(Versione 1.0  del  22-09-2005)

 

G-III    GEOMETRIA AFFINE 1       Spazi Affini 1.1        Spazi Affini 1.2        Relazioni Geometriche Affini 2       Trasformazioni Affini 2.1        Trasformazioni di Coordinate Affini 2.2        Isomorfismo fra Spazi Affini 2.3        Affinità 3       Geometria Affine nel Piano e nello Spazio 3.1        Geometria Affine nel Piano 3.2        Geometria Affine nello Spazio Bibliografia Indice Analitico

La Geometria Affine può essere considerata una generalizzazione della Geometria Euclidea che prescinde dalla nozione di angolo: tra i suoi oggetti viene definita esclusivamente la relazione di parallelismo, e le lunghezze vengono confrontate esclusivamente fra segmenti di una stessa retta o di rette parallele. Pertanto il suo ambiente (lo Spazio Affine) non è dotato di una metrica. Nella Geometria Affine il terzo ed il quarto postulato di Euclide perdono di significato.

La Geometria Affine tratta quelle proprietà delle figure geometriche che vengono preservate a fronte di una proiezione parallela[1] da un piano ad un altro. In tal senso essa può essere considerata come un caso particolare della Geometria Proiettiva.

Figura 0‑1 - Proiezioni Parallele

                                                                                                  1Spazi Affini

Nel capitolo dedicato ai Vettori Geometrici abbiamo visto come, partendo dallo spazio ordinario della Geometria Euclidea, sia possibile, applicando vari procedimenti di carattere geometrico, arrivare a definire delle entità aventi in comune specifiche caratteristiche. Assiomatizzando tali proprietà si arriva alla definizione formale di Spazio Vettoriale.

Vogliamo ora percorrere il cammino inverso e vedere come sia possibile partire da uno Spazio Vettoriale e da un insieme di punti e, dopo aver impostro opportune condizioni, arrivare a definire una struttura algebrica rappresentativa dello spazio ordinario della Geometria Euclidea.

Tuttavia, mentre lo Spazio Euclideo è uno spazio metrico (dove cioè sono definite le nozioni di distanza, angolo, perpendicolarità, ecc.), la struttura che andremo a definire (detta Spazio Affine) prescinde totalmente da tali nozioni (in effetti queste nozioni non sono state richieste per definire i vettori geometrici), e viene quindi ad avere una maggiore generalità.

CHIARIRE CHE UNO SPAZIO AFFINE NON è UNO SPAZIO EUCLIDEO CON ASSI NON ORTOGONALI, in quanto è privo di metrica

1.1Spazi Affini

Definizione Base

Uno Spazio Affine su un K spazio vettoriale V è una struttura (A, V, Θ), dove A è un insieme (i cui elementi P sono detti Punti), e Θ un’applicazione AxA→V (indicata con  Θ(P₁, P₂), oppure con[2]  [P₁P₂], o anche con P₂–P₁, e detta talvolta differenza di punti ) t.c.:

Se K=ℝ  (K=ℂ) la struttura viene detta Spazio Affine Reale (Complesso).    

Dal primo assioma deriva che, fissato un punto O∊A, la funzione θ_O(P) := [OP] = v è biiettiva.

Il secondo assioma esprime sostanzialmente la regola del parallelogramma dei Vettori Spostamento.

da esso deriva che:

                     G-V      posto P=Q=R:   [PP] = 0                      (∀ P∊A);

                  G-VI      posto P=R:        [PR] = –[RP]              (∀ P, R ∊ A).

In uno Spazio Affine (A, V, Θ) è possibile definire un’operazione binaria esterna ⊕: (AxV → A) di Somma di un Punto con un Vettore come: P ⊕ v = Q, dove il punto Q risullta univocamente determinato dall’applicazione Θ ponendo:  [PQ] = v  (ovvero Q = (θ_P)^-1(v)).

Se V ha dimensione finita N, si dice che anche A ha dimensione finita N. (Per N=1 si parla di retta affine; per N=2 si parla di piano affine).

Nel seguito ci limiteremo a considerare unicamente spazi affini di dimensione finita.

La retta, il piano e lo spazio ordinari[3] sono rispettivamente una retta affine reale, un piano affine reale ed uno spazio affine reale di dimensione 3. Gli spazi vettoriali associati sono quelli dei Vettori Spostamento, e l’operazione che associa un vettore ad una coppia ordinata di punti è quella utilizzata per definire i vettori spostamento nello spazio ordinario. Quindi gli spazi affini sono generalizzazioni della retta, del piano e dello spazio ordinari.

Definizione Alternativa

In base a quanto visto prima, è possibile dare la seguente definizione alternativa:

Uno Spazio Affine su un K spazio vettoriale V è una struttura (A, V, ⊕), dove A è un insieme (i cui elementi P sono detti Punti), e ⊕ un’operazione binaria esterna AxV → A t.c.:

Dal terzo assioma deriva che ogni coppia di punti P,Q ∊A individua univocamente un vettore v∊V. Dal secondo assioma deriva che, detti Q = P ⊕ u (ovvero [PQ] = u, e R = Q ⊕ v (ovvero [QR] = v, sottraendo P a entrambi i membri, si ha: [PR] = [PQ] + [QR]; mentre il primo assioma fa sì che il secondo assioma si trasformi in un’identità quando Q = R.

