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G-I  GEOMETRIA EUCLIDEA

  (Versione 1.1 del  09-10-2005)

G-I.. GEOMETRIA EUCLIDEA

1          La Formulazione Assiomatica  della Geometria Euclidea

1.1        La Formulazione Euclidea

1.2        Le Altre Formulazioni

1.3        L’Approccio Moderno alla Geometria Euclidea

2          Le Geometrie Non Euclidee

3          La Geometria Analitica

3.1        Il Metodo delle Coordinate

3.2        Trasformazioni di Coordinate nello Spazio Euclideo

4          Il seguito è ancora in preparazione!

Bibliografia

Indice Analitico

 

In questo capitolo tratteremo la Geometria Euclidea, sia negli aspetti che riguardano le sue principali formulazioni assiomatiche, sia negli aspetti connessi all’Algebra Lineare ed in particolare agli Spazi Vettoriali. Verrà inoltre fornita una breve illustrazione del metodo delle coordinate della Geometria Analitica e dei principali aspetti delle Geometrie non Euclidee.

Altri capitoli degli Appunti sono dedicati ai Vettori Geometrici, alla Geometria Affine, alla Geometria Differenziale ed alla Geometria Proiettiva.

 

 

                                                            1La Formulazione Assiomatica
della Geometria Euclidea

1.1La Formulazione Euclidea

Il Metodo Assiomatico

Le radici del moderno metodo assiomatico risalgono ad Euclide (III sec. a.C.): il suo capolavoro (∑τoιχεια : Elementi, Principi fondamentali) è infatti il primo sistema ipotetico-deduttivo sviluppato in maniera organica e rigorosa. Quest’opera è un trattato di Matematica e di Geometria composto da tredici libri comprendenti una serie di definizioni, postulati (assiomi), proposizioni (teoremi) e relative dimostrazioni, che coprono la geometria piana e solida e la versione greca della teoria dei numeri (proporzioni, proprietà dei numeri, grandezze incommensurabili).

La Geometria Euclidea è finalizzata a descrivere le figure geometriche e le relazioni spaziali dello spazio fisico che ci circonda, ricavandole in maniera deduttiva a partire da alcune proprietà fondamentali (assiomi); queste proprietà – pur essendo percepite intuitivamente – non possono tuttavia essere dimostrate, e le relative entità e relazioni fondamentali (punti, rette, piani, incidenza, …) non possono essere definite in termini di altre entità o relazioni, ma devono essere assunte come termini non definiti.

Un sistema definito assiomaticamente è di natura astratta; esso può tuttavia essere applicato a situazioni specifiche stabilendo in che modo ciascuno dei termini non definiti debba essere interpretato, ottenendo così un particolare modello del sistema (è importante rilevare che tale modello determina solo l’interpretazione dei termini, ma non li definisce). Possiamo pertanto affermare che lo spazio fisico costituisce un modello della Geometria Euclidea.

I Cinque Postulati

Gli assiomi[1] posti da Euclide alla base della Geometria (Postulati di Euclide) possono essere formulati, utilizzando un linguaggio moderno, come segue:

1.      Dati due Punti, esiste uno ed un solo Segmento che li congiunge.

2.      Ogni Segmento può essere prolungato indefinitamente in Linea Retta.

3.      É sempre possibile tracciare un Cerchio avente Raggio e Centro assegnati.

4.      Tutti gli Angoli Retti sono congruenti.

5.      Data una Retta ed un Punto fuori di essa, per questo Punto passa una ed una sola Parallela alla Retta data.

Esaminiamo in dettaglio le caratteristiche dello spazio derivanti dai vari postulati:

1.      Il Primo Postulato ci dice che la retta (o il segmento) è la più semplice entità geometrica dopo il punto, in quanto sono sufficienti due soli punti per identificarla. Da quest’unico postulato non è tuttavia possibile evincere ulteriori proprietà della retta, in quanto queste dipendono anche dagli altri postulati che vengono assunti.

2.      Il Secondo Postulato esclude la possibilità che lo spazio sia chiuso (come ad esempio nel caso di una sfera): esso può essere esteso indefinitamente e senza “buchi”.

Una formulazione più precisa di questo postulato è la seguente: Per ogni segmento AB e per ogni segmento CD, esiste uno e un solo punto E tale che B è compreso fra A ed E ed il segmento CD è congruente al segmento BE.

3.      Il Terzo Postulato esprime l’isotropia dello spazio, ossia la sua uniformità nelle varie direzioni: quando un segmento (il raggio del cerchio) ruota attorno ad un suo estremo (il centro del cerchio) la sua lunghezza rimane costante, tutte le direzioni sono cioè equivalenti ed il raggio non subisce distorsioni mentre ruota.

4.      Il Quarto Postulato richiede la definizione di angolo retto (quando due rette incidenti formano angoli adiacenti uguali, tali angoli vengono detti retti) ed asserisce la possibilità di spostare rigidamente un angolo retto da un punto ad un altro dello spazio o di ruotarlo di un angolo qualsiasi senza che queste operazioni introducano alcuna deformazione: tutti gli angoli retti sono congruenti, a prescindere dalla loro posizione e dal loro orientamento.

