Il Filo di Arianna - Elettrodinamica Classica

· Descrizione: Repulsione (attrazione) fra conduttori percorsi da correnti elettriche dello stesso verso (di verso discorde): (Legge di Coulomb).

Quantizzazione della carica elettrica.

Conservazione della carica elettrica.

· Relazione tra Forza e Campo: F = qE .

· Formulazione Integrale: Φ_∂V (E) = Q_V ; Γ_C (E) = 0 .

· Formulazione Differenziale: ∇∙E = 4πρ ; ∇xE = 0 .

· Osservazioni:

- Forza radiale ⇒ conservativa.

- Inverso del quadrato ⇒ Teorema di Gauss.

- Le cariche elettriche sono le sorgenti delle linee di forza del campo elettrico.

Un sistema di cariche elettriche distribuite nello spazio in movimento può essere descritto da un campo scalare ρ = ρ(r, t) (densità di carica), che ne discrive la distribuzione nello spazio, e da un campo vettoriale v = v (r, t) che ne descrive le velocità; il campo scalare j(r, t) = ρv descrive descrive quindi la densità di corrente di tale sistema.

Tale sistema di cariche genera in ogni punto dello spazio un campo elettrico E ed un campo magnetico B (descritti da due campi vettoriali: E(r, t) e B(r, t), le cui relazioni con il sistema stesso sono date – nel sistema CGS e nel formalismo vettoriale, utilizzando la notazione compatta – dalle Equazioni di Maxwell:

( 2‑a) ∇xE + ∂_ctB = 0

( 2‑b) ∇∙B = 0

( 2‑c) ∇xB – ∂_ctE = 4π/c j

( 2‑d) ∇∙E = 4π ρ

Nel caso statico le derivate temporali si annullano ed il campo elettrico E ed il campo magnetico B si separano (cioè le equazioni di ciascuno dei due campi non contengono l’altro campo, ed invece di un unico sistema di quattro equazioni differenziali abbiamo due sistemi indipendenti di due equazioni differenziali ciascuno) e seguono leggi indipendenti (elettrostatica e magnetostatica), come se fossero due campi indipendenti.

Potenziali

La I^a coppia delle Equazioni di Maxwell non contiene le sorgenti; ciò consente di introdurre un campo scalare φ(r, t) ed un campo vettoriale A(r, t), detti rispettivamente potenziale scalare e potenziale vettore, definiti in modo da soddisfare le equazioni:

( 2‑e) E = –∇φ – ∂_ctA ;

B = ∇xA .

In termini dei potenziali la I^a coppia delle Equazioni di Maxwell diventa un’identità. Infatti:

∇∙B = ∇∙∇xA = 0

∇xE = –∇x∇φ – ∂_ct ∇xA = –∂_ctB ;

(dove si è sfruttato il fatto che la divergenza di un rotore è identicamente nulla, e così pure il rotore di un gradiente).

In termini dei potenziali la II^a coppia delle Equazioni di Maxwell diventa:

( 2‑f) ∇xB = ∇x∇xA = ∇(∇∙A) – ∇²A = –∂_ct(∇φ + ∂_ctA) + 4π/c j ;

–∇∙(∇φ+∂_ctA) = –∇²φ – ∂_ct(∇∙A) = 4πρ .

Il potenziale scalare ed il potenziale vettore non sono determinati univocamente dalle ( 2‑e), infatti <<<<<<<<<<<<<<<<.

É possibile sfruttare questo grado di libertà e rimuovere questa indeterminazione imponendo che i potenziali soddisfino la condizione:

( 2‑g) ∂_ctφ + ∇∙A = 0 .

In questo modo è possibile semplificare le ( 2‑f), ottenendo:

–∇(∂_ctφ) – ∇²A = –∂_ct(∇φ + ∂_ctA) + 4π/c j ;

–∇²φ + ∂²_ctφ = 4πρ ,

e quindi:

( 2‑h) ⃞A = 4π/c j ;

-⃞φ = 4π ρ .

2.2Forza di Lorentz

Una particella di carica elettrica q immersa in un campo elettromagnetico è soggetta ad una forza:

( 2‑i) F = q ( E + v/c x B )

detta Forza di Lorentz.

