F-II  RELATIVITÀ RISTRETTA 1...... Lo Scenario della Meccanica Classica 2...... Incompatibilità dell’Elettromagnetismo con la Meccanica Classica 3...... Cinematica Relativistica 3.1        Il Punto di Partenza: Le Trasformazioni Classiche 3.2        Il Punto di Arrivo: Le Trasformazioni Relativistiche 3.3        L’Intervallo Invariante 3.4        Lo Spaziotempo 3.5        Quadrivelocità 3.6        L’Approccio Immaginario 4...... I Cosiddetti “Paradossi” relativistici 4.1        Invarianza delle Dimensioni Trasversali 4.2        Relatività della Simultaneità 4.3        Dilatazione dei Tempi 4.4        Contrazione delle Lunghezze 5...... Dinamica relativistica Bibliografia

La Relatività Ristretta viene trattata anche nel Programma di Matematica e Fisica della e-school di Arrigo Amadori.

                                        1    Lo Scenario della Meccanica Classica

Spazio e Tempo nella Meccanica Classica

Nella Meccanica Classica lo spazio ed il tempo sono grandezze fisiche indipendenti l’una dall’altra: non esiste cioè correlazione o dipendenza funzionale tra i valori dell’una e quelli dell’altra se non nel momento in cui si considera il moto di una particella (ovvero la variazione nel tempo della sua posizione spaziale).

Le coordinate spaziali di una particella sono relative, dipendono cioè dallo stato di moto del sistema di riferimento rispetto al quale esse vengono misurate, mentre si assume che la coordinata temporale sia assoluta, ovvero che essa non dipenda da altre variabili (es. dallo stato di moto o, per esempio, dalla presenza di campi gravitazionali): nella Meccanica Classica il tempo scorre sempre alla stessa velocità per tutti gli osservatori, e quindi anche le durate temporali dei fenomeni, e le relazioni temporali (prima,  dopo, contemporaneamente) sono assolute, così come lo sono le distanze spaziali fra due particelle (differenza fra le loro posizioni misurate nello stesso istante) o le lunghezze degli oggetti rigidi.

La Natura del Tempo

Quale sia la vera natura del Tempo è una questione affascinante e ancora ben lontana dall’aver trovato una risposta soddisfacente. La definizione operativa (“il tempo è quella grandezza fisica che si misura con un orologio[1]”), anche se necessaria e sufficiente per poter trattare questa entità, certo non risponde alla domanda, anche se ci dà qualche indizio: il fatto che il tempo venga definito operativamente per mezzo del movimento, ci lascia intravedere l’esistenza di uno stretto legame fra tempo e spazio.

Il tempo è un’entità connessa alle variazioni dello stato dei sistemi. Tuttavia noi non misuriamo mai il Tempo in sé né le variazioni dello stato dei sistemi (A, B, C, …) rispetto al tempo (A(t), B(t), C(t), …). Ciò che effettivamente osserviamo e misuriamo sono solamente le variazioni reciproche dello stato di un sistema rispetto alle variazioni dello stato degli altri (A(B), A(C), B(C), …). Ad esempio, quando misuriamo la posizione di una particella P in vari istanti di tempo t, ciò che effettivamente facciamo è rapportare le variazioni delle coordinate della particella P alle variazioni della posizione delle lancette di un sistema (che chiamiamo Orologio, O): P=P(O). Avendo poi adottato questo Orologio come unità di misura per le variazioni dello stato di tutti i sistemi (ossia l’aver posto O = t) ci consente di esprimere X(O) come X(t) (dove X è il generico sistema in oggetto).

L’aspetto più critico di questo procedimento non è tanto l’arbitrarietà del sistema assunto ad unità di misura del tempo, quanto l’ipotesi implicita che esista effettivamente una grandezza fisica (il Tempo, con la T maiuscola!) che scorre da sé, indipendentemente da tutto il resto, e rispetto alla quale tutto il resto evolve.

Se il Tempo sia effettivamente una grandezza fisica (alla stessa stregua, ad esempio, del campo elettromagnetico o di quello gravitazionale) o soltanto una categoria mentale che noi introduciamo nel nostro modello mentale della Natura[2], è una questione ancora aperta, la cui risposta potrebbe venire dagli studi della gravità quantistica sulla quantizzazione dello spazio e del tempo e dall’unificazione di questa teoria con il Modello Standard.

É tuttavia importante prendere coscienza di questi aspetti in quanto, come vedremo, la Teoria della Relatività introduce una drastica revisione delle caratteristiche dell’entità Tempo, e queste semplici considerazioni possono aiutarci ad accettare meglio la rivoluzione di Einstein.