Anche il quarto postulato è connesso con l’omogeneità e l’isotropia dello spazio, di modo che una figura in un posto può avere la stessa forma (ovvero essere congruente) di una figura in un altro posto.

Esso esclude anche che le rette possano avere degli angoli, e ci dice che lo spazio è “localmente piatto”, cioè che una regione abbastanza piccola di spazio non ha curvatura.

 

 

      

Figura 1‑1 - Quarto Postulato

5.      Il Quinto Postulato fa riferimento alla nozione di parallelismo (due rette nello stesso piano sono dette parallele se non si intersecano); da esso dipendono, tra l’altro, sia il fatto che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è uguale a due angoli retti, sia la validità del teorema di Pitagora (infatti per costruire un quadrato, su un cateto o sull’ipotenusa, è necessario tracciare una parallela, e quindi questa deve esistere ed essere unica) il quale è a sua volta alla base della formula di calcolo delle distanze. In termini moderni diremmo che il quinto postulato è alla base della metrica euclidea.

I primi quattro postulati riguardano gli oggetti base della geometria piana (punto, retta, cerchio, angolo retto), che possono essere costruiti con righello e compasso (i cosiddetti strumenti Euclidei delle costruzioni geometriche).  Essi racchiudono sostanzialmente il nostro concetto di spazio metrico bidimensionale, totalmente omogeneo, isotropo ed infinitamente esteso.  La Geometria che si basa solo su questi quattro postulati è detta Geometria Assoluta.

Il quinto postulato riguarda la nozione di parallelismo, è indipendente dagli altri quattro, e può essere negato dando così origine alle Geometrie non Euclidee.

Le Cinque Nozioni Comuni

Gli Elementi includono cinque Nozioni Comuni, che sono essenzialmente gli assiomi logici che stabiliscono le regole da utilizzare per la dimostrazione dei teoremi.

1)      Cose che sono uguali alla stessa cosa sono anche uguali fra di loro.

2)      Aggiungendo parti uguali a cose uguali, le somme sono uguali fra loro.

3)      Sottraendo parti uguali a cose uguali, le differenze sono uguali fra loro.

4)      Cose che coincidono l’un l’altra sono uguali fra di loro.

5)      Il tutto è maggiore della parte.

La Congruenza

La nozione centrale nella Geometria Euclidea è la Congruenza, intendendo con questo termine l’equivalenza delle forme, la possibilità cioè di sovrapporre due figure geometriche – in modo da farle coincidere esattamente – senza “deformarle”. Nella Geometria Euclidea gli oggetti possono essere spostati rigidamente (cioè possono essere ruotati e/o traslati), o anche sottoposti a riflessioni speculari, ma non possono essere allungati o piegati. Questo tipo di operazione lascia quindi invariate le lunghezze e gli angoli, e tutte le grandezze che dipendono solamente da lunghezze ed angoli.

In termini un po’ più formali, due figure geometriche A e B sono dette congruenti se esiste un’isometria tale che B = f(A), ovvero se è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di A e quelli di B in modo tale da preservare le distanze fra le coppie di punti.

La relazione di congruenza è chiaramente una relazione di equivalenza: ciò che rende equivalenti due figure geometriche congruenti sono quelle proprietà (come ad esempio la misura del perimetro o dell’area) che restano invariate a seguito di uno spostamento rigido (Invarianti Euclidei). É proprio questo particolare tipo di invarianza che contraddistingue la Geometria Euclidea dalle altre Geometrie (quella Affine o quella Proiettiva).

La relazione di congruenza è un caso particolare della relazione di similitudine (dove tutte le distanze risultano moltiplicate per uno stesso fattore), ed è una relazione di natura metrica.

Lo Spazio Euclideo

L’insieme dei punti della Geometria Euclidea è detto Spazio Euclideo.

Indicheremo in particolare con:

·        1 la retta ordinaria;

·        2 il piano ordinario;

·        3 lo spazio tridimensionale ordinario;

·        N la generalizzazione a N dimensioni.

Come vedremo, il metodo delle coordinate della Geometria Analitica consente di stabilire una corrispondenza biunivoca fra l’insieme dei punti di uno spazio euclideo ( N) e l’insieme delle n-ple ordinate di numeri reali (N).

Tuttavia lo spazio N non coincide con N, ma ha una struttura più ricca, che gli deriva dagli assiomi della Geometria Euclidea. Si tratta di una struttura di spazio metrico, dove la distanza fra due punti P e Q è la lunghezza del segmento , ed è data dal Teorema di Pitagora:

 ( 1‑a)                          .

(pi e qi sono le coordinate cartesiane dei due punti).

É proprio la presenza di una metrica che rende possibile confrontare le lunghezze di due segmenti, qualsiasi sia il loro orientamento, e definire le cosiddette grandezze metriche (angoli, superfici, …) e relazioni metriche (perpendicolarità, congruenza, …).

Possiamo pertanto affermare che:

Lo Spazio Euclideo N ha la stessa Struttura
di 
N dotato della Metrica Euclidea.

