Il Filo di Arianna di Diego Vasdeki

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G-V  GEOMETRIA DIFFERENZIALE

  (Versione 1.1  del  22-09-2005)

 

G-V  GEOMETRIA DIFFERENZIALE

1       Curve

1.1     Curve nel Piano

1.2     Curve nello Spazio Euclideo

1.3     Definizione Generale di Curva

1.4     Trasformazioni del parametro

1.5     Grandezze geometriche associate ad una curva

1.6     Aspetti Cinematici

2       Superfici

2.1     Superfici nello Spazio Euclideo

2.2     Coordinate Curvilinee

2.3     Prima Forma Fondamentale

2.4     Seconda Forma Fondamentale

2.5     Derivata Assoluta e Trasporto Parallelo

Bibliografia

Indice Analitico

 

Il metodo delle coordinate della Geometria Analitica stabilendo una corrispondenza biunivoca fra i punti dello Spazio Euclideo e le n-ple ordinate di numeri reali, consente di descrivere gli oggetti geometrici in termini matematici, trasformando le relazioni tra punti in relazioni tra numeri. Ad una figura geometrica viene associata un’equazione, le cui radici sono le coordinate dei punti della figura. Ciò consente di utilizzare i metodi del calcolo differenziale per indagare le proprietà “locali” delle figure geometriche.

La Geometria Differenziale studia appunto gli oggetti geometrici utilizzando gli strumenti del calcolo differenziale ed integrale, ed è possibile affermare che i suoi concetti distintivi sono quelli che abbracciano la natura geometrica della derivata seconda: i molteplici aspetti della curvatura.

Nello spazio tridimensionale è possibile “disegnare” figure geometriche a zero dimensioni (i punti), ad una dimensione (le curve) e a due dimensioni (le superfici). Generalizzando, in uno spazio ad N dimensioni è possibile “disegnare” figure geometriche fino alla dimensione N-1 (dette talvolta ipersuperfici). Le rette ed i piani sono i casi più semplici di curve e di superfici, ed hanno natura lineare, intendendo con ciò il fatto che sono privi di curvatura.

                                                                                                             1Curve

e-school:   Analisi II – Curve I  – Curva di Jordan - Altra definizione di curva continua in N - Curva continua di  N  aperta, chiusa, semplice e non – Curva continua orientata in N - Arco di una curva continua orientata di  N , somma di curve continue orientate di N  – Curva continua rettificabile di  N , lunghezza di una curva.

e-school:   Analisi II –-Curve II –  Ascissa curvilinea.  – Curva regolare, curva regolare a tratti.  – Omotopia, curva omotopa ad un punto, aperto di R² semplicemente connesso.

e-school:   Geometria – Curve in 2

e-school:   Geometria  – Curve in 3.

e-school:   Geometria  – Geometria Differenziale – 2a Parte – Curve in 2: Punti semplici e multipli, Punti Ordinari e Singolari, Punti di Flesso, Cerchio Oscuratore, Curvatura, Punti Multipli, Punti Doppi, Asintoti, Curva Inviluppo.

e-school:   Geometria  – Geometria Differenziale – 3a Parte – Curve in 3: Punti notevoli, Retta tangente, Piano Oscuratore, Punti di flesso, Triedro principale, Cerchio Oscuratore, Flessione, Torsione.

 

Da un punto di vista intuitivo una curva è un oggetto geometrico unidimensionale continuo, tale cioè che la sua forma può essere disegnata (su un foglio di carta o su una generica superficie nello spazio) senza mai staccare la matita dal foglio. Alternativamente possiamo immaginare una curva come la deformazione di un elastico.

Dopo aver espresso questo concetto in termini matematici nel caso più semplice, considerando le diverse alternative disponibili, arriveremo ad una definizione generale di curva generalizzabile negli spazi ad N dimensioni. Ritornando quindi allo Spazio Euclideo tridimensionale, esamineremo quindi brevemente le principali grandezze geometriche associate alle curve, ed in particolare i concetti di curvatura e di torsione.

