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G-III  GEOMETRIA AFFINE

  (Versione 1.0  del  22-09-2005)

 

G-III    GEOMETRIA AFFINE

1       Spazi Affini

1.1        Spazi Affini

1.2        Relazioni Geometriche Affini

2       Trasformazioni Affini

2.1        Trasformazioni di Coordinate Affini

2.2        Isomorfismo fra Spazi Affini

2.3        Affinità

3       Geometria Affine nel Piano e nello Spazio

3.1        Geometria Affine nel Piano

3.2        Geometria Affine nello Spazio

Bibliografia

Indice Analitico

La Geometria Affine può essere considerata una generalizzazione della Geometria Euclidea che prescinde dalla nozione di angolo: tra i suoi oggetti viene definita esclusivamente la relazione di parallelismo, e le lunghezze vengono confrontate esclusivamente fra segmenti di una stessa retta o di rette parallele. Pertanto il suo ambiente (lo Spazio Affine) non è dotato di una metrica. Nella Geometria Affine il terzo ed il quarto postulato di Euclide perdono di significato.

La Geometria Affine tratta quelle proprietà delle figure geometriche che vengono preservate a fronte di una proiezione parallela[1] da un piano ad un altro. In tal senso essa può essere considerata come un caso particolare della Geometria Proiettiva.

Figura 01 - Proiezioni Parallele

                                                                                                  1Spazi Affini

Nel capitolo dedicato ai Vettori Geometrici abbiamo visto come, partendo dallo spazio ordinario della Geometria Euclidea, sia possibile, applicando vari procedimenti di carattere geometrico, arrivare a definire delle entità aventi in comune specifiche caratteristiche. Assiomatizzando tali proprietà si arriva alla definizione formale di Spazio Vettoriale.

Vogliamo ora percorrere il cammino inverso e vedere come sia possibile partire da uno Spazio Vettoriale e da un insieme di punti e, dopo aver impostro opportune condizioni, arrivare a definire una struttura algebrica rappresentativa dello spazio ordinario della Geometria Euclidea.

Tuttavia, mentre lo Spazio Euclideo è uno spazio metrico (dove cioè sono definite le nozioni di distanza, angolo, perpendicolarità, ecc.), la struttura che andremo a definire (detta Spazio Affine) prescinde totalmente da tali nozioni (in effetti queste nozioni non sono state richieste per definire i vettori geometrici), e viene quindi ad avere una maggiore generalità.

CHIARIRE CHE UNO SPAZIO AFFINE NON è UNO SPAZIO EUCLIDEO CON ASSI NON ORTOGONALI, in quanto è privo di metrica

1.1Spazi Affini

Definizione Base

Uno Spazio Affine su un K spazio vettoriale V è una struttura (A, V, Θ), dove A è un insieme (i cui elementi P sono detti Punti), e Θ un’applicazione AxAV (indicata con  Θ(P1, P2), oppure con[2]  [P1P2], o anche con P2–P1, e detta talvolta differenza di punti ) t.c.:

·        PA  e  vV ,  un unico QA  t.c.:             [PQ] = v ;

·        P, Q, R A :                                                      [PQ] + [QR] = [PR]

Se K=  (K=) la struttura viene detta Spazio Affine Reale (Complesso).    

Dal primo assioma deriva che, fissato un punto OA, la funzione θO(P) := [OP] = v è biiettiva.

Il secondo assioma esprime sostanzialmente la regola del parallelogramma dei Vettori Spostamento.

da esso deriva che:

                     G-V      posto P=Q=R:   [PP] = 0                      ( PA);

                  G-VI      posto P=R:        [PR] = –[RP]              ( P, R A).

In uno Spazio Affine (A, V, Θ) è possibile definire un’operazione binaria esterna : (AxVA) di Somma di un Punto con un Vettore come: P v = Q, dove il punto Q risullta univocamente determinato dall’applicazione Θ ponendo:  [PQ] = v  (ovvero Q = (θP)-1(v)).

Se V ha dimensione finita N, si dice che anche A ha dimensione finita N. (Per N=1 si parla di retta affine; per N=2 si parla di piano affine).

Nel seguito ci limiteremo a considerare unicamente spazi affini di dimensione finita.

La retta, il piano e lo spazio ordinari[3] sono rispettivamente una retta affine reale, un piano affine reale ed uno spazio affine reale di dimensione 3. Gli spazi vettoriali associati sono quelli dei Vettori Spostamento, e l’operazione che associa un vettore ad una coppia ordinata di punti è quella utilizzata per definire i vettori spostamento nello spazio ordinario. Quindi gli spazi affini sono generalizzazioni della retta, del piano e dello spazio ordinari.

