinarsi: eliminando un numero finito di termini dall’inizio della successione, è quindi possibile rendere piccola a piacere la distanza fra una qualsiasi coppia dei termini rimanenti: r∊ℝ+  N∊ℕ t.c.: n,m>N  d(an, am) < ε.

Le successioni di Cauchy sono alla base dell’importante nozione di completezza.

Se l’insieme A è uno Spazio Topologico, per le successioni infinite è possibile definire le nozioni di convergenza e di limite.

La somma dei termini di una successione è detta Serie:

 

                                                                                     4    Sistemi di Numeri

Un Sistema di Numeri può essere definito informalmente come un insieme di numeri (o di oggetti numerici) dotato di una o più operazioni aritmetiche.

Esempi di Sistemi di Numeri sono: i Numeri Naturali, i Numeri Razionali, i Numeri Algebrici, i Numeri Reali, i Numeri Complessi, ma anche i Quaternioni, i Numeri Surreali, i Numeri Iperreali.

La definizione è piuttosto vaga

 

4.1Numeri Naturali

I Numeri Naturali (il cui insieme viene indicato con ) sono alla base dell’Aritmetica, …

Sono stati assiomatizzati da G. Peano…

Gli Assiomi di Peano

4.2Numeri Interi

Numeri Interi

4.3Numeri Razionali

Numeri Razionali

4.4Numeri Reali

Numeri Reali

Le Potenze dei Numeri Reali

In vista di future generalizzazioni (Potenze di numeri complessi e funzione esponenziale (reale e complessa)) conviene esaminare in dettaglio l’operazione di elevamento a potenza di un numero reale e le sue proprietà elementari.

Dato un numero reale x≥0 ed un numero intero n l’operazione di elevamento a potenza con esponente intero viene definita come segue:

( 4a)                           .

Si tratta di una moltiplicazione ripetuta n nolte, e pertanto gode della proprietà:

( 4b)                           xn+m = xn xm ;

( 4c)                           (xn)m = x(nm) ;

La definizione x0 = 1 si rende necessaria per coerenza, infatti, per m = -n, abbiamo che: .

La definizione può essere espressa sinteticamente in maniera ricorsiva:

( 4d)                           x0 = 1; xn = x xn-1

 (da cui ovviamente xn-1 = (1/x) xn).

Si vede così che la serie {xn} cresce o decresce in progressione geometrica a seconda che risulti x > 1 oppure x < 1. Un caso particolare sia ha per x = 1, in quanto xn = 1 n: in questo caso gli elementi della serie giacciono tutti equidistanziati sulla retta parallela all’asse x e a distanza unitaria da esso.

La definizione di potenza può essere applicata anche al caso x < 0; in questo caso però la serie è oscillante: i termini con esponente pari saranno positivi, mentre quelli con esponente dispari saranno negativi.

La ( 4c) ci consente (nel caso x>0) di estendere la definizione ad esponenti frazionari: detto p = n/m (m≠0), abbiamo che: , ma poiché: , risulta ovviamente .

L’aver definito le potenze con esponente frazionario ci consentirà, con un opportuno passaggio al limite, di definire la funzione esponenziale.

4.5Numeri Complessi

I Numeri Immaginari

I numeri immaginari sono stati introdotti per risolvere le radici quadrate dei numeri reali negativi:  (con x≥0) che ovviamente non esistono nel campo dei numeri reali.

Un primo aspetto interessante è che, poiché , la radice quadrata di un numero negativo può essere espressa come: , è quindi sufficiente introdurre un unico numero  (ovvero i2 = 1) (detto Unità Immaginaria) per far sì che la radice quadrata di un qualsiasi numero negativo possa essere espressa come il prodotto di questo numero i per un numero reale: . I numeri di questo tipo sono detti Numeri Immaginari.

Se poi passiamo alle equazioni algebriche di secondo grado: ax2 + bx + c = 0, poiché la loro formula risolutiva ( , con ∆ = b2 – 4ac) contiene la radice quadrata di un numero reale che, se b2 < 4ac, risulta negativo, vediamo che l’utilizzo del numero i consente di far sì che queste equazioni, nel caso in questione, ammettano una soluzione del tipo x = α ± iβ (con α,β ).