2.3Equazione di Continuità

Prendendo la divergenza della ( 2‑c) si ottiene: ∇∙∇xB – ∂_ct(∇∙E) = 4π/c ∇∙j, che, tenendo conto della ( 2‑d) e del fatto che la divergenza di un rotore è identicamente nulla, diventa:

( 2‑j) ∇∙(ρv) + ∂_tρ = 0

detta equazione di continuita, in quanto rappresenta la forma differenziale della conservazione della carica elettrica. Infatti, integrando su un volume V si ottiene:

( 2‑k)

che esprime il fatto che la variazione della carica all’interno del volume V è uguale al flusso della corrente che esce dalla superficie ∂V che racchiude V.

2.4Densità di Flusso e di Energia del Campo Elettromagnetico

Moltiplicando per B la ( 2‑a) e per E la ( 2‑c) e facendo la differenza si ottiene:

B ∙ ∇xE – E ∙ ∇xB = – B ∙ ∂_ctB – E ∙ ∂_ctE – 4π/c E ∙ j ,

da cui, tenendo conto della formula della divergenza di un prodotto vettoriale (xxx):

– ∇ ∙ ( ExB ) = 4π/c ( ∂_t ( E²+ B²)/8π + E ∙ j ) .

Posto: S := c/4π E x B (Vettore di Pointing), si ha:

( 2‑l) ∂_t W + j∙E = – ∇∙S ,

dove W = (E² + B²) / 8π rappresenta la densità di energia del campo elettromagnetico.

Dalla Forza di Lorentz per una particella abbiamo che:

v ∙ p^∙ = q ( v∙E + v∙(vxB)) ,

da cui:

dove T è l’energia cinetica di tutte le particelle. Integrando la ( 2‑l) otteniamo:

( 2‑m) ,

che esprime il fatto che la variazione totale di energia nel volume V (nell’unità di tempo) è pari al flusso del vettore di Pointing.

3 Formulazione Tensoriale

3.1Quadrivettori Elettromagnetici

Quadridensità di corrente

Riscrivendo la ( 2‑j) nella forma: ∂_μj^μ = 0, e considerando il fatto che essa deve valere in ogni sistema di riferimento inerziale, ne consegue che si tratta di un’equazione tensoriale, e quindi – in base al criterio di tensorialità – le quantità:

j^μ := (cρ, j) = (ρc, ρv)

risultano essere le componenti di un quadrivettore, detto quadridensità di corrente.

Quadripotenziale

Con un procedimento analogo a quello già utilizzato per la quadridensità di corrente, possiamo riscrivere la ( 2‑g) nella forma:

( 3‑a) ∂_μA^μ = 0

e richiedendone la validità in ogni sistema di riferimento inerziale, essa diventa una equazione tensoriale; di conseguenza – in base al criterio di tensorialità – le quantità:

A^μ := (φ, A)

vengono ad essere le componenti di un quadrivettore, detto quadripotenziale.

Tensore Campo Elettromagnetico

Posto:

( 3‑b) F_μν := ∂_μA_ν – ∂_νA_μ

(detto Tensore Campo Elettromagnetico, o più brevemente Tensore Elettromagnetico) abbiamo che:

F₀₁ = –F₁₀ = ∂_ctA_x – ∂_xφ = E_x ;

F₀₂ = –F₂₀ = ∂_ctA_y – ∂_yφ = E_y ;

F₀₃ = –F₃₀ = ∂_ctA_z – ∂_zφ = E_z ;

F₁₂ = –F₂₁ = ∂_xA_y – ∂_yA_x = –B_z ;

F₁₃ = –F₃₁ = ∂_xA_z – ∂_zA_x = B_y ;

F₂₃ = –F₃₂ = ∂_yA_z – ∂_zA_y = –B_x ;

ovvero:

( 3‑c) .

Definiamo inoltre il tensore duale (talvolta indicato con ^*F^μν):

Si verifica facilmente che:

Trasformazioni del Tensore Elettromagnetico

Le formule di trasformazione del Tensore Elettromagnetico sono::F’^μν = Λ^μ_ρΛ^ν_σ F^ρσ, che possono essere scritte in forma matriciale come: F’ = ΛFΛ^T.

che

3.2Equazioni del Campo Elettromagnetico

Le Equazioni di Maxwell possono essere scritte in forma covariante utilizzando il Tensore Elettromagnetico:

( 3‑d)

( 3‑e) ∂_μF^μν = 4π/c j^ν

infatti, sviluppando la ( 3‑d) si ottiene la I° coppia delle Equazioni di Maxwell:

: ∂_μ^*F^μ0 = ∂_xB_x + ∂_yB_y + ∂_zB_z = ∇∙B = 0 ;

∂_μ^*F^μ1 = –∂_ctB_x – ∂_yB_z + ∂_zB_y = –(∂_ctB + ∇xE)_x = 0 ;

∂_μ^*F^μ2 = –∂_ctE_y + ∂_xB_z – ∂_zB_x = –(∂_ctE + ∇xB)_y = 0 ;

∂_μ^*F^μ3 = –∂_ctE_z – ∂_xB_y + ∂_yB_x = –(∂_ctE + ∇xB)_z = 0 ,

mentre sviluppando la ( 3‑e) si ottiene la II^acoppia:

∂_μF^μ0 = ∂_xE_x + ∂_yE_y + ∂_zE_z = ∇∙E = 4π ρ = 4π/c j₀ ;

∂_μF^μ1 = –∂_ctE_x – ∂_yB_z + ∂_zB_y = (–∂_ctE + ∇xB)_x = 4π/c j_x ;

∂_μF^μ2 = –∂_ctE_y + ∂_xB_z – ∂_zB_x = (–∂_ctE + ∇xB)_y = 4π/c j_y ;

∂_μF^μ3 = –∂_ctE_z – ∂_xB_y + ∂_yB_x = (–∂_ctE + ∇xB)_z = 4π/c j_z .

Utilizzando invece il quadripotenziale, tenendo conto che ∂_μF^μν = ∂_μ(∂^μA^ν – ∂^νA^μ) = ⃞A^ν – ∂^ν(∂_μA^μ), e sfruttando la ( 3‑a), la formulazione covariante della II^a coppia è data da:

⃞A^ν = 4π/c j^ν

3.3Invarianza di Gauge

Come abbiamo già visto il quadripotenziale non è univocamente determinato a partire dal campo elettromagnetico: infatti tutti i potenziali A’^μ legati dalla trasformazione di gauge:

A’^μ = A^μ - ∂^μα(x^λ) (α(x^λ) funzione arbitraria)

definiscono lo stesso Tensore Elettromagnetico (infatti F’^μν = ∂^μA^ν – ∂^μ∂^να – ∂^νA^μ + ∂^ν∂^μα = F^μν); ciò consente di imporre al quadripotenziale una condizione che lo fissi univocamente.

Una condizione che semplifica notevolmente la forma covariante delle Equazioni di Maxwell è la cosiddetta Gauge di Lorentz: ∂_μA^μ = 0.

3.4Forza di Lorentz

Sia u^ν la quadrivelocità di una particella di carica q; l’espressione:

( 3‑f) F^ν := q/c F_μνu^ν

è chiaramente un quadrivettore; nel sistema di riferimento SR₍₀₎ in cui la particella è a riposo, le componenti della quadrivelocità sono (c, 0), e quindi, tenuto conto delle ( 3‑c) le componenti di F^ν sono: (0, qE)

3.5Equazione di Continuità

Dall’antisimmetria del Tensore Elettromagnetico si ricava immediatamente l’equazione di continuità; infatti derivando la ( 3‑e) si ottiene: ∂_ν∂_μF^μν = ∂_μ∂_νF^νμ = – ∂_μ∂_νF^μν = 0 = 4π/c ∂_νj^μ, e quindi:

( 3‑g) ∂_νj^ν = 0

Essendo il modulo j_μj^μ della quadridensità di corrente un invariante, abbiamo che: ρ²(1-β²) = ρ’²(1-β’²) = ρ₀², dove ρ₀ rappresenta la densità di carica propria.

dQ = ρdV rappresenta la carica nel volume dV, ed è un invariante.

3.6Tensore Energia Impulso del Campo Elettromagnetico

4Formulazione Lagrangiana

Bibliografia

Lo schema di classificazione adottato è il seguente:

Livello	Tipologia del Documento	Livello di Complessità	Indirizzato tipicamente a:	Prerequisiti tipici
*	Divulgativo	Nessuna	Profani	Nessun prerequisito.
**	Introduttivo	Bassa	Studenti Universitari (1° – 2° anno)	Nozioni base di Analisi I, Calcolo Vettoriale, Geometria Euclidea.
*******	Intermedio	Medio-Bassa	Studenti Universitari (2° – 3° anno)	Analisi I e II, Algebra Lineare, Geometria (Affine, Euclidea, Differenziale), Fisica Generale.
********	Approfondimento	Medio-Alta	Studenti Universitari (3° anno – Laureati)	Specialistici (es. Topologia, Calcolo Tensoriale, Varietà Differenziabili, …).
*****	Avanzato	Alta	Laureati	Molto specialistici e specifici.