Definizione Alternativa

In base a quanto visto prima, è possibile dare la seguente definizione alternativa:

Uno Spazio Affine su un K spazio vettoriale V è una struttura (A, V, ), dove A è un insieme (i cui elementi P sono detti Punti), e un’operazione binaria esterna AxV A t.c.:

·        PA                                                                   P 0 = P

·        PA  e  u,v V                                             (P u) v = P ⊕ (u + v)

·        P, Q A   un unico vV  t.c.:                         Q = P v ;

Dal terzo assioma deriva che ogni coppia di punti P,Q A individua univocamente un vettore vV. Dal secondo assioma deriva che, detti Q = P u (ovvero [PQ] = u, e R = Q v (ovvero [QR] = v, sottraendo P a entrambi i membri, si ha: [PR] = [PQ] + [QR]; mentre il primo assioma fa sì che il secondo assioma si trasformi in un’identità quando Q = R.

Risulta pertanto dimostrata l’equivalenza delle due definizioni. In particolare le definizioni e le proprietà degli spazi affini possono essere date indifferentemente in termini della somma di un punto con un vettore o della differenza di due punti.

La prima definizione mette in evidenza il fatto che uno spazio affine ha natura di torsore, mentre la seconda mette maggiormente in risalto gli aspetti geometrici. Infine talvolta può risultare più comodo avere una struttura definita in termini di un’operazione binaria, piuttosto che in termini di un’applicazione su un altro insieme, ma probabilmente questa è solo una questione di gusti.

Ulteriori Definizioni

·        Il sottoinsieme di A definito da: S := {Q: Q = P w} (dove PA,  wW e W è un sottospazio vettoriale di V) è detto Sottospazio Affine di A, passante per P, di giacitura W.

La dimensione della giacitura W costituisce anche la dimensione del sottospazio S. Se dim(W) = dim(V) – 1, allora S è detto iperpiano.

·        N+1 Punti di A individuano N vettori ( [P0P1],  [P0P2], … , [P0PN]) di V, i quali a loro volta individuano, tramite l’insieme delle loro combinazioni lineari, un sottospazio W di V. Quindi questi N+1 punti inidividuano il sottospazio affine passante per P0 , di giacitura W e di dimensione Dim(W) ≤ N. Nel caso in cui Dim(W) = N ([4]), gli N+1 punti sono detti linearmente indipendenti, altrimenti sono detti linearmente dipendenti.

·        Dato uno spazio vettoriale U è possibile definire su di esso una struttura di Spazio Affine.

I “Punti” di questo Spazio Affine sono i vettori di U, mentre lo spazio vettoriale associato a questo Spazio Affine è definito da: V := {v: v = u2 – u1} (con u1, u2 U) . Chiaramente vU, e quindi V=U. L’applicazioène Θ così definita è data da: [u1u2] := u2u1.

Quindi ogni spazio vettoriale di dimensione finita può considerarsi come uno spazio affine su se stesso. In particolare, per V = KN si parla di Spazio Affine Numerico su K, e si indica con AN.

La coincidenza fra punti e vettori fa sì che la somma di un punto con un vettore si riconduca alla normale somma vettoriale: u1 [u2u3] = u1 + u3u2.

Sistemi di Coordinate Affini

Scegliendo un punto arbitrario OA (detto Origine) ed una base {e(i)} di V, in uno spazio affine viene assegnato un Sistema di Coordinate Affini (O, {e(i)}) (detto anche Riferimento Affine) che consente di individuare univocamente il generico punto P per mezzo delle coordinate xi, secondo la base {e(i)}, del vettore v = [OP] = xie(i).

In altre parole, dopo aver fissato un sistema di coordinate affini in A, ogni punto è individuato univocamente da una N-pla ordinata (x1, x2, … , xN) di elementi di K, ovvero da un elemento di KN, e viene così stabilita una corrispondenza biunivoca fra A e KN. 

Fissato un sistema di coordinate affini, si ha che: [PQ] = [OQ] – [OP], e quindi le coordinate del vettore [PQ] sono date da (q1–p1, q2–p2, … , qN–pN), dove pi e qi sono le coordinate affini dei punti P e Q.