Evidenziamo che, mentre in N non esistono né punti né direzioni privilegiate, in N invece il punto (0, 0, … , 0) e gli assi coordinati sono chiaramente distinguibili dagli altri punti e dalle altre rette. In altre parole, mentre N prescinde dalla presenza o meno di un sistema di coordinate, N rappresenta N dotato di uno specifico sistema di coordinate. Tuttavia queste differenze non inficiano l’isomorfismo esistente fra N e N.

1.2Le Altre Formulazioni

I cinque assiomi di Euclide sono in qualche modo incompleti.

Ad esempio la Proposizione 1 definisce il procedimento per costruire un triangolo equilatero a partire da un segmento assegnato, tracciando due circonferenze centrate sugli estremi del segmento e prendendo quindi uno dei loro due punti di intersezione come terzo vertice del triangolo. Gli assiomi di Euclide tuttavia non garantiscono che le due circonferenze si intersechino effettivamente.

Oppure la Proposizione 4 (congruenza di due triangoli aventi due lati e l’angolo compreso uguali) è basata sul principio di sovrapposizione, il quale tuttavia non è definito.

Sono quindi stati costruiti diversi sistemi rivisti di assiomi. Aumentando il numero di assiomi è possibile ridurre il numero dei termini, operazioni e relazioni non definiti.

Gli Assiomi di Hilbert

Nella formulazione di Hilbert del sistema assiomatico di Euclide, vengono assunte come entità primitive della geometria piana il punto e la retta, e come relazioni primitive l’appartenenza (o incidenza) di un punto ad una retta, il giacere di un punto tra altri due punti, e la congruenza di segmenti.

I.      Assiomi di Incidenza

I.1        Dati due punti distinti, esiste una e una sola retta a che contiene entrambi i punti.

I.2        Ogni retta contiene almeno due punti. Esistono almeno tre punti che non giacciono su questa retta.

I.3        Dati tre punti non allineati, esiste uno e un solo piano che contiene tutti e tre i punti. Ogni piano contiene almeno un punto.

I.4        Se due punti di una retta giacciono su un piano, allora anche tutti gli altri punti della retta giacciono su questo piano.

I.5        Se un punto giace su due piani distinti, allora esiste almeno un altro punto giacente su entrambi questi piani.

I.6        Esistono almeno quattro punti che non giacciono sullo stesso piano.

II.    Assiomi di “Giacere fra” e di Ordine

II.1      Se un punto B giace fra i punti A e C, allora i punti A, B e C sono tre punti distinti sulla stessa retta, e B giace fra C ed A.

II.2      Dati due punti A e C, esiste almeno un punto B, sulla retta AC, giacente fra di essi.

II.3      Dati tre punti qualsiasi di una retta, uno e uno solo di essi giace fra gli altri due.

II.4      (Assioma di Pash) Se una retta giacente sul piano di un triangolo incontra un lato del triangolo, allora essa incontra anche uno degli altri due lati.

III.   Assiomi di Congruenza

III.1     Dati due punti distinti A e B ed un punto arbitrario A’, su una qualsiasi semiretta con origine in A’, esiste uno e un solo punto B’ tale che B’≠A’ e A'B' AB.

III.2     Se i segmenti A'B' e A"B" sono entrambi congruenti ad uno stesso segmento AB, allora sono anche congruenti fra di loro (A'B' A"B").

III.3     Se i segmenti AB e BC sono congruenti rispettivamente ai segmenti A'B' e B'C', dove il punto B giace fra i punti A e C, allora il segmento AC è congruente al segmento A'C' .

III.4     Dato un angolo ABC ed una semiretta B'C', esiste una e una sola semiretta B'A' su ogni lato della retta B'C' tale che A'B'C' ≅ ∠ABC.

            Corollario: Ogni angolo è congruente a se stesso.

III.5     Dati due triangoli ABC e A'B'C', le congruenze AB A'B', AC A'C' e BAC B'A'C' implicano la congruenza: ABC A'B'C'.

IV.   Assioma delle Parallele

IV.1     Data una retta a e un punto A non su di essa, esiste non più di una retta, nel piano che contiene a e A, che passa per A e che non interseca a.

V.    Assiomi di Continuità

V.1      (Assioma di Archimede) Dati due segmenti AB e CD, esiste un numero n tale che, ponendo continuamente il segmento CD n volte consecutive lungo la semiretta AB, si oltrepassa il punto B (ovvero si raggiunge un punto E tale che n CD AE ed il punto B giace fra A ed E).

V.2      (Assioma di Dedekind) Supponiamo che l’insieme dei punti di una retta r sia l’unione Σ1Σ 2 di due sottoinsiemi non vuoti tali che nessun punto di Σ 1 giaccia fra due punti di Σ 2 e viceversa. Allora esiste un unico punto O di r tale che O giace fra P1 e P2 se e solo se P1Σ 1, P2Σ 2 e O≠P1, P2.

Osservazioni

·      Esiste un assioma analogo a quello di Archimede nell’ambito del sistema dei numeri reali (dati due numeri positivi x ed y, esiste un numero intero positivo n tale che: nx = y), e ciò non deve stupire in quanto vorremmo avere una corrispondenza fra ogni rerra euclidea e l’insieme dei numeri reali.