Risulta pertanto dimostrata l’equivalenza delle due definizioni. In particolare le definizioni e le proprietà degli spazi affini possono essere date indifferentemente in termini della somma di un punto con un vettore o della differenza di due punti.

La prima definizione mette in evidenza il fatto che uno spazio affine ha natura di torsore, mentre la seconda mette maggiormente in risalto gli aspetti geometrici. Infine talvolta può risultare più comodo avere una struttura definita in termini di un’operazione binaria, piuttosto che in termini di un’applicazione su un altro insieme, ma probabilmente questa è solo una questione di gusti.

Ulteriori Definizioni

·        Il sottoinsieme di A definito da: S := {Q: Q = P ⊕ w} (dove P∊A,  w∊W e W è un sottospazio vettoriale di V) è detto Sottospazio Affine di A, passante per P, di giacitura W.

La dimensione della giacitura W costituisce anche la dimensione del sottospazio S. Se dim(W) = dim(V) – 1, allora S è detto iperpiano.

·        N+1 Punti di A individuano N vettori ( [P₀P₁],  [P₀P₂], … , [P₀P_N]) di V, i quali a loro volta individuano, tramite l’insieme delle loro combinazioni lineari, un sottospazio W di V. Quindi questi N+1 punti inidividuano il sottospazio affine passante per P₀ , di giacitura W e di dimensione Dim(W) ≤ N. Nel caso in cui Dim(W) = N ([4]), gli N+1 punti sono detti linearmente indipendenti, altrimenti sono detti linearmente dipendenti.

·        Dato uno spazio vettoriale U è possibile definire su di esso una struttura di Spazio Affine.

I “Punti” di questo Spazio Affine sono i vettori di U, mentre lo spazio vettoriale associato a questo Spazio Affine è definito da: V := {v: v = u₂ – u₁} (con u₁, u₂ ∊ U) . Chiaramente v∊U, e quindi V=U. L’applicazioène Θ così definita è data da: [u₁u₂] := u₂ – u₁.

Quindi ogni spazio vettoriale di dimensione finita può considerarsi come uno spazio affine su se stesso. In particolare, per V = K^N si parla di Spazio Affine Numerico su K, e si indica con A^N.

La coincidenza fra punti e vettori fa sì che la somma di un punto con un vettore si riconduca alla normale somma vettoriale: u₁ ⊕ [u₂u₃] = u₁ + u₃ – u₂.

Sistemi di Coordinate Affini

Scegliendo un punto arbitrario O∊A (detto Origine) ed una base {e_(i)} di V, in uno spazio affine viene assegnato un Sistema di Coordinate Affini (O, {e_(i)}) (detto anche Riferimento Affine) che consente di individuare univocamente il generico punto P per mezzo delle coordinate xⁱ, secondo la base {e_(i)}, del vettore v = [OP] = xⁱe_(i).

In altre parole, dopo aver fissato un sistema di coordinate affini in A, ogni punto è individuato univocamente da una N-pla ordinata (x¹, x², … , x^N) di elementi di K, ovvero da un elemento di K^N, e viene così stabilita una corrispondenza biunivoca fra A e K^N. 

Fissato un sistema di coordinate affini, si ha che: [PQ] = [OQ] – [OP], e quindi le coordinate del vettore [PQ] sono date da (q¹–p¹, q²–p², … , q^N–p^N), dove pⁱ e qⁱ sono le coordinate affini dei punti P e Q.

1.2Relazioni Geometriche Affini

Allineamento e Complanarità

Due punti P₀, P₁ sono linearmente indipendenti se e solo se sono distinti, ed in tal caso generano un sottospazio affine di dimensione 1, cioè una retta affine, i cui punti si dicono allineati.

La giacitura della retta (detta anche direzione della retta) è W = {w = t[P₀P₁]}, ovvero la retta è costituita dai punti P = P₀ ⊕ t[P₀P₁].

Tre punti P₀, P_1, P₂ linearmente indipendenti generano un sottospazio affine di dimensione 2, cioè un piano affine, i cui punti si dicono complanari.

La giacitura del piano è W = {w = t₁[P₀P₁] + t₂[P₀P₂]}, ovvero il piano è costituito dai punti P = P₀ ⊕ ( t₁[P₀P₁] + t₂[P₀P₂] ).

Equazioni Parametriche

Sia dato uno spazio affine su V^N ed un suo sistema di coordinate affini (O, {e_(i)}). Sia inoltre W^S un sottospazio vettoriale di V^N ed {f_(k)} una sua base.

Il sottospazio affine S di giacitura W^S passante per il punto Q è costituito dai punti: P = Q ⊕ t^kw_(k). Esprimendo i w_(k) secondo la base {e_(i)} abbiamo: w_(k) = W_kⁱ e_(i), da cui: [OP] = [OQ] + t^kW_kⁱ e_(i). Detti quindi: [OP] = xⁱ e_(i) e [OQ] = qⁱ e_(i), abbiamo:

( 1‑a