Il Filo di Arianna di Diego Vasdeki

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G-IV  GEOMETRIA PROIETTIVA

  (Versione 0.1 del  06/07/2005)

 

G-IV  GEOMETRIA PROIETTIVA

1       Ancora tutto da preparare, tranne:

1.1        Dualità

Bibliografia

Indice Analitico

Per diversi secoli la Geometria è stata studiata esclusivamente dal punto di vista metrico, e solo in tempi relativamente recenti ci si è accorti che esistono proprietà geometriche che possono essere formulate senza ricorrere a misurazioni o al confronto di lunghezze. La Geometria Proiettiva può essere considerata una generalizzazione della Geometria Affine che prescinde dalla nozione di parallelismo, e di confronto di lunghezze. Nella Geometria Proiettiva il terzo ed il quarto postulato di Euclide perdono di significato.

Nella Geometria Proiettiva due cose sono considerate essere la stessa cosa se sono entrambe delle viste di uno stesso oggetto: ad esempio un piatto visto dalla verticale risulta tondo, ma se ci si sposta appare ellittico a causa del fatto che viene osservato da un punto di vista angolato. L’ellisse e il cerchio sono equivalenti dal punto di vista proiettivo.

“La Geometria Proiettiva ha le sue origini nelle regole della prospettiva, che gli artisti del Rinascimento (Brunelleschi, L.B. Alberti, Piero della Francesca, Leonardo, …) studiarono scientificamente e applicarono sistematicamente. Queste regole sono basate sull’idea di punti di fuga verso cui concorrono i contorni degli oggetti così come essi appaiono da un punto di osservazione. […] Gli spazi ambiente in cui essa viene studiata costituiscono un modello matematico astratto di spazio in cui valgono proprietà di natura grafica simili alle regole del disegno prospettico. Gli Spazi Proiettivi nascono dall’esigenza di una Geometria da cui venga eliminata la nozione di parallelismo, che in Geometria Affine comporta il dover tener conto di casi d’eccezione quando si considera l’intersezione di sottospazi. La Geometria Proiettiva consente inoltre di interpretare geometricamente e rendere più trasparenti certe parti dell’Algebra Lineare, come ad esempio la Teoria dei sistemi di equazioni lineari omogenee”[1].

In attesa di sistemare gli Appunti, si può consultare: L. Lussardi -

                                              1Ancora tutto da preparare, tranne:

1.1Dualità

Assiomi Proiettivi

Nella Geometria Proiettiva vengono eliminate le eccezioni che, nella Geometria Affine, si presentano nel caso del parallelismo di sottospazi.

Per enunciare più sinteticamente alcune proprietà fondamentali dello Spazio Proiettivo, conviene adoperare il verbo appartenere[2] per denotare indifferentemente le relazioni fra punti, rette e piani che vengono normalmente espresse sia con la voce verbale attiva “contenere”, sia con quella passiva “essere contenuto” (o analoghe come passare, giacere, ecc.).

Così, ad esempio, se un punto è contenuto in una retta, si dirà indifferentemente che il punto appartiene alla retta o che la retta appartiene al punto.

Risultano pertanto valide, sia per gli elementi propri che per quelli impropri, le seguenti proprietà fondamentali:

CONGIUNGENTE

INTERSEZIONE

Due Punti distinti individuano una retta.

Due Piani distinti individuano una Retta .

Tre Punti non appartenenti ad una stessa Retta individuano un Piano.

Tre Piani non appartenenti ad una stessa retta individuano un punto.

Un punto e una retta che non si appartengono individuano un Piano.

Un Piano e una Retta che non si appartengono individuano un Punto.

Principio di Dualità

Esaminando gli Assiomi proiettivi, notiamo che ad ogni assioma di un gruppo ne corrisponde uno dell’altro gruppo, nel quale i termini Punto e Piano sono scambiati, mentre la parola Retta rimane invariata.

Conviene pertanto considerare il Punto ed il Piano come due oggetti geometrici reciprocamente duali e la retta  come un oggetto autoduale.

Analogamente da una proposizione geometrica è possibile ricavare la Proposizione Duale scambiando Punto con Piano e lasciando invariato il termine Retta. Se una proposizione coincide con la sua duale, essa è detta autoduale.

É così possibile formulare il cosiddetto Principio di Dualità:

La Verità di una Proposizione Geometrica
implica
la Verità della sua Proposizione Duale.

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Sernesi, E.: Geometria 1. (Bollati Boringhieri, Torino, 2000).

**           Testo universitario indirizzato agli studenti del primo biennio di Matematica. L’esposizione è sistematica e rigorosa e nel complesso risulta ben comprensibile, anche se la lettura non è particolarmente agevole per il neofita a causa dell’approccio decisamente formale e stringato e della relativa scarsezza di commenti esplicativi e di immagini. Tratta i diversi aspetti della Geometria (Affine, Euclidea e Proiettiva e Differenziale) e gli argomenti di Algebra Lineare ad essi correlati, ed è quindi un testo di riferimento completo.

Articoli

Lussardi, L. : Introduzione agli Spazi Proiettivi e alla Dualità (http://www.llussardi.it/divulgazione/pro.html).

Siti Internet

Math Reference Project (www.mathreference.com).

Raccolta di Tutorial, a vari livelli, su numerosi argomenti matematici. Di particolare interesse la sezione relativa ai determinanti.

Indice Analitico

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Keywords

Geometria Proiettiva, Filo di Arianna, Diego Vasdeki, Principio di Dualità             

 



[1]   E. Sernesi, cfr. Bibliografia, pag. 301.

[2]   in questo contesto il verbo appartenere viene usato con un’accezione decisamente più estesa di quella della Teoria degli Insiemi.