1.1Curve nel Piano

Dette x ed y le coordinate cartesiane dei punti di una Curva Piana, esistono diversi modi per rappresentare la relazione fra di essi:

 

(5.1-a)                         y = f(x)                         detta Equazione Esplicita della curva;

(5.1-b)                         f(x,y) = 0                      detta Equazione Implicita della curva;

(5.1-c)                                              dette Equazioni Parametriche della curva.

·        La (5.1-a), detta anche grafico della funzione f(x), richiede la continuità di f rispetto ad x; essa è particolarmente restrittiva in quanto, non solo può rappresentare solo delle curve piane[1], ma inoltre esclude[2] la possibilità che la curva contenga punti aventi stessa ordinata ed ascisse differenti (la matita può cioè procedere in un solo verso): ad esempio una circonferenza non può essere rappresentata sotto questa forma.

Notiamo infine che nella (5.1-a) è presente una asimmetria tra le due coordinate, che non rispecchia nessuna particolare proprietà dello spazio, ma rappresenta piuttosto una limitazione relativa al tipo di curva rappresentabile sotto questa forma.

·        La (5.1-b) richiede la continuità di f rispetto sia ad x che ad y; pur essendo anch’essa limitata alle curve piane, è tuttavia più generale della (5.1-a) (ad esempio può essere utilizzata per rappresentare una circonferenza x2 + y2 = R2). E’ opportuno considerare la f non tanto come una funzione reale di due variabili reali, quanto piuttosto come un modo per esprimere la relazione di appartenenza alla curva dei punti del piano, di cui x ed y sono le coordinate.

E’ ovvio che la (5.1-a) può essere banalmente ricondotta alla (5.1-b), mentre il viceversa è possibile solo nei casi in cui l’equazione implicita possa essere risolta rispetto ad una delle due variabili.

Notiamo infine che la (5.1-b) non può essere immediatamente generalizzata a spazi con più di due dimensioni. Infatti – da un punto di vista informale – possiamo dire che una curva è uno spazio ad una dimensione, e che la (5.1-b) è adatta a rappresentarla in quanto impone un vincolo alle due coordinate dei punti del piano. Per curve sghembe un’espressione del tipo f(x,y,z) = 0 rappresenta invece, come vedremo, una superficie (ovvero uno spazio bidimensionale), mentre per rappresentare una curva abbiamo bisogno di imporre un ulteriore vincolo (g(x,y,z)=0) e ciò esprime il fatto che una curva può essere ottenuta come intersezione di due superfici.

·        La (5.1-c) è particolarmente adatta ad esprimere il moto di un punto materiale: in questo caso il parametro è dato dal tempo ed ha un significato fisico ben preciso.

Ancorché questa forma possa sembrare più complessa delle precedenti, essa si presta, come vedremo, non solo ad essere immediatamente generalizzata a spazi ad N dimensioni (semplicemente aumentando il numero delle equazioni), ma anche e soprattutto a fornire una definizione più generale di curva, che non dipenda esplicitamente dalle coordinate dei suoi punti.

La (5.1-a) (sempre) e la (5.1-b) (quando è risolubile rispetto ad una delle variabili) possono essere banalmente ricondotte alla (5.1-c) ponendo x = t. La (5.1-c) invece può essere ricondotta alla (5.1-b) solo quando una delle equazioni parametriche risulti invertibile in tutto l’intervallo (ad es.
f(x, t -1(y)) = 0).

Notiamo che la continuità e la differenziabilità delle funzioni x(t) e y(t) non garantisce né la continuità né la differenziabilità della curva. In particolare è facile verificare che quando entrambe le derivate prime si annullano contemporaneamente siamo in presenza di un punto singolare, che può essere di varia natura: punto multiplo, cuspide, punto isolato, punto di arresto.

Volendo evitare singolarità è necessario imporre la condizione che per nessun valore t* (all’interno dell’intervallo di definizione della curva) risulti: ∂tx(t*) = ∂ty(t*) = 0 [3] (dove è stata utilizzata la ). Questa condizione d’altronde ci consente di invertire, nell’intorno di qualsiasi punto, almeno una delle due equazioni parametriche (invertibilità locale) e quindi di esprimere la curva, in quell’intorno, sotto la forma (5.1-b).