1.2Relazioni Geometriche Affini

Allineamento e Complanarità

Due punti P0, P1 sono linearmente indipendenti se e solo se sono distinti, ed in tal caso generano un sottospazio affine di dimensione 1, cioè una retta affine, i cui punti si dicono allineati.

La giacitura della retta (detta anche direzione della retta) è W = {w = t[P0P1]}, ovvero la retta è costituita dai punti P = P0 t[P0P1].

Tre punti P0, P1, P2 linearmente indipendenti generano un sottospazio affine di dimensione 2, cioè un piano affine, i cui punti si dicono complanari.

La giacitura del piano è W = {w = t1[P0P1] + t2[P0P2]}, ovvero il piano è costituito dai punti P = P0 ( t1[P0P1] + t2[P0P2] ).

Equazioni Parametriche

Sia dato uno spazio affine su VN ed un suo sistema di coordinate affini (O, {e(i)}). Sia inoltre WS un sottospazio vettoriale di VN ed {f(k)} una sua base.

Il sottospazio affine S di giacitura WS passante per il punto Q è costituito dai punti: P = Q tkw(k). Esprimendo i w(k) secondo la base {e(i)} abbiamo: w(k) = Wki e(i), da cui: [OP] = [OQ] + tkWki e(i). Detti quindi: [OP] = xi e(i) e [OQ] = qi e(i), abbiamo:

( 1a)                           xi = tkWki + qi             (i = 1, 2, … , N;   k = 1, 2, … , S)

Le ( 1a) sono dette equazioni parametriche del sottospazio affine S, in quanto, al variare dei parametri tk, forniscono le coordinate dei punti di questo sottospazio.

É chiaro che le ( 1a) non sono univocamente determinate da S, ma dipendono dalla scelta del punto Q e della base di W, e che sono inoltre relative ad una particolare base di V.

Nel caso di un iperpiano, eliminando N-1 parametri tk dalle N equazioni ( 1a) si ottiene un’unica equazione (detta equazione cartesiana) del tipo:

( 1b)                           aixi = b

dove gli ai non sono tutti nulli, e b=0 se e solo se il sottospazio passa per l’origine.

Parallelismo

Due sottospazi affini S e T si dicono paralleli se, dette W ed U le rispettive giaciture, risulta WU oppure UW. Ciò comporta che, se dim(S) = dim(T), allora S e T sono paralleli se e solo se W=U ([5]).

La relazione di parallelismo viene pertanto ricondotta alla relazione di inclusione tra spazi vettoriali; essa è una relazione di equivalenza solo nel caso di sottospazi con uguale dimensione.

Nel caso delle rette e dei piani affini, questa relazione si riconduce alla consueta nozione di parallelismo. Ad es., se dim(S) = dim(T) = 1, abbiamo che due rette affini sono parallele se e solo se hanno la stessa direzione.

Nella Geometria Euclidea la definizione di parallelismo come assenza di punti in comune vale solo per rette complanari; per poterla estendere alle rette nello spazio è necessario aggiungere la condizione che la separazione fra le due rette (distanza minima fra due punti) rimanga costante.

In base a questa definizione la nozione di parallelismo si può applicare anche a sottospazi di dimensione differente, ad esempio una retta ed un piano. In questo caso perè due rette entrambe parallele ad uno stesso piano possono non essere parallele fra di loro.

La relazione di inclusione tra le giaciture comporta una analoga relazione di inclusione fra i corrispondenti sottospazi affini, purchè questi abbiano almeno un punto in comune. Cioe: dati due sottospazi affini paralleli S e T aventi almeno un punto in comune:

·        se dim(S) < dim(T), allora ST

·        se dim(S) = dim(T), allora S=T

La seconda relazione implica la coincidenza di tutti i sottospazi affini di uguale dimensione, fra loro paralleli e passanti per uno stesso punto P, ovvero l’esistenza di un unico sottospazio di dimensione S passante per un punto assegnato P e parallelo ad un dato sottospazio di pari dimensione S.

Chiaramente questa è una generalizzazione del quinto postulato di Euclide: infatti, se dim(S)=1, allora si ha che: data una retta r ed un punto P fuori di essa, esiste una ed una sola retta passante per P parallela ad r. In altre parole:

Gli assiomi della Geometria Affine implicano
la validità del Quinto Postulato di Euclide.

Incidenza

Due sottospazi affini S e T non paralleli si dicono:

·        incidenti se hanno almeno un punto in comune.

La loro intersezione è un sottospazio affine di dimensione Dim(ST) ≤ min(Dim(S), Dim(T)).