Il punto principale dell’assioma di Archimede (in ambito geometrico) è che se scegliamo un qualsiasi segmento come unità di misura, allora ogni segmento ha lunghezza finita rispetto a questa misura: Niente può essere troppo grande: n CD > AB e, invertendo i ruoli dei due segmenti, Niente può essere troppo piccolo: n EF > CD (dove CD è stato scelto come unità di misura).

·      L’assioma di Archimede non è sufficiente ai fini della geometria, in quanto l’insieme dei numeri razionali, pur soddisfacendo tale assioma, crea dei problemi in altre situazioni. Considerando ad esempio l’insieme 2 dei punti razionali del piano, abbiamo che la diagonale del quadrato di lato unitario ha lunghezza √2, ma non esiste nessun punto razionale su uno degli assi coordinati la cui distanza dall’origine sia pari a √2, e quindi non saremmo in grado di soddisfare il primo assioma di congruenza. Abbiamo quindi bisogno di un ulteriore assioma in grado di fornire una proprietà più forte.

·      Senza l’assioma di Dedekind non c’è nessuna garanzia che esistano segmenti di lunghezza π, oppure e, o di certe altre lunghezze non costruibili con riga e compasso (ad es. ). É proprio l’assioma di Dedekind che ci consente di stabilire la corrispondenza fra la retta euclidea e la retta reale.

·      Gli assiomi di continuità consentono di mettere in corrispondenza ogni segmento con un numero reale (misura, o lunghezza del segmento) e di mettere in corrispondenza biunivoca i punti di una retta con , i punti di un piano con 2 e i punti dello spazio con 3; essi costituiscono pertanto la base del metodo delle coordinate della Geometria Analitica.

·      Dagli assiomi di continuità, combinati con gli assiomi dei gruppi I, II e III segue che l’insieme dei punti di una retta ha essenzialmente le stesse proprietà topologiche del campo ordinato . Di conseguenza l’insieme dei punti di un piano (dello spazio) ha essenzialmente le stesse proprietà topologiche di 2 (3).

·      L’Assioma V.2 può essere formulato anche nella forma seguente:

V.2’ (Assioma di Cantor) Sia {E0F0, E1F1, … , EnFn , … (n∊ℕ)} una sequenza di segmenti nidificati[2]  con la proprietà che, dato (in anticipo) un segmento arbitrario B1B2 , esiste un intero n ≥0 tale che il segmento EnFn è più corto del segmento B1B2 . Allora esiste almeno un punto B che giace su tutti i segmenti della sequenza.

Si può dimostrare che il punto B è unico, e quindi .

Gli Assiomi di Birkhoff

Gli Assiomi di Birkhoff sono basati sui numeri reali e sono relativi alla Geometria Assoluta nel piano (indichiamo con A2 il piano assoluto).

I.      Esistenza e Unicità delle Rette

I.1        Esistono dei sottoinsiemi non vuoti di A2 (detti Rette) con la proprietà che due punti distinti qualsiasi di A2 appartengono ad una ed una sola retta.

II.    Misura dei Segmenti

II.1      Per ogni coppia di punti A, B A2 , esiste un unico numero reale d(A, B) = d(B, A) (la distanza fra A e B) che è uguale a 0 se e solo se A = B.

II.2      I punti {A, B, …} di una qualsiasi retta possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri reali {a, b, …} in modo tale che |b–a| = d(A, B) per tutti i punti A e B.

III.   Separazione del Piano

III.1     Per ogni retta r esistono esattamente due sottoinsiemi R’ ed R” di A2 , convessi e non vuoti, tali che:

·   R’ r R” = A2 ;

·   R’ R” = R’ r = R” r = ;

·   se A’R’ e A”R”, allora A’A” r ≠ .

IV.   Misura dell’Angolo

IV.1     Per ogni angolo ABC esiste un unico numero reale 0 x <2π che dà la misura dell’angolo: x = α(ABC).

IV.2     L’insieme delle semirette per un punto arbitrario O può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri reali x (mod 2π) in modo tale che se A e B sono punti (diversi da O) risulta : α(AOB) + α(BOC) = α(AOC).

V.    Similitudine dei Triangoli

V.1      Dati due triangoli ABC e A’B’C’ ed una costante k > 0 tale che d(A’, B’) = k d(A, B), d(A’, C’) = k d(A, C) e α(B’A’C’) = ± α(BAC), allora d(B’, C’) = k d(B, C), α(C’B’A’) = ± α(CBA), α(∠A’C’B’) = ± α(ACB).

            N.B.: per k = 1 e per α(B’A’C’) = + α(BAC), questo assioma stabilisce che se due triangoli hanno due lati e l’angolo compreso rispettivamente congruenti, allora anche gli altri due angoli e l’altro lato sono congruenti.