Sottolineiamo infine il fatto che la nozione di simultaneità è di importanza assolutamente fondamentale, in quanto è alla base del procedimento di misura del tempo, e quindi della sua definizione operativa.

Quando diciamo che un evento E_A=(t_A, r_A) si verifica, ad esempio, alle ore 12:00, noi intendiamo che l’evento E_A è simultaneo all’evento E_12:00 definito come: “le lancette di un orologio fermo in r_A sono posizionate sulle ore 12 e sui minuti 00”.

É chiaro quindi che un orologio può misurare solo il tempo locale degli eventi che si verificano nelle sue immediate vicinanze, e che per misurare il tempo di un secondo evento E_B=(t_B, r_B) abbiamo bisogno di un secondo orologio – sincronizzato con il primo – fermo in r_B.

La natura del Tempo è discussa nel Forum della e-school.

Composizione Classica delle Velocità

Il moto è relativo: è possibile cioè parlare di moto di un oggetto solo in relazione ad altri oggetti, ha senso quindi esprimere una velocità (o un’accelerazione) solo specificando rispetto a cosa (rispetto a quale Sistema di Riferimento) essa viene misurata. Due osservatori in moto relativo l’uno rispetto all’altro percepiscono quindi in modo differente il movimento di uno stesso oggetto.

Sia SR il sistema di riferimento del laboratorio ed SR’ un sistema di riferimento (arbitrario) animato di velocità relativa u(t) rispetto ad SR, e siano r(t) = OP(t) ed r’(t’) = O’P(t’) i raggi vettori che individuano le traiettorie di una stessa particella P rispetto ai due sistemi di riferimento; ovviamente risulta:

(2.1-a)                         r’(t’) = O’O(t’) + OP(t’) = OP(t’) – OO’(t’).

La velocità della particella in SR è ovviamente: , mentre in SR’ risulta: . L’ipotesi del tempo assoluto (t’ = t) consente di semplificare l’ultima relazione, ottenendo così:

(2.1-b)                         v = v’ + u, 

(dove non è più necessario specificare rispetto a quale SR viene misurato il tempo, e dove  rappresenta la velocità di trascinamento di SR’ rispetto ad SR). La (2.1-b)  è la formula classica di composizione delle velocità.

Dinamica Classica

La legge del moto stabilisce che una particella reagisce ad una forza esterna variando la propria velocità in misura direttamente proporzionale alla forza ed inversamente proporzionale alla propria massa. La massa viene assunta essere uno scalare, indipendente cioè dallo stato di moto della particella.

Ovviamente in assenza di forze esterne una particella animata di moto rettilineo uniforme prosegue indisturbata il suo moto. Inoltre, in queste condizioni, il moto non può essere percepito[3]: dati cioè due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, ciascun osservatore percepisce se stesso come fermo e l’altro come in movimento (la relazione fra di essi è cioè simmetrica) e i due punti di vista sono perfettamente compatibili in quanto nessun esperimento può rivelare uno stato di quiete o di moto “assoluto”.

I Sistemi di Riferimento Inerziali

Ovviamente la legge del moto ha senso solo se si specifica rispetto a quali sistemi di riferimento essa è valida. La relatività del concetto di moto, l’impossibilità di definirlo in termini assoluti e l’ipotesi che lo spazio sia omogeneo ed isotropo, portano ad escludere la presenza di un sistema di riferimento privilegiato, “fermo in assoluto”, ma a considerare un’intera classe di sistemi di riferimento, ciascuno dei quali animato da  moto rettilineo uniforme rispetto ad ognuno degli altri. Postulata la validità della legge del moto in uno qualsiasi di questi sistemi, essa sarà automaticamente soddisfatta anche in tutti gli altri: infatti, nel caso in cui risulti: t’=t, m’=m e v’ = v - u (con u costante), risulterà anche .

Tali sistemi di riferimento sono detti Inerziali (SRI) e sono caratterizzati dal fatto che in essi è valida la legge d’inerzia. L’inerzialità di un sistema di riferimento può essere rilevata solo sperimentalmente.

NB: spesso tralasceremo per brevità l’attributo inerziale quando risulti chiaro dal contesto.

Le Trasformazioni di Galileo

Le formule di trasformazione da un sistema di riferimento ad un altro si ottengono ponendo nelle (2.1-a): t=t’ e OO’(t’) = u(t-t₀), dove u è costante; se poi orientiamo l’asse x nella direzione di u e misuriamo il tempo a partire dall’istante in cui O = O’, otteniamo:

(2.1-c)                         ,

che sono dette Trasformazioni di Galileo (GT).

