Il Filo di Arianna di Diego Vasdeki

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GEOMETRIA

 (Versione 1.1  del  22-09-2005)

 

G-I        Geometria Euclidea

G-II      Vettori Geometrici  (*)

G-III     Geometria Affine

G-IV     Geometria Proiettiva

G-V      Geometria Differenziale

G-VI         Geometria Riemanniana (**)

(*)   Capitolo in fase di preparazione

 (**) Capitolo non previsto a breve termine

 

La Geometria nacque per studiare le proprietà dello spazio, e per le sue applicazioni pratiche immediate essa fu una delle prime branche della Matematica ad essere sviluppata e fu anche la prima disciplina ad essere messa sotto forma assiomatica. Per un lungo periodo di tempo la Geometria si limitò allo studio delle proprietà dello spazio fisico che ci circonda: lo spazio “Euclideo”, caratterizzato dall’avere tre dimensioni, da una natura “piatta” (da cui derivano, p.es. il teorema di Pitagora ed il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a 180°) e dalla possibilità di spostare rigidamente qualsiasi figura geometrica senza alterarne le proprietà.

Questo punto di vista, che si rese necessario per poter utilizzare i risultati della Geometria nelle applicazioni pratiche, da un punto di vista concettuale è tuttavia eccessivamente restrittivo: infatti –  a parte il fatto che noi non sappiamo se lo spazio fisico su larga scala sia effettivamente euclideo o meno – non esiste alcun motivo per cui uno spazio matematico non possa avere caratteristiche completamente diverse da quelle dello spazio Euclideo: è cioè possibile sviluppare nuove Geometrie partendo da un differente sistema di assiomi, oppure da un differente spazio fisico di base (es. la Geometria Sferica).

H. Poincaré (1854-1912) ha chiarito molto bene la distinzione tra le due discipline:

·  La Geometria Matematica è una branca della Matematica, e come tale è un sistema puramente formale, nel quale non ha senso domandarsi se gli assiomi siano verio falsi, ma solo se sono coerenti e minimali. La Geometria Matematica è interessata alle conseguenze degli assiomi (dimostrate attraverso i teoremi) ma non alla rispondenza di un tale sistema con un particolare modello fico.

·  La Geometria Fisica è invece interessata alla rappresentazione matematica del nostro spazio fisico. In questo senso gli assiomi sono “veri” se il modello che ne deriva descrive correttamente lo spazio fisico; la risposta alla domanda è quindi indiretta e sperimentale: pur non essendo possibile verificare direttamente la verità degli assiomi, è tuttavia possibile verificare se i teoremi che ne derivano sono confermati sperimentalmente o meno. In questo senso la Geometria Fisica è una branca della Fisica, e le questioni relative alla forma dell’Universo ed alla natura dello spaziotempo rientrano nel suo ambito.

Ciò che contraddistingue i differenti tipi di Geometria (comprendendo anche la Topologia come un tipo di Geometria) è il tipo di trasformazioni che sono consentite prima di poter considerare che qualcosa è effettivamente cambiato.