In vista di future generalizzazioni osserviamo che le equazioni implicite di una curva possono essere considerate come un sistema omogeneo di equazioni: . Affinché esso ammetta soluzioni non banali, è necessario che la matrice Jacobiana associata abbia rango 1 in tutto l’intervallo di variabilità della t, ovvero che lo spazio delle sue soluzioni abbia sempre dimensione 1).

1.2Curve nello Spazio Euclideo

Come già osservato, una curva C in uno Spazio Euclideo N può essere definita come il luogo dei punti P le cui coordinate xi soddisfano un insieme di N equazioni parametriche:

(5.1-d)                    C := { P N | xi = xi(t) ; t I = [a,b] ⊆ ℝ }

dove le xi sono le N coordinate dei punti appartenenti alla curva e le xi(t) sono N funzioni reali continue di una variabile reale definite in un intervallo I [4].  Se le xi sono di classe Cr, anche la curva è detta di classe Cr. Imponendo la condizione di invertibilità locale si esclude la possibilità di punti singolari, e la curva è detta regolare.

Notiamo che non viene richiesta l’invertibilità globale delle xi(t) in tutto l’intervallo I; se ciò avviene l’arco di curva è detto semplice ed è topologicamente equivalente ad un segmento; altrimenti l’arco di curva presenta dei punti multipli (dove lo stesso punto corrisponde a valori differenti dei parametri).

Considerando le xi come le componenti del raggio vettore x che identifica il generico punto della curva, le (5.1-d) possono essere espresse in maniera più compatta sotto forma vettoriale:

                             x = x(t) = xi(t) e(i)

dove {e(i)} è la base associata agli assi cartesiani di N .

1.3Definizione Generale di Curva

Da quanto visto finora, una Curva può essere definita come una

applicazione continua C: I →  X

dove I è un intervallo di numeri reali (un sottoinsieme connesso non vuoto di ) e X è uno spazio topologico.

Casi particolari:

·        se l’applicazione è iniettiva, la curva è detta semplice;

·        se I = [a,b] (intervallo chiuso e limitato) e C(a) = C(b) la curva è detta chiusa;

·        una curva chiusa semplice è detta curva di Jordan;

·        se X = (spazio metrico), è possibile definire la lunghezza di una curva;

·        se X = 2 (piano cartesiano), la curva è detta piana;

·        se X = 3 (spazio euclideo tridimensionale), la curva è detta sghemba.

Analizziamo questa definizione:

·   privilegiando l’aspetto matematico (applicazione) rispetto a quello geometrico (luogo di punti) essa, oltre ad includere il concetto intuitivo di figura geometrica continua, connessa e localmente piatta (simile ad una linea), abbraccia anche figure che intuitivamente non verrebbero classificate come “curve” (es. la curva di Peano);

·   poiché l’applicazione C non è necessariamente , è consentita la presenza di punti multipli;       

·   poicè il dominio dell’applicazione è un intervallo di , C viene ad avere dimensione 1;

·   l’assenza di altri vincoli (es. biunivocità dell’applicazione o invertibilità locale) comporta la possibilità di punti singolari.

·   quando il codominio dell’applicazione è  uno spazio euclideo N, C viene ad essere un insieme di punti di tale spazio; è bene tener presente che la definizione di C fa riferimento direttamente ai punti di N e non alle loro coordinate, e pertanto essa è indipendente da uno specifico sistema di coordinate; inoltre, tenendo conto dell’isomorfismo fra e N:

-  i punti della curva possono essere identificati dalle loro coordinate cartesiane, e quindi C risulta essere un‘applicazione C: →  N, definita da N funzioni reali (continue) di variabile reale xi = xi(t), che forniscono le equazioni parametriche nella forma (5.1-d):

-  lungo tutti i punti della curva è possibile definire dei vettori appartenenti tutti ad un unico spazio vettoriale VN;

Qualora le xi(t) siano di classe Ck, la curva è detta differenziabile di classe Ck.