Il Principio di Relatività di Galileo

In base a quanto finora detto possiamo affermare che:

Ancorché tale affermazione sia nota come Principio di Relatività Galileiano, essa altro non è che una diretta conseguenza delle equazioni del moto, e viene quindi dimostrata e non postulata.

Assenza di una Velocità Limite

La meccanica classica non pone limiti alla velocità con cui può propagarsi un’interazione e quindi nemmeno alla velocità con cui può muoversi una particella[4].

In particolare l’interazione gravitazionale si propaga istantaneamente, ovvero con velocità infinita, e ciò è necessario per garantire la validità di questa legge in tutti i sistema di riferimento (la velocità infinita è infatti l’unica ad essere invariante rispetto alla formula classica  di composizione delle velocità).

Tuttavia la possibilità di spostarsi a velocità infinita sembra poco plausibile – dal punto di vista concettuale – se viene applicata al mondo fisico: infatti, se così fosse, sarebbe possibile raggiungere qualsiasi punto dello spazio in un tempo zero, ed essere quindi onnipresenti! Questo aspetto, insito nella Fisica Classica, è una diretta conseguenza dell’ipotesi del tempo assoluto, e verrà risolto nella Fisica Relativistica al duro prezzo di rinunciare a tale ipotesi.

Sincronizzazione degli Orologi

L’assenza di una velocità limite rende particolarmente semplice, nella Fisica Classica, la sincronizzazione degli orologi: è sufficiente che uno dei due orologi trasmetta, ad un istante prefissato, un segnale all’altro orologio; nel caso in cui la propagazione avvenga istantaneamente, se il secondo orologio riceve il segnale all’istante prefissato, allora esso è sincronizzato con il primo.

Causalità Classica

Il Principio di causalità afferma che se fra due eventi specifici E_A ed E_B esiste una relazione di causa-effetto, allora la causa deve necessariamente verificarsi prima dell’effetto, ponendo così un vincolo sulla sequenza temporale dei due eventi: t_A < t_B. Ovviamente questa relazione deve essere valida per tutti i possibili osservatori.

Rovesciando il punto di vista, è possibile utilizzare il principio di causalità per definire la relazione temporale fra due eventi: l’evento E_B è detto successivo all’evento E_A se e solo se E_A può produrre un effetto fisico su E_B.

Nell’accezione comune del termine, l’entità primaria associata ad un evento è il suo “contenuto” specifico (ad es. un evento potrebbe essere una partita di calcio, oppure l’arrivo di un treno), mentre il tempo ed il luogo in cui l’evento si verifica sono considerati come attributi secondari dell’evento. É chiaro che due eventi distinti non possono verificarsi contemporaneamente nello stesso posto, per cui l’insieme delle quattro coordinate spaziotemporali identifica univocamente un evento.

In Fisica invece, quando si parla di eventi, si prescinde completamente dal loro “contenuto”, identificando un evento con le sue coordinate spaziotemporali (t, r).

Ciò consente di utilizzare il principio di causalità per definire la relazione temporale di due eventi, anche quando fra di essi non esiste un effettivo nesso di causa-effetto: infatti, se prescindiamo dal contenuto, allora affinché E_B possa essere considerato  successivo ad E_A, non è necessario che E_A abbia effettivamente influenzato E_B, ma è sufficiente che, in base alle loro coordinate spaziotemporali, E_A possa aver influenzato E_B: non deve cioè esistere nessuna legge fisica che vieti ad una causa localizzata in (t_A, r_A) di produrre un effetto in (t_B, r_B).

Nella Fisica Classica il tempo assoluto e la possibilità di avere interazioni istantanee semplificano notevolmente la questione relativa alle relazioni temporali: infatti da una parte i concetti di passato, presente e futuro sono assoluti, e dall’altra l’unica limitazione esistente è che un evento non può produrre effetti nel passato. In altre parole, una causa può produrre effetti nel presente e nel futuro in tutto lo spazio, e tutti gli osservatori concorderanno sulla relazione temporale fra questi eventi.

Vedremo che nella Fisica Relativistica la presenza di una velocità limite impone una drastica revisione di questi concetti.

Possiamo definire il passato ed il futuro di un evento come l’insieme degli eventi rispettivamente precedenti o successivi ad esso.