Gli Assiomi di Tarski

Il sistema di assiomi di Tarski consiste di dodici assiomi e di uno schema, e sono espressi in un linquaggio logico formale del primo ordine con due simboli di relazione B e C, dove Bxyz viene interpretato per dire “i punti x, y e z sono allineati, con y compreso fra x e z”, e Cwxyz per dire "la distanza fra w e x è uguale alla distanza fra y and z", o in altre parole: "il segmento wx è congruente al segmento yz".  Conviene esprimere Bxyz come x*y*z e Cwxyz come wx≡yz.

Tarski ha utilizzato i suoi assiomi per dimostrare che la Geometria Euclidea è una teoria completamente decidibile, cioè che è possibile dimostrare la verità o la falsità di una sua qualsiasi proposizione.

1.     Identità del “Giacere fra”

x*y*x    x = y .

2.     Transitività del “Giacere fra”

w*x*y x*y*z    w*x*z .

3.     Connettività del “Giacere fra”

x*y*z x*y*w x≠y    x*z*w x*w*z .

4.     Riflessività della Congruenza

xyyx .

5.     Identità della Congruenza

xy≡zz    x = y .

6.     Transitività della Congruenza

xy≡zu xy≡vw    zu≡vw .

7.     Assioma di Pash

x*y*z u*z*v    w (x*w*v u*y*w) .

8.     Assioma di Euclide

x*y*z u*y*v x≠y  ⇒  wt  (x*v*w x*u*t t*z*w) .

9.     Assioma dei Cinque Segmenti

x1y1≡x2y2 y1z1≡y2z2 x1u1≡x2u2 y1u1≡y2u2 ⋀ <x1y1z1> ⋀ <x2y2z2> x1≠y1 x2≠y2    z1u1≡z2u2 .

10. Assioma della Costruzione del Segmento

z (x*y*z  ⋀  yz≡uv) .

11. Assioma della Dimensione inferiore

xyz (¬x*y*z  ⋀¬y*z*x  ⋀ ¬z*x*y) .

12. Assioma della Dimensione superiore

xu≡xv yu≡yv zu≡zv u≠v    (x*y*z  y*z*x  z*x*y) .

Schema Assiomatico di Completezza

Sia φ una formula ben-formata in cui w, x, y, … appaiono liberamente, ma non y, z oppure u.

Sia ψ una formula ben-formata in cui w, y, v, … appaiono liberamente, ma non x, z oppure u.

Allora:

xxy (φψ z*x*y)   uxy (φψ x*u*y)

è un assioma.

1.3L’Approccio Moderno alla Geometria Euclidea

Oggi la Geometria Euclidea viene normalmente costruita, per mezzo della Geometria Analitica, piuttosto che assiomatizzata. Introducendo la Geometria in questo modo, è possibile dimostrare gli assiomi di Euclide (o quelli equivalenti delle altre formulazioni) come teoremi in questo particolare modello. Questo approccio non possiede la bellezza di quello assiomatico, ma ha il vantaggio di una grande concisione.

L’approccio (relativamente alla geometria piana) è il seguente:

·        si definisce l’Insieme di Punti come un insieme di coppie ordinate di numeri reali (x, y);

·        dati due punti P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), si definisce la loro distanza come:
 (questa formula è nota come metrica euclidea);

·        tutte le altre nozioni, come ad esempio quelle di retta, angolo, cerchio, ecc., possono essere definite in termini di punti come coppie ordinate di numeri reali e delle relative distanze.

Ad esempio, la retta passante per i punti P e Q può essere definita come l’insieme dei punti X tale che il triangolo XPQ sia degenere, ovvia:  oppure: .

 

                                                                  2Le Geometrie Non Euclidee

Il quinto postulato ha costituito per secoli il brutto anatroccolo della Geometria Euclidea: meno “elementare” degli altri quattro per via della sua formulazione più articolata, lo stesso Euclide lo riteneva in qualche modo meno fondamentale, e si domandava probabilmente se esso potesse essere dedotto dai primi quattro.

Ben due millenni furono necessari prima che Gauss (1777-1855), Lobačevskij  (1792-1856) e Bolyai (1802-1860) risolvessero il problema: non solo il quinto postulato era indipendente dai primi quattro, ma poteva anche essere negato (sia ammettendo l’esistenza di più parallele, sia negando l’esistenza anche di una sola parallela) mantenendo la coerenza del sistema formale.

La geometria Euclidea non è quindi l’unica possibile, ma accanto ad essa ve ne sono altre, ugualmente coerenti, basate su differenti ipotesi relativamente alle parallele.

Un altro modo di approcciare il problema è il seguente: nello Geometria Euclidea vale il Teorema di Pitagora, che dà luogo alla metrica definita dalla ( 1‑a). L’utilizzo di metriche differenti porta a strutture nelle quali le figure geometriche hanno proprietà differenti da quelle descritte dalla Geometria Euclidea, porta cioè alle cosiddette Geometrie Non Euclidee.