1.4Trasformazioni del parametro

Per una stessa curva esiste un’intera classe di rappresentazioni parametriche ammissibili, ottenibili ponendo t = t(t’) con t(t’) di classe Cr con r ≥ 1 e  (entrambe le condizioni essendo soddisfatte nell’intervallo [a’, b’] di variabilità del parametro t’). Si tratta ovviamente di una classe di equivalenza.

Questa situazione è evidente quando si consideri la traiettoria percorsa da un punto materiale, e quando il parametro è rappresentato dal tempo: in questo caso infatti le differenti parametrizzazioni di una stessa traiettoria corrispondono a differenti leggi temporali di percorrenza. Tuttavia, mentre in Geometria il parametro non assume nessun significato particolare (e così anche il modulo del vettore tangente), in Fisica il tempo è una grandezza fisica ben precisa, e quindi la tangente assume il significato di una velocità.

1.5Grandezze geometriche associate ad una curva

Notazione

Sia a(P) un campo vettoriale definito lungo i punti P di una curva C  di equazioni parametriche (5.1-d), è chiaro che esso risulta univocamente identificato quando siano noti i valori del vettore a in funzione del generico parametro t, ovvero a = a(t). É quindi possibile considerare la derivata di a(t) rispetto al parametro t, che verrà indicata con:  .

Qualora si assuma come parametro l’ascissa curvilinea s (ossia la lunghezza dell’arco di curva rispetto ad un punto prefissato P0), avremo che a=a(s), e la relativa derivata verrà indicata con: .

Tenuto conto che s=s(t) risulta che: .

 

Lemmi preliminari

Sia e(t) un generico versore (|e(t)| = 1) definito lungo una curva, ed α(t) l’angolo che esso forma rispetto ad una direzione fissa; risulta:

(1)                                e’ e 

(2)                                α’ = |e|

Il Lemma (1) esprime il fatto che la derivata di un vettore di lunghezza costante è ortogonale al vettore stesso, e si ottiene immediatamente derivando l’identità ee = 1, da cui ee = 0.

Il Lemma (2) risulta ovvio geometricamente: essendo infatti |e(t)| costante, |Δe| = |e(t+Δt) – e(t)| può essere approssimato con la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio unitario; poiché l’angolo fra e(t) ed e(t+Δt) è pari a Δα = α(t+Δt) – α(t), abbiamo che |Δα| |Δe| = eΔt.

Lunghezza (s)

Detti r(t) e r(t+∆t) due punti vicini sulla curva  C , la lunghezza ∆s dell’arco di curva compreso fra di essi (detta anche ascissa curvilinea) può essere approssimata con la lunghezza del vettore ∆r = r(t+∆t) – r(t): , e quindi la lunghezza totale rispetto al generico punto associato al valore t del parametro u è data da:  .

La lunghezza è una proprietà intrinseca di una curva, che non dipende cioè dalla sua rappresentazione parametrica; infatti, detta φ = φ(u) una trasformazione ammissibile di parametro, risulta: .

Tangente (t, τ)

La retta tangente ad una curva nel punto P è definita come il limite a cui tende una retta secante per i punti P e P’ quando P’→ P. Su questa retta giace il vettore tangente t definito da:

                                   

NB: il vettore t(P) – come pure gli altri vettori che verranno introdotti in seguito – è in effetti un campo vettoriale definito lungo i punti della curva.

La direzione di t è ovviamente quella della retta tangente, e pertanto non dipende dalla parametrizzazione utilizzata, mentre il suo modulo ed il suo verso dipendono da tale parametrizzazione; essi rappresentano la velocità lineare di percorrenza della curva rispetto al parametro t. Infatti, dalla definizione di s risulta:  . In particolare, nel caso in cui il parametro t coincida con la lunghezza s, risulta: ds/ds = 1 = |x(s)| .