I Numeri Complessi

Ciò porta a considerare le espressioni del tipo a + ib (con a,b ) come un nuovo tipo di numero, detto Numero Complesso, costituito da una Parte Reale (a) e da una Parte Immaginaria (ib).

Ovviamente se la parte immaginaria è nulla, il numero risulterà reale, e quindi i numeri reali sono un sottoinsieme dei numeri complessi.

La parte reale e la parte immaginaria di un numero complesso z vengono indicate rispettivamente con Re(z) e Im(z)[17]. L’insieme dei numeri complessi viene indicato con ℂ.

Gerarchia dei Sistemi di Numeri

Se poi passiamo alle equazioni algebriche di terzo grado, vediamo che anche in questo caso la formula risolutiva contiene una radice quadrata di un numero reale potenzialmente negativo, e quindi anche ora l’utilizzo dell’unità immaginaria fa sì che queste equazioni ammettano sempre soluzioni nel campo complesso.

Il risultato è però valido in generale (e costituisce il Teorema Fondamentale dell’Algebra): un’equazione algebrica (a coefficienti sia reali che complessi) di grado N, ammette sempre N radici nel campo complesso.

Possiamo stabilire una “gerarchia” tra i vari sistemi di numeri basata sulla loro “capacità” di risolvere i diversi tipi di equazioni:

Equazione

Numeri

Condizioni

x + n = m

Naturali

Negativi

m ≥ n

m  < n

Interi

m, n

nx = m

Interi

Frazionari

n = km

n ≠ km

Razionali

n, m

x2 = a

Razionali

Irrazionali

    Algebrici

    Trascendenti

es: a = (n/m)2

 

es: a ≠ (n/m)2 ≥ 0

π, e, …

Reali

Immaginari

a ≥ 0

a < 0

ax2 + bx + c = 0

Reali

b2 ≤ 4ac

Complessi

a, b, c

+ qualsiasi equazione algebrica, anche a ceffivienti complessi

ax = b

Reali

b > 0

Complessi

b ≠ 0

+ qualsiasi equazione trascendente, anche complessa, che ammetta soluzioni

Da questo punto di vista, possiamo dire che i numeri complessi sono notevolmente più “potenti” dei numeri reali, ed è incredibile come si sia potuti arrivare a risultati così notevoli semplicemente introducendo un unico nuovo numero: l’unità immaginaria. Sotto questo punto di vista il passaggio dai numeri reali ai numeri complessi è infinitamente[18] più semplice del passaggio dai numeri razionali ai numeri reali: in questo caso infatti l’introduzione di un solo numero irrazionale, diciamo  avrebbe dato soluzione ad una sola equazione (x2 = 2), ed è stato quindi necessario introdurre un numero infinito di numeri irrazionali per far sì che la generica equazione xn = y ammettesse sempre una soluzione).

I numeri complessi hanno delle proprietà notevolissime (cfr. ad es. le funzioni olomorfe) che conferiscono loro un fascino quasi magico (basti pensare alla formula di Eulero, oppure al legame tra la funzione z di Riemann ed i numeri primi, o anche all’incredibile bellezza dell’insieme di Mandelbrot).

Figura 41 - L'insieme di Mandelbrot

I Numeri Complessi in Fisica

Si potrebbe pensare che i numeri complesi – per come sono stati introdotti – siano delle entità puramente matematiche, completamente svincolate dalla realtà fisica (che senso potrebbe avere, per esempio, una lunghezza immaginaria?).

Orbene non è così: a partire dall’equazione di Shroedinger in poi si è potuto constatare che i numeri complessi sono alla base delle leggi fisiche fondamentali, e questo ci lascia intuire come tutta la bellezza e la magia di questi numeri trovi riscontro nella bellezza e nella magia dell’Universo!

Operazioni fra Numeri Complessi

L’insieme dei numeri complessi può essere dotato di operazioni di somma e di moltiplicazione in modo che:

a)       risultino soddisfatte le stesse proprietà di cui godono la somma e la moltiplicazione di numeri reali;

b)       se la parte immaginaria di entrambi gli operandi è nulla, queste operazioni si riconducano alle usuali operazioni fra numeri reali;

in questo modo esso viene ad avere struttura di campo, ed i numeri reali sono un suo sottocampo.

Detto z = x + iy il generico numero complesso, vengono definite le seguenti operazioni:

·        Somma:               z1 + z2 := (x1 + x2) + i(y1 + y2) ;

·        Prodotto:             z1z2 := (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1) .