 

IL SEGUITO E’ ANCORA TUTTO DA SVILUPPARE

PER ORA ECCO ALCUNI LINK:

 

                                                                        3La Geometria Analitica

Prima di Cartesio (1596-1650) Geometria e Matematica erano discipline ben distinte: la prima si occupava di punti nello spazio e di loro insiemi (figure geometriche) le cui proprietà venivano dedotte dai postulati di Euclide con procedimenti geometrici (riga e compasso), mentre la seconda si occupava di numeri, equazioni, ecc. che venivano trattati con procedimenti aritmetici o algebrici.

Cartesio intuì che le due discipline potevano essere collegate individuando univocamente ogni punto dello spazio per mezzo di un’opportuna terna di numeri. Il metodo delle coordinate da lui introdotto ha dato origine alla cosiddetta Geometria Analitica.

Questa disciplina costituisce una pietra miliare nello sviluppo della Geometria, in quanto consente di esprimere  le relazioni geometriche per mezzo di relazioni fra numeri, e quindi di applicare alla Geometria i metodi e le tecniche della Matematica. La Geometria Analitica è alla base dei successivi sviluppi formali della Geometria.

3.1Il Metodo delle Coordinate

·        Il procedimento per associare numeri a punti è ovvio nel caso unidimensionale di una retta: dopo aver introdotto sulla retta due punti distinti O (Origine) ed U, è possibile utilizzare la lunghezza del segmento  come unità di misura per esprimere la lunghezza di un qualsiasi segmento , ottenendo così un numero reale  che identifica univocamente il punto P. Viene così stabilita una corrispondenza biunivoca tra i punti della retta (1) e l’insieme dei numeri reali ().

La possibilità di stabilire una tale corrispondenza biunivoca può essere dimostrata rigorosamente a partire dagli assiomi di Hilbert, nell’ambito della Geometria Assoluta, senza cioè utilizzare l’assioma delle parallele.

·        L’estensione a due dimensioni (Piano Cartesiano) richiede che su questo piano venga introdotta una coppia di rette incidenti (dette Assi Coordinati) con associate unità di misura.. Il punto O di intersezione degli assi è detto Origine.

Per ogni punto P del piano è possibile tracciare le proiezioni parallele del segmento  lungo gli Assi Coordinati, ottenendo così due segmenti, le cui lunghezze, rapportate a quelle dei rispettivi segmenti unitari, forniscono una coppia ordinata di numeri reali, detti Coordinate del punto P.

Viene così stabilita una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano (2) e l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali  (2).

Anche in questo caso la possibilità di stabilire una tale corrispondenza biunivoca può essere dimostrata rigorosamente a partire dagli assiomi di Hilbert; tuttavia è ora necessario ricorrere all’assioma delle parallele per poter garantire l’esistenza e l’unicità delle parallele.

Nel caso in cui i due assi siano ortogonali ed abbiano uguali unità di misura, si parla di Assi Cartesiani, Coordinate Cartesiane e Riferimento Cartesiano

Talvolta il procedimento per ottenere le coordinate cartesiane di un punto del piano viene descritto in termini delle proiezioni perpendicolari agli assi coordinati. Questo procedimento è tuttavia applicabile esclusivamente al caso in cui gli assi siano mutuamente perpendicolari, ed è pertanto più limitativo di quello basato sulle proiezioni parallele.

·        L’estensione allo spazio tridimensionale richiede l’introduzione di un terzo asse incidente gli altri due, e comporta le proiezioni parallele del punto prima sui piani coordinati e quindi sugli assi coordinati.

·        Come vedremo nel capitolo sulla Geometria Differenziale, il metodo delle coordinate si presta ad essere generalizzato sia, nell’ambito dello Spazio Euclideo, a sistemi di coordinate più generali (coordinate curvilinee, dove curve e superfici coordinate rivestono il ruolo degli assi e dei piani coordinati), sia a Spazi e a Geometrie di natura non Euclidea.

3.2Trasformazioni di Coordinate nello Spazio Euclideo

Lo spazio euclideo è identico a se stesso in ogni suo punto ed in ogni sua direzione (come si suol dire è omogeneo ed isotropo), non esistono cioè né punti né direzioni privilegiate. Pertanto la scelta di un particolare Sistema di Coordinate cartesiane SC è totalmente arbitraria, ed è perfettamente equivalente ad un qualsiasi altro Sistema di Coordinate cartesiane SC’, avente differente origine e differente orientamento degli assi coordinati.

La relazione tra le coordinate di un punto in due differenti SC è detta Trasformazione di Coordinate.

Indicando con xk e x’i le coordinate di uno stesso punto P in due differenti sistemi di coordinate (SC ed SC’) le cui origini coincidano (O=O’), la generica trasformazione di coordinate è data da un’applicazione invertibile NN esprimibile come x’i = x’i(xk). Se però vogliamo che le rette vengano trasformate in rette ed i piani in piani, è necessario che la relazione fra le xk e le x’i sia espressa da formule di trasformazioni lineari omogenee del tipo:

( 3‑a)                           x’i = Aikxk .

(dove gli elementi della matrice di trasformazione Aik sono dati dai coseni direttori fra le coppie di assi coordinati moltiplicati per il rapporto fra le relative unità di misura).