Nella Fisica Classica la natura assoluta del tempo rende assolute anche le relazioni temporali, quindi il passato ed il futuro di un evento vengono ad essere concetti validi per tutti gli osservatori, indipendentemente dalla loro posizione e dal loro stato di quiete o di moto. Analogamente per il presente (insieme degli eventi simultanei).

                                 2    Incompatibilità dell’Elettromagnetismo
con la Meccanica Classica

Come abbiamo visto la Meccanica Classica è caratterizzata dal concetto di tempo assoluto; l’Elettromagnetismo invece è caratterizzato dalla presenza di una velocità assoluta. Però, poiché la velocità è una grandezza derivata, ottenuta a partire dallo spazio e dal tempo, questi due vincoli – e quindi anche queste due teorie – sono mutuamente incompatibili,.

La necessità di riconciliare Meccanica ed Elettromagnetismo impone quindi la revisione di una delle due teorie; d’altra parte l’evidenza sperimentale dell’invarianza della velocità della luce ha fatto sì che ad essere modificata dovesse essere la prima.

Questa revisione, essendo basata su una generalizzazione del Principio di Relativita Galileiano, prese il nome di Teoria della Relatività. L’aggettivo Ristretta venne aggiunto in seguito per distinguerla da un’ulteriore revisione che si rese necessaria per renderla compatibile anche con l’interazione gravitazionale.

Quale Sistema di Riferimento per la velocità della luce?

Le equazioni di Maxwell prevedono che le perturbazioni del campo elettromagnetico si propaghino con una certa velocità finita c. Ma rispetto a quale SR va calcolata c?

Accettando temporaneamente l’ipotesi dell’esistenza dell’etere quale mezzo attraverso il quale si propagherebbero le onde elettromagnetiche, e ragionando secondo i paradigmi della Fisica Classica, verremmo ad avere un sistema di riferimento privilegiato (quello in cui l’etere è fermo), e questo sistema di riferimento verrebbe ad essere l’unico nel quale risulterebbero valide sia le equazioni di Maxwell che quelle di Newton, mentre in tutti gli altri sistemi di riferimento continuerebbero ad essere valide le sole equazioni di Newton (infatti in questi sistemi la luce si propagherebbe con velocità differente e le equazioni di Maxwell assumerebbero una forma differente). Ne consegue che, sotto queste ipotesi, il principio di relatività galileiano non potrebbe essere esteso ai fenomeni elettromagnetici..

D’altra parte l’esperimento di Michelson-Morley fornisce una risposta sperimentale al problema dell’esistenza dell’etere: misurando la differenza di fase fra due raggi luminosi inizialmente in fase e che si propagano in direzioni differenti, è possibile verificare eventuali differenze della velocità di propagazione della luce lungo tali direzioni.^[5]

Poiché l’esperimento di Michelson-Morley non ha evidenziato frange di interferenza, abbiamo due possibili interpretazioni:

1)      l’etere è in quiete rispetto alla Terra, ovvero la Terra, nel suo moto attorno al Sole si trascina appresso tutto l’etere dell’Universo;

2)      la velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento, indipendentemente dalle loro velocità relative.

La prima ipotesi è altamente inverosimile, e siamo quindi portati ad assumere la seconda.

Quali Formule di Trasformazione?

Coerentemente con l’ipotesi assunta, è possibile verificare che:

1)      le equazioni di Maxwell non sono invarianti per GT, ma lo sono rispetto ad un altro tipo di trasformazioni (ricavabili a ritroso dalle equazioni di Maxwell) dette trasformazioni di Lorentz (LT);

2)      la velocità della luce è anch’essa invariante rispetto a tali trasformazioni;

3)      facendo tendere c ad infinito, o per velocità molto minori di c, le LT si riconducono alle GT.

L’ultimo punto è un caso particolare del cosiddetto Principio di Corrispondenza, che esprime il fatto che, se per estendere il campo di applicabilità di una teoria fisica consolidata siamo costretti a modificarla con una formulazione più generale, allora – per garantire la compatibilità della nuova teoria con la vecchia – è necessario che quest’ultima sia riconducibile ad un caso particolare della prima, eventualmente per effetto di un’approssimazione che risulti applicabile nel contesto piu restrittivo della vecchia teoria.

La velocità della luce viene quindi ad essere una costante universale, e le equazioni di Maxwell vengono ad essere valide in tutti i sistemi di riferimento inerziali, purché si utilizzino le LT invece delle GT.