L’elemento neutro della somma è il numero reale 0, mentre l’elemento neutro del prodotto è il numero reale 1. L’elemento inverso di z rispetto alla somma è il numero –z = –a – ib (opposto), mentre (per |z|≠0) rispetto alla moltiplicazione è il numero  (reciproco).

Dato un numero complesso z, si definiscono:

·        il suo Complesso Coniugato:           ;

·        la sua Norma:                                   ;

·        il suo Modulo:                                   .

Non è difficile trovare le espressioni per le operazioni inverse della somma e del prodotto:

·        Sottrazione:         z1 z2 = (x1 – x2) + i(y1 – y2) ;

·        Divisione:             .

Rappresentazione dei Numeri Complessi

L’insieme dei numeri complessi, dotato delle operazioni di somma e di prodotto di due numeri complessi ha struttura di Spazio Vettoriale di dimensione 1 sul campo ℂ.

Alternativamente, se consideriamo l’insieme dei numeri complessi dotato delle operazioni di somma di due numeri complessi e di prodotto di un numero complesso per un numero reale[19], esso viene ad avere struttura di Spazio Vettoriale di dimensione 2 sul campo .

E’ pertanto possible rappresentare i numeri  complessi come dei vettori in uno spazio vettoriale reale bidimensionale.

Non bisogna tuttavia assimilare i numeri complessi a dei semplici vettori: da una parte la loro struttura è più ricca, in quanto sono dotati di un’operazione interna (il prodotto di due numeri complessi) che non trova riscontro negli spazi vettoriali, d’altra parte le nozioni di dipendenza lineare, base o prodotto scalare non risultano essere particolarmente significative nel campo dei numeri complessi.

Inoltre, l’isomorfismo fra ed 2 ci consente di rappresentare i numeri complessi (z = x + iy) come punti in un piano euclideo (detto Piano di Gauss[20]) individuati da una coppia di coordinate cartesiane (x = parte reale, y = parte immaginaria) o polari (ρ = |z|, φ = Arg(z) = tan-1 (y/x)).

L’argomento di un numero reale z=x è quindi 0 o π a seconda che risulti x0, mentre l’argomento di un numero immaginario puro z = iy è ±π/2 a seconda che risulti y0.

Si vede immediatamente che, in questa rappresentazione, il complesso coniugato di un numero è rappresentato dal punto simmetrico rispetto all’asse x.

Figura 42 - Complesso Coniugato

Alcune Considerazioni sulle Operazioni fra Numeri Complessi

·        La somma di due numeri complessi agisce separatamente sulle parti reali e sulle parti immaginarie dei due addendi, senza mescolarle, pertanto dal punto di vista geometrico essa equivale alla somma vettoriale dei Vettori Spostamento ed ubbidisce alla regola del parallelogramma, mentre dal punto di vista algebrico sussiste una piena analogia con l’operazione di somma di numeri reali.

Come nel caso dei numeri reali, l’elemento neutro della somma coincide con l’origine (in questo caso del Piano di Gauss), mentre l’elemento inverso di z è il punto –z, simmetrico a z rispetto all’origine.

Figura 43 – Somma di Numeri Complessi

·        Il prodotto di due numeri complessi non mantiene la separazione fra le parti reali e quelle immaginarie dei due fattori, ma le mescola fra di loro. Ciò dipende dal fatto che il prodotto di due numeri immaginari è un numero reale! Le conseguenze di questo fatto (che è alla base stessa della definizione dell’unità immaginaria) sono notevolissime e pervasive.

Innanzitutto, da un punto di vista algebrico, mentre il prodotto di due numeri reali equivale ad una somma ripetuta[21], questo fatto non è più vero, in generale, nel caso dei numeri complessi, ma solo nel caso del prodotto di un numero complesso per un numero reale.

L’interpretazione geometrica dei numeri complessi, ed in particolare la loro rappresentazione in coordinate polari, aiuta a rendere evidenti le proprietà del prodotto. Dalla definizione si ricava immediatamente che:

( 4e)            |wz| = |w| |z|                                 il modulo del prodotto è uguale al prodotto dei moduli

( 4f)             Arg(wz) = Arg(w) + Arg(z)         l’argomento del prodotto è uguale alla somma degli argomenti

Sottolineiamo l’analogia formale tra la ( 4f) e la formula del logaritmo del prodotto: log(xy) = log(x) + log(y). In effetti, come vedremo, esiste una stretta relazione tra la funzione esponenziale immaginaria e le funzioni trigonometriche, che è espressa dalla Formula di Eulero.