Qualora poi le origini dei due sistemi di coordinate non coincidessero, ci si riconduce al caso precedente con l’aggiunta di una traslazione, che introduce nelle formule precedenti dei termini additivi costanti, pur cui le formule generali sono del tipo:

( 3‑b)                           x’i = Aikxk + bi .

Poiché anche le x’i  devono stabilire una corrispondenza biunivoca fra N e N, è necessario che la matrice di trasformazione Aik sia non singolare.

Se indichiamo con F: NN e con F’: NN le corrispondenze biunivoche stabilite fra lo Spazio Euclideo e l’insieme dei numeri reali dai due Sistemi di Coordinate, avremo che la trasformazione di coordinate da SC a SC’ sarà data dall’applicazione composta G: NN definita da: G = F’F-1.

La matrice di trasformazione Aik deve soddisfare il vincolo di trasformare un sistema di assi cartesiani in un sistema di assi cartesiani.

Detti {e(i)} i versori di SC, le condizioni di ortogonalità sono espresse da e(i)e(k) = 0 (i≠k) mentre quelle di monometria sono espresse da: e(i)e(i) = 1, ovvero, utilizzando il simbolo di Kroeneker: e(i)e(k) = δik

Tenendo conto che Air = e’(i)e(r) , e quindi e’(i) = Ais e(s), abbiamo che: e’(i)e’(k) = AirAks e(r)e(s) = AirAks δrs = AirAkr.

Poiché anche gli assi di SC’ dovranno essere ortonormali (ovvero e’(i)e’(k) = δik), si ha: AirAkr = AirATrk = δik, ovvero, con simbolismo matriciale:

( 3‑c)                           AAT = I.

Figura 3‑1 - Trasformazioni Ortogonali (Alias)

Le matrici che soddisfano la condizione ( 3‑c) sono dette Ortogonali, e hanno la proprietà di mantenere invariate lunghezze, angoli e volumi. Le corrispondenti trasformazioni sono dette Trasformazioni Ortogonali.

Infatti, detti x ed y due vettori, X ed Y le corrispondenti matrici colonna (in SC), abbiamo: xy = XTY,  mentre in SC’: x’y’ = X’TY’ = (AX)T(AY) (dove si è sfruttata la ( 3‑a), e quindi: x’y’ = XTAATY = XTY = xy.

Per quanto riguarda il volume di un parallelepipedo di lati x, y e z¸ detta B la matrice esso è dato da: V = Det(B), e quindi V’ = Det(B’) = Det(AB) = Det(A) Det(B), ma dall’ortogonalità di A  risulta: Det(AAT) = Det(A) Det(AT) = (Det(A))2 = Det(I) = 1, e quindi V’ = ±V.

Le Trasformazioni Ortogonali sono delle isometrie globali, e sono generate da rotazioni, traslazioni ed inversioni. Il loro insieme forma il cosiddetto Gruppo Euclideo, ed è dato dal prodotto semidiretto del gruppo ortogonale per il gruppo delle traslazioni.

Nella Geometria Euclidea i Cambiamenti di Coordinate sono espressi da Trasformazioni Ortogonali.

É importante osservare che la matrice di trasformazione è un operatore lineare biiettivo che può essere interpretato in due modi differenti:

·        come un operatore N N che, agendo sulle coordinate di un punto P di N, le “trasforma” da un sistema di coordinate all’altro; secondo questo modo di considerare le cose (detto Alias), il punto P rimane fermo, mentre cambiano gli assi coordinati e le x’i rappresentano le coordinate di P nel nuovo sistema SC’.

Figura 3‑2 - Interpretazione "Alias"

·        come un operatore N N che, restando fermo il sistema di coordinate, agisce sui punti dello spazio cambiandone la posizione; secondo questa interpretazione (detta Alibi) un punto P viene spostato in un punto P’, e in questo caso le x’i rappresentano le coordinate, sempre nello stesso SC, del nuovo punto P’.

Figura 3‑3 - Interpretazione "Alibi"

In Figura 3‑2 ed in Figura 3‑3 le due interpretazioni sono mostrate relativamente alla trasformazione di coordinate { x’ = x – y/2 ;  y’ = y }:

·   nel primo caso: l’asse x’ (dato dalla retta y’ = 0) coincide con l’asse x, mentre l’asse y’ (dato dalla retta x’ = 0) è rappresentato, in SC, dalla retta y = 2x. I quattro vertici del rettangolo restano fermi nello spazio, ma cambiano le loro coordinate;

·   nel secondo caso invece gli assi cartesiani restano invariati ma vengono spostati i punti dello spazio, ed il rettangolo viene deformato in un parallelogramma.

Di volta in volta utilizzeremo l’interpretazione più adeguata ad illustrare i vari argomenti.

                                              4Il seguito è ancora in preparazione!

Definizioni da dare: Raggio Vettore

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello

Tipologia del Documento

Livello di
Complessità

Indirizzato
tipicamente a:

Prerequisiti tipici

*

Divulgativo

Nessuna

Profani

Nessun prerequisito.

**

Introduttivo

Bassa

Studenti Universitari

(1° – 2° anno)

Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.

***

Intermedio

Medio-Bassa

Studenti Universitari

(2° – 3° anno)

Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.