L’invarianza di c significa che non è possibile rallentare un raggio di luce rincorrendolo: qualsiasi sia la nostra velocità, lo vedremo sempre propagarsi alla stessa velocità; se così non fosse sarebbe infatti possibile “fermare” la luce rincorrendola alla sua stessa velocità, ma le equazioni di Maxwell non consentono di avere campi elettromagnetici fermi.

Ovviamente l’invarianza di c è incompatibile con la formula classica di composizione delle velocità e con le GT; infatti la legge di Newton non è invariante rispetto alle LT. Ci troveremmo quindi ad avere due formule di trasformazione differenti: una per i fenomeni meccanici e un’altra per quelli elettromagnetici. Questa situazione è chiaramente inaccettabile, oltre che dal punto di vista concettuale (in quanto in contrasto con il carattere unitario della Natura), anche dal punto di vista pratico (non essendo possibile isolare i fenomeni puramente meccanici da quelli puramente elettromagnetici). É pertanto necessario avere un unico insieme di formule di trasformazione, valido in entrambi i campi (anzi, in generale, in tutti i campi).

Per superare l’incompatibilità tra Meccanica Classica ed Elettromagnetismo dobbiamo quindi modificare la prima in modo da rendere le sue leggi anch’esse invarianti rispetto alle LT.

Il Principio di Relatività di Einstein

Così facendo è possibile estendere il principio di relatività anche ai fenomeni elettromagnetici; d’altra parte l’invarianza delle leggi fisiche rispetto a cambiamenti di sistemi di riferimento  inerziali esprime un aspetto profondo della Natura, le cui manifestazioni prescindono ovviamente dal particolare sistema di riferimento che noi utilizziamo per descriverla.

Secondo il Principio di Relatività di Einstein:

In particolare, poichè le equazioni di Maxwell sono una legge della Natura, e poiché esse contengono al loro interno la velocità della luce, ne consegue che la velocità della luce è una costante universale, ed è la stessa in tutti i sistemi di riferimento inerziali (MA COSA SUCCEDE NEI SR NON INERZIALI ???).

Sincronizzazione degli Orologi

Pur non potendo sincronizzare gli orologi con la procedura classica, è tuttavia possibile utilizzare una procedura alternativa che sfrutti l’invarianza della velocità della luce: dette P_A e P_B le posizioni dei due orologi e t_A e t_B i rispettivi tempi, emettendo dal punto P_A un raggio di luce all’istante t_A , esso arriverà in P_B all’istante t’_B e verrà immediatamente riflesso, ritornando in P_A all’istante t^’’_A. Essendo sia il tragitto che la velocità uguali per l’andata e per il ritorno, i due orologi sono sincronizzati se t^’_B – t_A = t^’’_A – t^’_B.

Qual è il prezzo da pagare?

La sostituzione del concetto di un tempo assoluto con quello di una velocità assoluta impone una drammatica revisione dei concetti di spazio e di tempo che mina la comune percezione di queste due entità: infatti se una particolare velocità deve essere invariante rispetto allo stato di moto di un osservatore, allora lo spazio ed il tempo devono entrambi dipendere dallo stato di moto dell’osservatore.

Ciò significa che due osservatori in moto relativo l’uno rispetto all’altro – pur essendo dotati di due orologi identici e di due metri campione identici – misurando la durata temporale di uno stesso fenomeno o la lunghezza di uno stesso oggetto, otterranno valori differenti: il tempo e lo spazio dell’uno sono diversi dal tempo e dallo spazio dell’altro. Essi invece, pur essendo in moto relativo, concorderanno sulla velocità di propagazione della luce.

D’altra parte questi fenomeni diventano rilevanti solo per velocità prossime a quelle della luce, mentre la nostra esperienza sensoriale è limitata a velocità molto più basse, dove le differenze fra le durate e le relazioni temporali (prima, dopo, contemporaneamente) o fra le lunghezze spaziali sono del tutto irrilevanti. Questa limitazione ha fatto sì che il modello della Natura che ci siamo costruiti in base alle nostre esperienze dirette fosse basato sull’idea che durate e lunghezze siano entità assolute ed uguali per tutti, e questo preconcetto è radicato in maniera così profonda nel nostro modo di pensare, che ci risulta innaturale e paradossale accettare le vere leggi della Natura, ci sembra anzi di andare “contronatura”.

Unità di Misura

Per semplificare i conti e le espressioni, conviene talvolta misurare lo spazio in “secondi luce”, di modo che c = 1, spazio e tempo vengono ad avere unità di misura con le stesse dimensioni, la velocità è un numero puro, e β = u.

In alcuni casi faremo uso di questa convenzione, risultando peraltro chiaro dalle formule quando essa sia utilizzata.