Ciò significa che, se consideriamo l’operatore Πz: definito da Πz(w) = wz,  il suo effetto è duplice:

-       allungare (o accorciare) il modulo dell’operando di un fattore |z|;

-       ruota l’operando di un angolo φ = Arg(z) (questo effetto è determinato dal “mescolamento” di parti reali e parti immaginarie introdotto dalla moltiplicazione).

Casi particolari:

-       z ∊ ℝ       Arg(z) = 0, e quindi Arg(wz) = Arg(w) (nessuna rotazione, solo allungamento o accorciamento);

-       z       Arg(z) = ± π/2: rotazione di ± 90°;

-       |z| = 1      |wz| = |w| (nessun allungamento o accorciamento, solo rotazione);

-       z = ±i      (solo rotazione di ±90°) moltiplicare un numero per ±i equivale a ruotarlo di ±π/2 (reiterando l’operazione abbiamo ovviamente una rotazione di π, pari ad un’inversione di segno).

Figura 44 - Moltiplicazione per i

Le proprietà geometriche del prodotto di due numeri complessi sono espresse da quella che poremmo chiamare la regola dei triangoli simili. in quanto i triangoli di vertici (0, 1, w) e (0, z, wz) risultano simili.

 

Figura 45 - La Regola dei Triangoli Simili

Infatti considerando il primo triangolo, abbiamo che le lunghezze dei segmenti [01], [0w] e [1w] = [0w] – [01] sono rispettivamente: 1, |w| e |w-1|. Considerando invece il secondo triangolo le lunghezze dei lati corrispondenti sono: |z|, |wz| e |wzz|, ovvero: |z|, |z| |w| e |z| |w-1|, sono cioè proporzionali alle corrispondenti lunghezze dei lati del primo triangolo secondo un fattore |z|. Ovviamente se |z| = 1 i triangoli non sono solo simili, ma sono congruenti.

Le Potenze dei Numeri Complessi

L’elevamento a potenza di un numero complesso può essere definita in modo del tutto analogo all’elevamento a potenza di un numero reale (cfr. ( 4a) e ( 4d)).

·        Se l’esponente è intero si tratta di una moltiplicazione ripetuta. Dalle ( 4e) e ( 4f) segue immediatamente che:

( 4g)                           |zn| = |z|n ;

( 4h)                           Arg(zn) = n Arg(z) .

ovvero, detto z = |z|(cos φ + i sin φ),:

( 4i)                            zn = |z|n(cos () + i sin())

Considerando quindi la serie zn (con |z| > 1) abbiamo che il modulo cresce in proporzione geometrica (aumentando di un fattore |z| ad ogni passo), mentre l’argomento cresce linearmente (ruotando di un angolo Arg(z) ad ogni passo). Gli elementi della serie sono quindi disposti lungo una spirale esponenziale.

Figura 46zn  (|z| >1)

Il comportamento è analogo nel caso |z| < 1, salvo il fatto che, in questo caso, il modulo diminuisce ad ogni passo, e la spirale si avvita intorno all’origine.

Figura 47zn  (|z| <1)

Particolarmente interessante è il caso |z| = 1: in questo caso infatti |zn| = 1 n, e quindi gli elementi della serie giacciono tutti equidistanziati (con una distanza pari ad Arg(z)) lungo la circonferenza unitaria (la spirale è degenerata in una circonferenza).

Figura 48zn  (|z| = 1)

Evidenziamo che questa proprietà è l’analoga del fatto che, nel caso dei numeri reali, gli elementi della serie 1n giacciono tutti su una retta, equidistanziati fra loro.

Detto quindi u = cosφ + i sinφ, (dove ovviamente |u| = 1), la ( 4i) diventa:

( 4j)                            un = cos () + i sin ().

·        La definizione della radice mma di un numero complesso richiede qualche cautela. Infatti l’equazione wm = z, per il teorema fondamentale dell’Algebra, ammette m radici distinte nel campo complesso: w1, w2, … , wm. Ne consegue che l’operazione inversa (w = z1/m) non è definita univocamente. Il problema puo comunque essere risolto banalmente scegliendo in modo arbitrario una qualsiasi di queste radici.