Pertanto, detto t(s) il versore tangente alla curva nel punto di ascissa curvilinea s, abbiamo che:

                                    t (s) = x(s)

Piano normale (πN)

Il piano normale ad una curva nel punto P è definito come piano normale alla tangente alla curva in P, ed i suoi punti r soddisfano quindi l’equazione: rt(P) = 0 .

Piano oscuratore (πO)

Il piano oscuratore ad una curva nel punto P è definito come il limite a cui tende un piano contenente il punto P e altri due punti P1 e P2 in un suo intorno, quando P1→ P e P2 → P. É chiaro che questo piano contiene sia il vettore t(P) che il vettore ∆t = t(P2) – t(P) = (dt/dt) ∆t2 ; per cui, detto r il raggio vettore del generico punto di questo piano, la condizione di complanarità di questi vettori è data da:

                                    det (r-x | x’ | x’’ ) = 0

Curvatura (k)

In generale la curvatura è una grandezza che esprime di quanto un oggetto geometrico devia rispetto all’essere piatto. La parola piatto può avere diverse connotazioni, in funzione dell’oggetto considerato; per le curve si tratta di una linea retta, per le superfici si tratta di un piano.

Una linea retta, avente curvatura nulla, mantiene costante la propria direzione; considerata come una curva, la retta è quindi caratterizzata dal fatto di mantenere costante, in ogni suo punto, la direzione della propria tangente. Detto α l’angolo che la tangente forma con una direzione fissa arbitraria, è chiaro che in generale risulterà α = α(s), mentre per una retta si avrà α(s) = α0 = costante, e quindi α = 0. Sembra quindi ragionevole assumere come definizione di curvatura il limite dell’angolo ∆α formato fra le tangenti in due punti vicini, rapportato alla lunghezza ∆s dell’arco di curva compreso fra di essi:

                                    κ(s) := α(s)

Un approccio alternativo per definire la curvatura è quello di considerare il raggio del cerchio osculatore, che approssima la curva al secondo ordine. Nel caso di una circonferenza di raggio R detti r(α) e r(α+∆α) due raggi formanti un angolo ∆α, è ovvio che anche le rispettive tangenti (essendo normali ad essi) formano lo stesso angolo ∆α; inoltre, essendo la lunghezza dell’arco di circonferenza da essi sotteso pari a ∆s = R∆α, risulta κ = ∆α/∆s = 1/R : la curvatura è pari all’inverso del raggio di curvatura.

Osserviamo che:

·   nel caso di un cerchio la curvatura è, come il raggio, costante in ogni punto;

·   nel caso di una retta (considerata come un cerchio di raggio infinito) la curvatura è nulla;

·   nel caso di un punto (considerato come un cerchio di raggio nullo) la curvatura è infinita.

La curvatura si misura in diottrie, la cui dimensione è l’inverso di una lunghezza.

Introduciamo un vettore k, detto “curvatura”, così definito:

                                    k(s)     := t(s)
                                                = x∙∙(s)

Esso gode delle seguenti proprietà:

·        giace sul piano oscuratore (essendo parallelo a x’’);

·        la sua direzione è normale alla tangente (in virtù del Lemma 1);

·        il suo verso punta sempre verso la parte concava della curva (ossia verso l’interno del cerchio oscuratore);

·        il suo modulo κ(s) è dato da: |t(s)| = |α(s)| (in virtù del Lemma 2), e questo giustifica il suo nome.

La grandezza ρ(s) := 1 / κ(s) è detta raggio di curvatura.

Osserviamo che, ponendo:

-  k(s) = 0 , otteniamo: t(s) = a , e quindi x(s) = as + x0 , che è l’equazione di una retta;

-  κ2(s) = A2 , la condizione è soddisfatta da   con R = 1/A , che è l’equazione di una circonferenza.

Le diverse espressioni della curvatura per i diversi modi di rappresentare le curve sono le seguenti:

·        Curve Piane - Grafici ( y=f(x) ) - solo se l’asse delle x è tangente alla curva nel punto:

                                    κ = fxx

In questo caso α 0, quindi tg α α ; inoltre ds dx ; d’altra parte , e quindi dα / ds d (tg α ) / dx = d2y / dx2.