                                                                   3    Cinematica Relativistica

La trattazione degli aspetti cinematici (sia classici che relativistici) può essere affrontata con un approccio geometrico considerando le tre coordinate spaziali e quella temporale di una particella come le coordinate di un punto (Evento) o come le componenti di un vettore in uno spazio a quattro dimensioni. In questo modo i cambiamenti di sistema di riferimento vengono ad essere espressi da trasformazioni delle coordinate spaziotemporali.

Questo approccio, che nella Cinematica Classica può essere considerato un puro espediente matematico, rivela invece tutta la sua potenza e profondità nella Cinematica Relativistica, dove l’intima connessione fra spazio e tempo fa sì che lo spaziotempo venga a possedere un’effettiva realtà fisica.

3.1Il Punto di Partenza: Le Trasformazioni Classiche

Rappresentazione Geometrica delle Trasformazioni di Galileo

Analizzeremo ora le GT con un approccio in parte geometrico ed in parte matriciale che si presta ad essere generalizzato nel caso relativistico. Consideriamo pertanto la trasformazione classica (2.1-c), riscrivendola per comodità della forma:

(2.3-a)                                     ,

 (dove x⁰ = ct , x¹ = x e β = u/c), e notiamo che ad essa è associata la matrice di trasformazione .

Vogliamo rappresentare questa trasformazione nello spaziotempo classico, ossia in un piano x¹x⁰ (NB: è consuetudine relativistica mettere in ascissa lo spazio e non il tempo!). Detta O’ l’origine di SR’, essa risulterà banalmente in quiete rispetto ad SR’ (cioè: (x’_O’)¹ = 0) ed in moto rispetto ad SR, essendo la sua equazione del moto in SR data da: (x_O’)¹ = βx⁰. D’altra parte nello spaziotempo il luogo dei punti in cui l’origine di un sistema di riferimento è in quiete rappresenta l’asse dei tempi di questo sistema, per cui la retta di equazione x¹ = βx⁰ rappresenta in SR l’asse dei tempi di SR’.

Invertendo la matrice di trasformazione otteniamo: , che differisce da A solo per il segno di β. Ciò esprime il fatto (detto Lemma di Reciprocità) che se SR vede SR’ muoversi con velocità u, allora SR’ vede SR muoversi con velocità –u.

La situazione è schematizzata nelle figure seguenti:

                

Va notato quanto segue:

·   É evidente l’asimmetria fra spazio e tempo.

·   Gli assi di SR’ non sono più ortogonali, e l’asse x’⁰ è inclinato rispetto a x⁰ di un angolo θ = arctan β;

·   Le unità di misura temporali sono differenti;

·   L’assunzione del tempo assoluto si traduce nell’invarianza dell’asse spaziale (infatti la coordinata temporale si ottiene tracciando la proiezione parallela all’asse spaziale);

·   L’invarianza dell’asse spaziale (e quindi di tutte le sue parallele) unitamente alla differenza delle unità di misura, comporta che la relazione di simultaneità sia assoluta, così come lo è il tempo (infatti gli eventi simultanei giacciono tutti su una retta parallela all’asse dei tempi, ed hanno quindi la stessa ordinata in entrambi i sistemi di riferimento).

·   Lo stesso risultato poteva essere ottenuto a partire dai vettori di base, i quali, essendo covarianti, si trasformano con la matrice  , per cui risulta: .

   

 

Composizione delle Velocità (Classica)

Otterremo ora le formule già note di composizione delle velocità con un procedimento che verrà utilizzato anche nel caso relativistico. Per far questo consideriamo un sistema di riferimento SR solidale con il laboratorio, un altro sistema di riferimento SR₁ in moto con velocità di trascinamento β₁ rispetto ad SR ed una particella in moto con velocità β₂ rispetto ad SR₁. Volendo determinare la velocità β₃ della particella rispetto al sistema del laboratorio, è sufficiente considerare un sistema di riferimento SR₂ solidale con la particella e considerare che la trasformazione SR → SR₂ è data dalla composizione delle due trasformazioni SR → SR₁ e SR₁→ SR₂, e quindi la matrice A₃ sarà il prodotto delle matrici A₁ e A₂: . Questo risultato ci dice che il prodotto di due GT è ancora una GT, con velocità, rispetto al SR di partenza, data da:

(2.3-b)                         β₃ = β₁ + β₂

(questa formula coincide ovviamente con la (2.1-b), già ricavata in modo più elementare.