·        sghembi se non hanno alcun punto in comune.

                                                                            2Trasformazioni Affini

2.1Trasformazioni di Coordinate Affini

Siano R = (O, {e(i)}) e R’ = (O’, {e’(k)}) due riferimenti di uno spazio affine A. Se conosciamo le coordinate di un punto P secondo R, per trovare le sue coordinate secondo R’ è sufficiente considerare che: [OP] = [OO’] + [O’P].

Dette xi e bi le coordinate dei punti P e O’ secondo R, e x’k le coordinate di P secondo R’, abbiamo: (xi – bi)e(i) = x’ke’(k) = x’kAkpe(p) (dove Akp è la matrice di trasformazione dalla base {e(i)} alla base {e’(i)}). Con lo stesso procedimento utilizzato per i cambiamenti di base degli spazi vettoriali si dimostra che, detti rispettivamente X, X’ e B i vettori colonna delle coordinate, si ha:

( 2a)                           X’ = A-TX B

(dove A-T è la matrice contragredeiente di A)

Pertanto, a parte la traslazione associata al termine B, abbiamo che le coordinate affini dei punti di A si trasformano come le coordinate dei vettori di V, e quindi:

Le Coordinate Affini sono Controvarianti.

2.2Isomorfismo fra Spazi Affini

Siano A ed A’ due spazi affini rispettivamente su due K-spazi vettoriali V e su V’ e F: V→V’ un isomorfismo da V a V’. Un isomorfismo di A su A’ è un’applicazione biiettiva f: A→A’ tale che:

( 2b)                           [f(P)f(Q)] = F([PQ]) P, Q A.

Poiché, per definizione, le applicazioni f ed F sono entrambe biunivoche e poiché sia i punti P, Q A che le relative immagini f(P), f(Q) A’ individuano univocamente i corrispondenti vettori [PQ] V e [f(P)f(Q)] V’, ne consegue che l’applicazione f determina univocamente l’isomorfismo F. Quest’ultimo viene pertanto detto isomorfismo associato ad f.

In altre parole, un isomorfismo fra spazi affini è un’applicazione biunivoca fra di essi che soddisfa la ( 2b); esso individua univocamente un isomorfismo tra i corrispondenti spazi vettoriali.

 

Figura 21 - Isomorfismo fra Spazi Affini

Detto Q = P [PQ] abbiamo: f(Q) = f(P) F([PQ]) = f(P) [f(P)f(Q)], da cui si vede che gli isomorfismi fra spazi affini preservano l’operazione di somma di un punto con un vettore, e quindi anche le relazioni di allineamento e di complanarità tra punti.

Un caso particolarmente importante si ha considerando uno spazio affine su KN (detto N-spazio affine numerico su K, e viene indicato con A(KN)) e l’applicazione f:AA(KN) che associa al generico punto P le sue coordinate affini P (secondo un riferimento assegnato(O,{e(i)})): f(P) = (x1, x2, … , xN). Poiché questa applicazione è biunivoca e soddisfa la ( 2b), abbiamo che: ogni spazio affine di dimensione N su K è isomorfo a A(KN), e quindi, per la proprietà transitiva degli isomorfismi:

Tutti gli Spazi Affini della stessa Dimensione
sullo stesso Campo sono isomorfi tra loro.

2.3Affinità

Affinità

Un automorfismo su uno spazio affine A (ovvero un isomorfismo di A su A)  viene detto un’Affinità di A.

Un’affinità è quindi una invertibile su uno spazio affine che soddisfa la ( 2b); essa individua univocamente un automorfismo sul suo spazio vettoriale.

L’automorfismo associato ad un’affinità appartiene, per definizione, a GL(V) (il Gruppo Lineare Generale di V).

Un’affinità può essere pensata intuitivamente come una trasformazione che è compatibile con la struttura di spazio affine e pertanto lascia inalterate le relazioni geometriche che dipendono dalle proprietà dei vettori.

Si dimostra che un’affinità f è unicamente individuata da un automorfismo F sul suo spazio vettoriale e dall’immagine f(P) di un suo punto qualsiasi.

Si verifica immediatamente che la composizione funzionale di due affinità è ancora un’affinità, e che l’insieme delle affinità di A, dotato di questa operazione, ha struttura di gruppo (in genere non abeliano); esso viene detto Gruppo Affine di A e viene indicato con Aff(A); i suoi sottogruppi vengono detti Gruppi di Trasformazioni Affini di A.