Nel caso particolare di un numero di modulo unitario u = cosφ + i sin φ, le m radici dell’equazione w = um, sono date da: wk = cos (φ + 2π k/m) + i sin(φ + 2π k/m). Si tratta di m numeri complessi, giacenti sulla circonferenza unitaria ed equidistanziati: φk = φ + 2π k/m (ovvero dei vertici di un poligono regolare di m lati inscritto nella circonferenza unitaria).

Figura 49 - Radici ennesime di 1

Detto quindi z = |z| cosφ + i sinφ, è possibile porre la seguente definizione: , la quale, in virtù della ( 4j), soddisfa identicamente l’espressione: .

·        Posto , l’estensione dell’elevamento a potenza nel caso di esponente razionale p = n/m è immediata: zp = |z|p (cos() + i sin()), che, nel caso di un numero complesso u di modulo unitario, diventa:

( 4k)                           up = cos() + i sin(),

dove si vede immediatamente che la funzione definita da:  è periodica, di periodo m: f(n+m) = f(n). Vedremo che, nel passaggio dal discreto al continuo, questa proprietà ci porterà alla Formula di Eulero.

4.6Quaternioni

Definizione

I Quaternioni sono un’estensione non commutativa dei Numeri Complessi.

Mentre i Numeri Complessi si ottengono aggiungendo ai Numeri Reali l’unità immaginaria i, i Quaternioni si ottengono aggiungendo ai Numeri Reali le tre unità i, j, k che soddisfano le seguenti relazioni:

i2 = j2 = k2 = ijk = -1 .

 

Analogamente ai numeri complessi, ogni quaternione può essere espresso come una combinazione lineare a coefficienti reali dei quaternioni di base {1, i, j, k}, cioè h = a + bi + cj + dk.

Operazioni

Sui quaternioni è possibile definire le seguenti operazioni:

·        Somma di quaternioni: si sommano i coefficienti corrispondenti;

·        Prodotto di quaternioni: si utilizza la proprietà distributiva e la seguente tabella di moltiplicazione dei quaternioni di base:

 

 

1

i

j

k

1

1

i

j

k

i

i

-1

k

-j

j

j

-k

-1

i

k

k

j

-i

-1

Si verifica immediatamente che il prodotto di quaternioni non è commutativo.

La non commutatività del prodotto porta ad alcune conseguenze inattese. Ad esempio le equazioni polinomiali sui quaternioni possono avere un numero di soluzioni distinte maggiore del grado del polinomio!

·        Moltiplicazione di un quaternione per un numero reale: è un caso particolare del prodotto di due quaternioni, ed equivale a moltiplicare tutti i coefficienti per il numero reale.

Épossibile definire il complesso coniugato, la norma, il modulo ed il reciproco di un quaternione in modo analogo ai numeri complessi.

Analogamente ai numeri complessi, è possibile definire:

·        il complesso coniugato h* := a – ibjckd, la norma ║h║ := hh*, il modulo |h| := (║h║)1/2  ed il reciproco h-1 := h*/║h║ di un quaternione;

·        la distanza fra due quaternioni d(h1, h2) := |h2–h1|. Ciò conferisce ai quaternioni la struttura di spazio metrico (isometricamente isomorfo ad 4). Inoltre, poiché |h1h2| = |h1| |h2|, utilizzando come norma il modulo, i quaternioni formano un’Algebra di Banach reale.

Struttura

L’insieme dei quaternioni, dotato delle operazioni di somma e di prodotto ha struttura di Anello con Divisione (che è essenzialmente un Campo non commutativo).

L’insieme dei quaternioni, dotato delle operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale, ha struttura di Spazio Vettoriale Reale di dimensione 4.

Poiché il prodotto di quaternioni è bilineare ed associativo, lo Spazio Vettoriale dei quaternioni, dotato dell’operazione di prodotto, ha struttura di Algebra associativa non commutativa.

I Reali, i Complessi ed i Quaternioni sono le uniche Algebre associative con divisione a dimensione finita (rispettivamente 1, 2 e 4) sul campo dei Reali.