3.2Il Punto di Arrivo: Le Trasformazioni Relativistiche

Rappresentazione Geometrica dell’Invarianza di c

Otterremo ora le LT utilizzando l’approccio già seguito per le GT e apportando le modifiche necessarie per garantire l’invarianza della velocità della luce. Cominciamo quindi col considerare l’equazione del moto di un fotone in SR: essa è chiaramente rappresentata dalla retta R di equazione: x¹ = x⁰ ; geometricamente abbiamo che, detti rispettivamente α₀ ed α₁ gli angoli fra tale retta e gli assi x⁰ ed x¹, deve risultare α₀ = α₁.

L’invarianza di c si traduce nella condizione che anche in SR’ l’equazione del moto del fotone debba essere del tipo: x’¹ = x’⁰, quindi anche in SR’ si dovrà avere α’₀ = α’₁ , ovvero – in termini delle inclinazioni degli assi di SR’ rispetto a quelli di SR – si dovrà avere: θ₁ = θ₀.

        

É evidente la completa simmetria che viene ora ad esistere fra spazio e tempo: in entrambi i sistemi di riferimento l’asse spaziale e quello temporale sono simmetrici rispetto alla retta che esprime l’equazione del moto di un fotone (la bisettrice), e l’invarianza della bisettrice assicura l’invarianza di c.

 

Per ottenere le formule di trasformazione delle coordinate, conviene partire considerando la trasformazione dei vettori di base. Lasciandoci guidare dall’analogia con le GT e dalla figura, possiamo iniziare a porre: e’₀ = e₀ + βe₁ , e e'₁ = βe₀ + e₁ . Notiamo tuttavia che la simmetria rispetto alla bisettrice (invarianza di c) viene mantenuta anche se entrambi i membri di destra di queste due formule vengono moltiplicati per uno stesso fattore γ, che verrà ricavato in seguito.

Pertanto la matrice di trasformazione dei vettori di base è data da , mentre, al solito, la matrice inversa si ottiene cambiando il segno di β. Di conseguenza, essendo la matrice di trasformazione delle coordinate, data da , otteniamo:

che costituiscono le formule cercate (Trasformazioni di Lorentz LT).

 

 

Le (2.3-c) possono essere ottenute anche con altri procedimenti, ma quello geometrico è, a mio avviso, più intuitivo.

Il procedimento per utilizzare i diagrammi spaziotemporali può essere così riassunto:

a)       si traccia una coppia di assi ortogonali (SR);

b)       si disegnano sul piano x⁰x¹ i punti relativi agli eventi da analizzare, utilizzando le consuete proiezioni ortogonali;

c)       si traccia una seconda coppia di assi (SR’) inclinata rispetto ai precedenti di un angolo β = v/c e simmetrici rispetto alla bisettrice del primo quadrante;

d)       le coordinate spaziotemporali degli eventi in esame vengono ottenute tracciando le parallele agli assi di SR’ (e tenendo conto del coefficiente γ).

Particolare rilevanza assumono le rette parallele agli assi spaziali (x⁰ = cost e x’⁰ = cost), in quanto esse rappresentano il luogo degli eventi simultanei nei rispettivi SR. Anticipando un punto che esamineremo più in dettaglio in seguito, possiamo già affermare che l’inclinazione relativa dei due assi spaziali fa sì che gli eventi simultanei in un sistema di riferimento non lo siano più nell’altro.

Il Coefficiente γ

Per comodità di calcolo scriviamo le (2.3-c) come: x’^μ = L^μ_ν x^ν, ovvero in forma matriciale come: x’ = Lx, dove L = γ ( I – βσ ) e , e rileviamo che σ è una matrice simmetrica (σ = σ^T) ed ortogomale (σσ^T = I), e quindi risulta anche: σ² = I.

Come abbiamo accennato, la determinazione del fattore γ non può essere ricavata in base all’invarianza di c, ma richiede ulteriori condizioni. In particolare:

·  l’omogeneità dello spazio e del tempo esclude che γ possa dipendere da  x, y, z e t;

·  l’isotropia dello spazio esclude che γ possa dipendere dalla direzione e dal verso di u; inoltre essendo γ adimensionale, si ha che γ può dipendere solo dal valore assoluto di β;

·  il lemma di reciprocità richiede che la trasformazione inversa debba potersi ottenere invertendo il segno di β, ossia: L(β) L^-1(β) = L(β) L(–β) = I, da cui: γ(β)γ(-β) (I – βσ) (I + βσ) = γ(β)γ(-β) (1 – β²) I, e quindi, poichè γ(β) = γ(-β), risulta: ; escludendo la radice negativa otteniamo finalmente:

 

Sviluppando γ in serie di potenze otteniamo che, per β ≪ 1: γ ≅ 1 + β²/2, ovvero il coefficiente di dilatazione relativistica γ differisce dall’unità solo per termini dell’ordine di β², e quindi, al primo ordine di approssimazione, può essere posto uguale a 1, e le (2.3-c) diventano:  che coincidono con le formule classiche delle GT (2.3-a). Con ciò abbiamo dimostrato che il Principio di Corrispondenza è soddisfatto: la Fisica Relativistica coincide con quella classica al primo ordine di approssimazione[6].