****

Approfondimento

Medio-Alta

Studenti Universitari

(3° anno – Laureati)

Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).

*****

Avanzato

Alta

Laureati

Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Belyaev, O. A.: Fundamentals of Geometry. - http://polly.phys.msu.ru/~belyaev/geometry.pdf  (2005).

**+         A partire dagli Assiomi di Hilbert, vengono sviluppate la Geometria Assoluta, la Geometria Euclidea, la Geometria Iperbolica e la Geometria Proiettiva. L’esposizione è molto formale e rigorosa, e raggiunge un notevole livello di profondità.

Mlodinow, L.: Euclid’s Window: The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace. (The Free Press, New York, 2001).

*              Esposizione divulgativa, brillante ed arguta delle tappe evolutive della Geometria e delle sue relazioni con la Fisica. Indirizzata al profano, ma interessante anche per lo studioso.

Penrose, R. : The Road to Reality. (Knopf, New York, 2005).

** –        Un’opera a tutto campo sulle leggi fondamentali della Fisica e sulla Matematica/Geometria ad esse connessa, scritta da uno dei massimi scienziati del nostro tempo. L’intento dichiarato è divulgativo, e come tale è caratterizzato da notevole semplicità e chiarezza espositiva, ma la vastità degli argomenti trattati e soprattutto la profondità delle osservazioni rendono questo libro un’opera assolutamente unica, di grande valore per tutti gli studiosi di Fisica.

Sernesi, E.: Geometria 1. (Bollati Boringhieri, Torino, 2000).

**           Testo universitario indirizzato agli studenti del primo biennio di Matematica. L’esposizione è sistematica e rigorosa e nel complesso risulta ben comprensibile, anche se la lettura non è particolarmente agevole per il neofita a causa dell’approccio decisamente formale e stringato e della relativa scarsezza di commenti esplicativi e di immagini. Tratta i diversi aspetti della Geometria (Affine, Euclidea e Proiettiva e Differenziale) e gli argomenti di Algebra Lineare ad essi correlati, ed è quindi un testo di riferimento completo.

Articoli

Royster, D. C. : Hilbert’s Axioms of Geometry and Consequences. – http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/spring99/math3181/classnotes/axioms.pdf

 

Siti Internet

E-School di Arrigo Amadori – http://www.arrigoamadori.com/lezioni/index.htm

(*), **    Sito di Matematica e Fisica contenente materiale decisamente interessante (a vari livelli: divulgativo, di approfondimento e didattico).. É dotato di stimolanti sezioni di Forum, Chat, Open Blog e Open Book. Ottimo sia per lo studente che per lo studioso fai-da-te.

Joyce, D. E. : Euclid’s Elements http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html

*              Il sito contiene il testo dell’Opera, commentato, illustrato, corredato dai i riferimenti incrociati e da un’applet Java per illustrare i diagrammi.

Royster, D. C. : Neutral and Non-Euclidean Geometries http://www.math.uncc.edu/~droyster/math3181/notes/hyprgeom/hyprgeom.html

WikipediAThe Free Encyclopediahttp://en.wikipedia.org

** –        L’approccio è di tipo enciclopedico; le singole voci sono trattate con estrema chiarezza e rigore, senza disdegnare spiegazioni intuitive ed esempi. Un utilizzo estensivo dei collegamenti ipertestuali rende molto agevole la navigazione fra le singole voci. Interessanti anche la sezione didattica (Wikiversity) e gli Open Books (Wikibooks).

Indice Analitico


Alias......................................................................... 14

Alibi.......................................................................... 15

Assi

cartesiani............................................................ 12

coordinati........................................................... 12

Birkhoff

assiomi.................................................................. 8

Congruenza............................................................... 4

Coordinate............................................................... 12

cartesiane........................................................... 12

Euclide

Elementi................................................................ 2

nozioni comuni.................................................... 4

postulati............................................................... 2

Geometria Analitica................................................ 12

Geometria Euclidea................................................... 2

Geometrie non Euclidee......................................... 11

Hilbert

assiomi.................................................................. 6

Matrici ortogonali.................................................. 14

Riferimento Cartesiano.......................................... 12

Spazio Euclideo........................................................ 5

Trasformazioni

di coordinate...................................................... 13

ortogonali........................................................... 14


 

Keywords

Geometria Euclidea, Filo di Arianna, Diego Vasdeki, Postulati di Euclide, Alias, Alibi, Assi Cartesiani, Assi Coordinati, Birkhoff, Congruenza, Coordinate Cartesiane, Euclide, Elementi, Assiomi, Postulati, Geometria Analitica, Geometrie non Euclidee, Hilbert, Matrici Ortogonali, Riferimento Cartesiano, Spazio Euclideo, Trasformazioni di coordinate, Trasformazioni Ortogonali

 



[1]   Esistono due tipi di assiomi: logici e non-logici. Il termine “postulato” è sinonimo di assioma non-logico.

[2]   per definizione si dice che una sequenza di intervalli chiusi X1, X2, … , Xn, … è nidificata se ogni elemento della sequenza contiene il successivo.