·        Curve Piane - Grafici ( y=f(x) ) - caso generale:

                                   

 

·        Curve Piane - Equazioni implicite ( F(x,y) = 0 ):

                                   

·        Curve Sghembe - Equazioni parametriche ( x = x(t) ):

                                     κ = |x x x∙∙|

                                         

Normale principale (p) e Binormale (b)

Il versore:

                                    p(s)     := k(s) / k(s)
                                                =
ρ(s) x∙∙(s)

è detto normale principale; esso giace lungo l’intersezione del piano normale con il piano oscuratore.

Il versore:

                                    b(s)     := t(s) x p(s)
                                                =
ρ(s) x(s) x x∙∙(s)

è detto binormale; esso giace lungo piano normale ed è ortogonale al piano oscuratore, e quindi sia alla tangente che alla curvatura.

Triedro mobile

L’insieme dei tre versori  {t, p, b} è detto triedro mobile. Poiché i tre versori sono mutuamente ortogonali, essi possono essere assunti come una base mobile (lungo una curva) di VN.

Il triedro mobile assume particolare rilevanza nello studio della cinematica di un corpo rigido, in quanto esso può essere considerato solidale con il corpo stesso. In particolare è utile per dimostrare che qualsiasi movimento infinitesimo di un corpo rigido è un “avvitamento” (ossia una traslazione più una rotazione) infinitesimo.

Torsione 

La torsione di una curva esprime la sua deviazione rispetto al piano oscuratore (nel quale giacerebbe se fosse piana). Si tratta di una “curvatura” lungo una direzione normale al piano oscuratore.[5] Con un procedimento analogo a quello già utilizzato per definire la curvatura, notiano che l’angolo Δβ fra i piani oscuratori in due punti vicini è uguale all’angolo fra le corrispondenti binormali: |Δβ| = |Δb|.

Introduciamo quindi il vettore, detto “torsione” definito da:

                                    τ(s)     := b(s)
                                                =
τ(s) p(s)
                                                = t
x p

Esso gode delle seguenti proprietà:

·        è parallelo alla normale principale (infatti, in virtù del Lemma 1, esso è ortogonale alla binormale; inoltre dalla sua definizione risulta: τ = t x p + t x p = k x p + t x ρma, essendo k parallelo a p il primo addendo si annulla, e quindi τ è ortogonale a t; infine, poichè i vettori t, b, p sono mutuamente ortogonali, si ottiene l’enunciato) e quindi giace sul piano normale;

·        il suo verso è positivo o negativo a seconda che la curva sia destrorsa o sinistrorsa.

·        il suo modulo τ(s) è dato da |b(s)| = |β(s)| (in virtù del Lemma 2), e questo giustifica il suo nome.

La grandezza σ(s) := 1 / τ(s) è detta raggio di torsione.

Equazioni naturali di una curva

Può essere dimostrato che un arco di curva è univocamente determinato (a meno di una traslazione) quando si conoscano la sua curvatura k(s) e la sua torsione τ(s) per ogni valore della lunghezza in un dato intervallo.

1.6Aspetti Cinematici

Nella Meccanica Classica la soluzione delle equazioni del moto di un punto materiale sono date dalla sua traiettoria temporale x = x(t). Sia s=s(t) la distanza percorsa (rispetto al punto x(0)) nel tempo t; se esprimiamo la traiettoria nella forma x = x(s(t)) e differenziamo rispetto al tempo, otteniamo:

(5.1-e)                          x = s’ x = v τ 

(dove indica la derivata rispetto al tempo e v = s’ indica la velocità lineare); differenziando ulteriormente otteniamo:

(5.1-f)                          x’’  = v’τ  + vτ =  v’ τ + v2 τ = v’ τ + (v2/ ρ) p  

(dove si è fatto uso delle formule relative al raggio di curvatura ρ ed alla normale principale p.