Poiché infine il prodotto di quaternioni è dotato di elemento neutro (il quaternione 1 + 0i + 0j + 0k) e poiché per ogni quaternione h ≠ 0 esiste il  suo  inverso  h-1 (tale cioè che hh-1 = h-1h = 1), si tratta in effetti di un’Algebra con Divisione.

Applicazioni

L’utilizzo dei quaternioni consente di unificare le equazioni dell’Elettromagnetismo e quelle della Relatività Generale. (cfr. ).

                                                                                 5    Numeri Transfiniti

I Numeri Transfiniti sono stati introdotti da G. Cantor per trattare gli aspetti dimensionali degli insiemi con un numero infinito di elementi, e di stabilire se due insiemi infiniti hanno lo stesso numero di elementi o se invece uno di essi è più numeroso dell’altro.

La situazione è in qualche modo analoga a quella in cui si troverebbe una tribù primitiva il cui rudimentale sistema di numerazione sia: “Uno, Due, Tanti” qualora volesse confrontare la numerosità di insiemi finiti con più di due elementi.

e-school:   Analisi I – Insiemi finiti ed infiniti

5.1Definizioni Preliminari

Se un insieme può essere messo in corrispondenza biunivoca con un sottoinsieme proprio dei numeri naturali, esso è detto finito, altrimenti è detto infinito.

La Cardinalità di un insieme è una proprietà che ne descrive la dimensione, per mezzo dei Numeri Cardinali (i quali sono un’estensione dei numeri naturali che consente di trattare gli aspetti dimensionali anche per gli insiemi infiniti).

Nel caso degli insiemi finiti la cardinalità di un insieme si riduce al numero dei suoi elementi. Si dice che due insiemi hanno la stessa Cardinalità (o che sono equipotenti[22]) quando fra di essi esiste una biiezione, ovvero quando è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra i loro elementi.

Si può dimostrare che un insieme è finito se e solo se non esiste nessuna biiezione con un suo sottoinsieme proprio. La possibilità (apparentemente paradossale) di poter mettere in corrispondenza biunivoca un insieme con un suo sottoinsieme proprio è la caratteristica distintiva degli insiemi infiniti, e ci dice che – anti-intuitivamente  nel loro caso non è sempre vero che il tutto è maggiore della parte: la dimensione di una parte infinita non può certo essere maggiore di quella del tutto, può però coincidere con essa.

5.2Insiemi Numerabili

Si dice che un insieme S è Contabile se esiste un’applicazione suriettiva f: ℕ→S. Se tale applicazione è biiettiva, si dice che l’insieme è Numerabile., oppure che ha la Potenza del Numerabile.

In virtù di questa definizione risulta che:

·   un insieme contabile o è finito o è numerabile;

·   un insieme non contabile è necessariamente infinito (e viene spesso detto non numerabile);

·   ogni insieme numerabile è infinito e può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali, e quindi:

Tutti gli Insiemi Numerabili hanno la stessa Cardinalità,

che viene indicata con:

0 (Aleph_0): La Potenza del Numerabile.

 (dove l’indice zero sta ad indicare che si tratta del più piccolo “Numero Transfinito[23]).

Gli insiemi numerabili godono di una serie di proprietà (spesso anti-intuitive se si cerca di riferirle agli insiemi finiti); in particolare risultano numerabili i seguenti insiemi:

a)      ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile;

b)      l’unione di una quantità numerabile (anche infinita) di insiemi numerabili [24];

c)      il prodotto cartesiano di un numero finito di insiemi numerabili.

Questa proprietà può essere dimostrata[25], ad esempio, adottando una tecnica di enumerazione come quella illustrata in Figura 51.

Figura 51 – Numerabilità del Prodotto Cartesiano di due insiemi numerabili

In particolare, poiché ogni numero razionale può essere associato ad una coppia ordinata di numeri reali, si ha che:

I Numeri Razionali hanno la stessa Cardinalità dei Numeri Interi

d)      l’insieme di tutte le sequenze di lunghezza finita di numeri naturali;

e)      l’insieme di tutti i sottoinsiemi finiti dei numeri naturali.

5.3Insieme Potenza

Nel 1874 G. Cantor fece la scoperta – di fondamentale importanza e di portata storica – che non tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità.