Nel caso dell’N spazio affine numerico il gruppo Aff(A(KN)) viene detto Gruppo Affine di ordine N su K, e viene indicato con Aff(KN).

Traslazioni

Una Traslazione è un’affinità che associa ad ogni punto P la somma di quel punto con un vettore assegnato v: tv(P) := P v.

L’automorfismo associato ad una traslazione è 1V (l’identità di V).

Le traslazioni mandano una qualsiasi coppia ordinata di punti in un’altra che definisce lo stesso vettore. Intuitivamente le traslazioni possono essere pensate come movimenti rigidi dello spazio.

L’insieme delle traslazioni forma un gruppo di trasformazioni affini, detto Gruppo delle Traslazioni di A, e indicato con T(A).

Omotetie

Un’Omotetia è un’affinità che mantiene fermo un punto O (detto centro) e che è associata all’automorfismo F = c1V.

L’automorfismo associato ad una traslazione è 1V (l’identità di V).

Le traslazioni mandano una qualsiasi coppia ordinata di punti in un’altra che definisce lo stesso vettore. Intuitivamente le traslazioni possono essere pensate come movimenti rigidi dello spazio.

L’insieme delle omotetie forma un gruppo di trasformazioni affini, detto Gruppo delle Traslazioni di A, e indicato con T(A).

 

                                  3Geometria Affine nel Piano e nello Spazio

ARGOMENTO ANCORA DA IMPOSTARE.

SE AVETE DEI CONTRIBUTI, VI PREGO DI INVIARMELI

3.1Geometria Affine nel Piano

3.2Geometria Affine nello Spazio

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Sernesi, E.: Geometria 1. (Bollati Boringhieri, Torino, 2000).

**           Testo universitario indirizzato agli studenti del primo biennio di Matematica. L’esposizione è sistematica e rigorosa e nel complesso risulta ben comprensibile, anche se la lettura non è particolarmente agevole per il neofita a causa dell’approccio decisamente formale e stringato e della relativa scarsezza di commenti esplicativi e di immagini. Tratta i diversi aspetti della Geometria (Affine, Euclidea e Proiettiva e Differenziale) e gli argomenti di Algebra Lineare ad essi correlati, ed è quindi un testo di riferimento completo.

Articoli
Siti Internet

Math Reference Project (www.mathreference.com).

** –        Raccolta di Tutorial, a vari livelli, su numerosi argomenti matematici. Di particolare interesse la sezione relativa ai determinanti.

Indice Analitico


Affinità......................................................................... 8

allineamento................................................................ 4

complanarità................................................................ 4

Controvarianza........................................................... 7

Coordinate affini......................................................... 4

dipendenza lineare..................................................... 3

equazione cartesiana

di un iperpiano...................................................... 5

equazioni parametriche

di un sottospazio affine....................................... 4

Geometria Affine........................................................ 1

giacitura....................................................................... 3

Gruppo

affine....................................................................... 9

delle traslazioni...................................................... 9

lineare generale..................................................... 8

indipendenza lineare.................................................. 3

Isomorfismo................................................................ 7

matrice

contragrediente..................................................... 7

di trasformazione................................................... 7

Omotetie...................................................................... 9

parallelismo................................................................. 5

Sottospazi Affini

incidenti.................................................................. 5

sghembi.................................................................. 6

Sottospazio Affine..................................................... 3

Spazio Affine.............................................................. 2

numerico................................................................. 4

Traslazioni................................................................... 9


 

Keywords

Geometria Affine, Filo di Arianna, Diego Vasdeki, Affinità, allineamento, complanarità, Controvarianza, Coordinate affini, dipendenza lineare, equazione cartesiana di un iperpiano, equazioni parametriche di un sottospazio affine, giacitura, Gruppo affine, Gruppo delle traslazioni, Gruppo lineare generale, indipendenza lineare, Isomorfismo, matrice contragrediente, matrice di trasformazione, Omotetie, parallelismo, Sottospazi Affini, incidenti, sghembi, Spazio Affine, Traslazioni


 



[1]   tale cioè che le rette che collegano punti corrispondenti sono parallele.

[2]   utilizzeremo la notazione [OP] invece di quella standard  per comodità informatica

[3]   con il termine ordinario intendiamo “della Geometria Euclidea”

[4]   ovvero se gli N vettori [P0P1],  [P0P2], … , [P0PN] sono linearmente indipendenti

[5]   in quanto, in tal caso deve risultare sia WU che UW.