Le (5.1-e) e (5.1-f)  esprimono rispettivamente il fatto che la velocità è sempre parallela alla tangente e che l’accelerazione ha una componente tangenziale pari a v’ ed una componente radiale pari a v2/ ρ. Ovviamente nel caso di un moto circolare uniforme v = cost e ρ = R = cost, per cui la (5.1-f) si riduce alla ben nota formula dell’accelerazione centripeta a = v2 / R. 

Consideriamo una traiettoria come quella illustrata in figura, che venga percorsa a velocità costante. Nel tratto rettilineo la curvatura è nulla, mentre nel tratto curvo il raggio di curvatura è costante. Nel punto di raccordo la curvatura presenta una discontinuità passando istantaneamente da un valore nullo ad un valore diverso da zero. Ciò spiega le scosse che si avvertono all’interno di un vagone ferroviario all’inizio ed al termine delle curve: si tratta di brusche variazioni della forza apparente (centrifuga) nei punti di raccordo fra i tratti rettilinei e quelli curvi; è chiaro che una volta iniziata la curva la forza centrifuga permane, ma senza ulteriori scosse fino al termine della curva.

 

                                                                                                       2Superfici

e-school:   Geometria  – Superfici in 3.

e-school:   Geometria  – Geometria Differenziale - 1a parte – Gradiente, Retta tangente e retta normale ad una curva, Piano tangente e retta normale ad una superficie, Contatto fra due curve in 2, Contatto fra due curve in 3, Contatto fra due superfici in 3, Contatto fra una curva e una superficie in 3.

e-school:   Geometria  – Geometria Differenziale – 4a Parte – Superfici in 3, Tangenti Asintotiche, Punti iperbolici, Parabolici, Ellittici, Punti Multipli, Curvatura

2.1Superfici nello Spazio Euclideo

Seguendo un procedimento analogo a quello già utilizzato per introdurre le curve nello spazio euclideo, una superficie S può essere definita come un sottoinsieme bidimensionale sufficientemente regolare di punti di P 3 . Anche in questo caso la condizione di appartenenza di tali punti alla superficie viene espressa in termini di specifiche condizioni che le loro coordinate devono soddisfare. Tali condizioni possono essere espresse in diversi modi:

( 2‑a)1)                        z = f(x,y)                   detta equazione esplicita della superficie;

( 2‑b)2)                        f(x,y,z) = 0                detta equazione implicita della superficie;

( 2‑c)3)                                    dette equazioni parametriche della superficie.

                                                                                            (dove u e v appartengono ad un dominio connesso I ⊆ ℝN )

Per quanto riguarda le relazioni fra le varie rappresentazioni, valgono considerazioni analoghe a quelle già svolte per le curve.

In vista di future generalizzazioni conviene esprimere le ( 2‑c(3) sotto la seguente forma:

( 2‑d)(3’)                 { xi = xi(ua) }   (i=1,2,3;   a=1,2)

ovvero, in forma vettoriale:

( 2‑e)(3’’)                x = x(ua)                     (a=1,2)

2.2Coordinate Curvilinee

2.3Prima Forma Fondamentale

Vettori, Lunghezze ed Aree su una Superficie

2.4Seconda Forma Fondamentale

Seconda Forma Fondamentale
Punti Ellittici, Iperbolici e Parabolici
Curvatura Principale, Media e Gaussiana
Condizioni di Integrabilità – Teorema Egregium
Simboli di Christoffel
Geodetiche e Curvatura geodesica

2.5Derivata Assoluta e Trasporto Parallelo

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Do Carmo, M.: Differential Geometry of Curves and Surfaces. (Prentice Hall, New Jersey, 1976).

Kreyszig, E.: Differential Geometry. (Dover Publications, New York, 1991).

**           Libro di testo introduttivo sulla Geometria Differenziale delle curve e delle superfici nello spazio euclideo tridimensionale, presentato nella forma più semplice ed essenziale. L’approccio è quello tradizionale, basato sui sistemi di coordinate e sulle trasformazioni di coordinate; lo stile discorsivo e la presenza di numerosi commenti esplicativi fanno sì che la lettura del testo risulti nel complesso piuttosto agevole e lo rendono adatto anche per uno studio autodidattico.