NB: Il livello può essere modificato verso l’alto (+) o verso il basso (–)

Libri

Amaldi, U. : La Fisica per i Licei Scientifici – Volume 3. (Zanichelli, Bologna, 1998).

* + Libro di testo destinato agli studenti del Liceo, ma utile per tutti gli studenti alle prime armi. Estremamente chiaro; corredato da numerose illustrazioni ed esercizi.

La maggior parte del terzo volume è dedicata all’Elettromagnetismo.

Cognola, G. : Appunti del Corso di Relatività Ristretta.
(http://www.science.unitn.it/~cognola/DIDATTICA/RR.pdf )

*** Appunti chiari e sintetici di un corso universitario a livello intermedio.

Di particolare rilevanza per gli argomenti trattati nel presente documento sono i Capitoli 6 (Elettromagnetismo – Formulazione Quadridimensionale), 7 (Soluzioni delle Equazioni di Maxwell), 8 (Carica in un Campo Elettromagnetico), 9 (Tensore Energia-Impulso).

Einstein, A., Infeld L.: L’Evoluzione della Fisica. (Boringhieri, Torino, 1965).

* Come diceva l’Autore: “Nessuno scienziato pensa con formule”, e questo libro ne è la dimostrazione concreta ed appassionante. Il libro, ancorchè di carattere divulgativo, è diventato un classico per tutti gli studiosi. L’intera sezione 2 è dedicata all’elettromagnetismo.

Feynman, R.P., Leighton, R.P., Sands, M.: The Feynman Lectures on Physics. (Addison Wesley, 1969).

** Storico corso di Fisica Generale tenuto da uno dei principali scienziati del XX secolo, con uno stile semplice ed appassionante. Il secondo volume è interamente dedicato all’Elettromagnetismo.

Landau, L., Lifchitz, E. : Théorie des Champs. (Éditions MIR, Mosca, 1970).

*** Il testo, a livello universitario, è il secondo volume di uno dei pricipali trattati di Fisica Teorica. I vari argomenti vengono esposti ad un livello di profondità e di chiarezza veramente fuori del comune; il rigore matematico non oscura mai il significato fisico degli argomenti trattati, e l’essenza di ogni problema è sempre esposta con la massima semplicità e concisione.

Penrose, R. : The Road to Reality. (Knopf, New York, 2005).

** – Un’opera a tutto campo sulle leggi fondamentali della Fisica e sulla Matematica/Geometria ad esse connessa, scritta da uno dei massimi scienziati del nostro tempo. L’intento dichiarato è divulgativo, e come tale è caratterizzato da notevole semplicità e chiarezza espositiva, ma la vastità degli argomenti trattati e soprattutto la profondità delle osservazioni rendono questo libro un’opera assolutamente unica, di grande valore per tutti gli studiosi di Fisica.

Il Capitolo 19 è dedicato ai campi classici di Maxwell e di Einstein.

Purcell, E. M. : La Fisica di Berkley – Elettricità e Magnetismo. (Zanichelli, Bologna, 1971).

** – Libro di testo per gli studenti del primo anno di Fisica di notevole valore didattico. L’esposizione è decisamente scorrevole e comprensibile, grazie anche alle numerose illustrazioni ed esempi, e tende a focalizzare l’attenzione sui principi fondamentali senza perdersi in inutili dettagli.

Taylor, J.C.: Hidden Unity in Nature’s Laws. (Cambridge University Press, Cambridge, 2001).

* Vengono affrontate a 360° le varie branche della Fisica, con particolare l’enfasi sui concetti e sulle loro interrelazioni. I Capitoli 3 e 4 sono dedicati all’Elettromagnetismo ed alle Onde Elettromagnetiche.

F-III Elettrodinamica Classica

1 I Fenomeni Elettromagnetici

1.1Elettrostatica

Forza tra Cariche Elettriche

1.2Magnetostatica

Forza tra Magneti

Interazione tra Correnti e Magneti

Forza tra Correnti Elettriche

2 Formulazione Vettoriale

2.1Equazioni del Campo Elettromagnetico

Equazioni di Maxwell