Ad esempio se nei casi c), d) ed e) si considerano rispettivamente numeri, lunghezze e sottoinsiemi infiniti si ottengono insiemi non numerabili di cardinalità > 0.

In particolare l’Insieme Potenza di un insieme ha una cardinalità strettamente maggiore dell’insieme stesso (Teorema di Cantor):

card(P(X)) > card(X)

L’enunciato è ovvio per gli insiemi finiti, ma si estende anche agli insiemi infiniti numerabili[26]:

a) in prima battuta si dimostra che non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca X con P(X). In particolare se X è numerabile, ipotizzando per assurdo la numerabilità di P(X) ed utilizzando una tecnica diagonale[27] si arriverebbe a poter definire un sottoinsieme di X non appartenente a P(X), e quindi dalla contraddizione deriva la falsità dell’ipotesi di partenza;

b) d’altra parte, essendo l’insieme di tutti i sottoinsiemi finiti di X numerabile ed appartenendo tale insieme a P(X) risulta che X può essere messo in corrispondenza biunivoca con un elemento di P(X);

c) da (a) deriva che card(X) ≠ card(P(X)), mentre da (b) deriva che card(X) ≤ card(P(X)), ne consegue che card(X) < card(P(X)).

Dati due insiemi X ed Y, l’insieme delle applicazioni da Y ad X viene definito Insieme Potenza: XY := {f: YX} e si dimostra che card(XY) ) = card(X) card(Y).

La formula risulta evidente se entrambi gli insiemi sono finiti: dette N ed M le rispettive cardinalità, ognuno degli M elementi di Y può essere correlato ad N elementi di X, esistono quindi MN possibili funzioni distinte. In particolare un generico sottoinsieme di Y può essere identificato con una sequenza di M cifre binarie indicanti l’appartenenza o meno ad esso dei singoli elementi di Y (dove 00…0 rappresenta l’insieme vuoto e 11…1 rappresenta l’insieme Y). Risulta pertanto che card(P(Y)) = 2M.

5.4Potenza del Continuo

Le argomentazioni precedenti rimangono valide anche per insiemi infiniti. In particolare le sequenze (di lunghezza infinita) di cifre binarie possono essere considerate come le cifre binarie di un numero reale nell’intervallo [0, 1]. Se poi consideriamo il fatto che tale intervallo può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’intero insieme dei numeri reali, abbiamo che, detta c la cardinalità dell’insieme dei numeri reali (detta anche Potenza del Continuo), risulta:

In base a quanto detto in precedenza risulta evidente che i numeri reali non possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali; ciò può comunque essere dimostrato con un procedimento diagonale simile a quello già utilizzato.

Cantor ipotizzò che non esistesse nessun insieme con una cardinalità intermedia compresa fra quella di e quella di (ipotesi del continuo).

Ovvero: così come i numeri naturali rappresentano il primo livello di infinito, i numeri reali rappresenterebbero – secondo tale ipotesi – il livello immediatamente successivo.

Più in generale si può ipotizzare che, per un qualsiasi insieme infinito X non esistano insiemi con cardinalità compresa fra card(X) e card(P(X)) (ipotesi generalizzata del continuo).

Si tratta tuttavia di ipotesi, entrambe coerenti con gli altri assiomi dell’attuale Teoria degli Insiemi, ed è stato recentemente dimostrato che esse non possono essere né confermate né smentite nell’ambito dell’attuale sistema di assiomi. Se esista o meno un sistema di assiomi più potente che consenta di decidere in un verso o nell’altro è uno dei maggiori problemi non ancora risolti.

5.5Antinomie

La cosiddetta Teoria ingenua degli Insiemi porta ad una serie di antinomie ((regole che non possono essere rispettate, oppure conseguenze che sarebbero contemporaneamente sia vere che false):

·        L’insieme di tutti gli insiemi comprende, per definizione, anche il proprio insieme delle parti, il quale verrebbe ad avere una cardinalità maggiore dell’insieme che lo contiene.

·        L’insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi non potrebbe contenere se stesso (in quanto ciò sarebbe in contrasto con la sua definizione), ma in questo caso dovrebbe invece farvi parte (altrimenti sarebbe incompleto).

·        Il barbiere di un paese che rade tutti coloro che non si radono da soli non potrebbe radersi da solo, ma se così fosse dovrebbe farsi radere da se stesso.

·   &n