Penrose, R. : The Road to Reality. (Knopf, New York, 2005).

** –        Un’opera a tutto campo sulle leggi fondamentali della Fisica e sulla Matematica/Geometria ad esse connessa, scritta da uno dei massimi scienziati del nostro tempo. L’intento dichiarato è divulgativo, e come tale è caratterizzato da notevole semplicità e chiarezza espositiva, ma la vastità degli argomenti trattati e soprattutto la profondità delle osservazioni rendono questo libro un’opera assolutamente unica, di grande valore per tutti gli studiosi di Fisica.

                I Capitoli xxx sono dedicata a xxx.

Sernesi, E.: Geometria. (Bollati Boringhieri, Torino, 2000).

**           Testo universitario indirizzato agli studenti del primo biennio di Matematica. L’esposizione è sistematica e rigorosa e nel complesso risulta ben comprensibile, anche se la lettura non è particolarmente agevole per il neofita a causa dell’approccio decisamente formale e stringato e della relativa scarsezza di commenti esplicativi e di immagini. Tratta non solo argomenti di Geometria Differenziale, ma anche di Algebra Lineare, Geometria Affine, Euclidea e Proiettiva, ed è quindi un testo di riferimento completo.

Articoli

Calvert, J. B.: Curves and Surfaces in Space. (http://www.du.edu/~etuttle/math/space.htm).

Siti Internet

Math Reference Project (www.mathreference.com).

** –        Raccolta di Tutorial, a vari livelli, su numerosi argomenti matematici. Di particolare interesse la sezione relativa ai determinanti.

PlanetMath (http://planetmath.org):

·        Fundamental Concepts in Differential Geometry.   ( ).

Indice Analitico


ascissa curvilinea....................................................... 6

Binormale..................................................................... 9

cerchio osculatore...................................................... 7

Curva

chiusa..................................................................... 4

di Jordan................................................................. 4

differenziabile........................................................ 5

equazioni naturali................................................ 10

lunghezza di....................................................... 5, 6

piana....................................................................... 5

regolare................................................................... 4

semplice.................................................................. 4

sghemba................................................................. 5

Curvatura..................................................................... 7

Curve

equazione esplicita............................................... 2

equazione implicita............................................... 2

equazioni parametriche........................................ 2

cuspidi......................................................................... 3

grafico.......................................................................... 2

invertibilità locale....................................................... 3

matrice Jacobiana....................................................... 4

Normale principale..................................................... 9

Piano normale............................................................. 7

Piano oscuratore........................................................ 7

punti multipli............................................................... 4

punto singolare.......................................................... 3

raggio di curvatura..................................................... 8

Raggio di torsione.................................................... 10

Tangente..................................................................... 6

Torsione...................................................................... 9

Triedro mobile............................................................. 9


 

Keywords

Geometria Differenziale, Filo di Arianna, Diego Vasdeki, ascissa curvilinea, Binormale, cerchio osculatore, Curva, Curvatura, cuspidi, grafico, Normale principale, Piano normale, Piano oscuratore, Proprietà geometriche, punti multipli, punto singolare, raggio di curvatura, raggio di torsione, Tangente, Torsione, Triedro mobile   

 



[1]   o, più in generale, delle curve giacenti su una superficie

[2]   in base alla definizione di funzione

[3]   in questi punti infatti la tangente risulterebbe indeterminata: dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = 0 / 0.

[4]   Per essere rigorosi questa definizione è relativa ad un arco di curva, mentre una curva è una generalizzazione in cui non si richiede che l’intervallo I sia chiuso né che sia limitato, purchè, per qualsiasi suo sottointervallo chiuso, si ottenga un arco di curva.

[5]   Il fatto che esistano due tipi di curvatura dipende dal fatto che in uno spazio tridimensionale esistono due direzioni indipendenti entrambe ortogonali ad una direzione data.