Composizione delle Velocità (Relativistica)

Il procedimento per ricavare la formula relativistica di composizione delle velocità è lo stesso già utilizzato nel caso classico. Pertanto, dette L₁, L₂ ed L₃ le matrici di trasformazione rispettivamente SR→SR₁, SR₁→SR₂ e SR→SR₃, abbiamo che :

L₃ = L₁L₂ = γ₁ (I – β₁σ) γ₂ (I – β₂σ) = γ₁γ₂ ((1 + β₁β₂) I – (β₁ + β₂)σ) =  , e quindi:

(2.3-e)                                 ,

dove:

è la formula cercata.

Si verifica immediatamente che:

a)      per β₁ < 1 e β₂ < 1, anche β₃ < 1 : la composizione di due velocità entrambe inferiori a c dà sempre una risultante anch’essa inferiore a c;

b)      se β₁ = 1 oppure β₂ = 1, allora anche β₃ = 1 : se una delle due velocità è pari a c, allora anche la risultante sarà pari a c, indipendentemente dall’altra velocità;

c)      per c → ∞, o per (β₁≪ 1 , β₂≪ 1) la (2.3-f) si riduce alla (2.3-b) (Principio di Corrispondenza).

La Velocità Limite

Dalla (2.3-d) risulta che per β = 1, γ diventa infinito e che per β > 1 γ è immaginario, quindi le LT richiedono che si abbia β < 1 (ovvero u < c). Questo fatto è peraltro evidente dal punto di vista geometrico in quanto per β = 1 entrambi gli assi di SR’ formerebbero un angolo di π/4 rispetto ai corrispondenti assi di SR, e verrebbero quindi a sovrapporsi, facendo così degenerare la trasformazione!

Da un punto di vista fisico, questa restrizione esprime il fatto che la velocità relativa di due sistemi di riferimento deve sempre essere minore di c. Da ciò consegue anche che nessun corpo può muoversi con velocità maggiore di c indipendentemente dal SR utilizzato per calcolare la sua velocità: infatti, se ciò fosse possibile, potrei fissare SR’ solidale con il corpo e passare da SR a SR’ con una LT, la quale verrebbe ad avere β > 1, ma abbiamo visto che ciò non è consentito.

Inoltre la proprietà (a) della formula relativistica di composizione delle velocità esclude la possibilità di raggiungere o superare la velocità della luce mediante composizione di moti con velocità relative < c.

Proprietà della Matrice di Trasformazione

Consideriamo i seguenti fatti:

·  dalle (2.3-e) e (2.3-f)  risulta che – come ci saremmo aspettati – il prodotto di due LT è ancora una LT e che β₃ è simmetrico rispetto a β₁ e β_2;,

·  come abbiamo già visto: L^-1(β) = L(–β);

·  ponendo v=0 abbiamo che L(0) = I.

Da tutto ciò consegue che le LT formano un gruppo abeliano.

Un’altra proprietà delle LT si ha considerando il fatto che det(L) = γ² (1 – β²) = 1, e quindi le LT conservano il “quadrivolume” dello spaziotempo.

Si verifica infine agevolmente che le matrici delle LT sono ortogonali.

Possiamo generalizzare la definizione di ortogonalità di una matrice già utilizzata nello spazio euclideo, considerando cioè le righe (o le colonne) della matrice come le N componenti di N vettori e_(i), e definendo la condizione di ortogonalità come: e_(i)∙e_(j) = g_ij, dove g_ij sono le componenti del tensore metrico pseudoeuclideo (2.3-h). É chiaro che ora bisognerà tener conto del tensore metrico anche nel prodotto scalare, per cui, esprimendo la condizione di ortogonalità in forma matriciale, abbiamo: LgL = γ² (I – βσ)g(I – βσ) = γ² (g – β(σg + gσ) + β² σgσ) = γ² (1 – β²)g = g (dove si è sfruttata l’anticommutatività di g e σ ; inoltre, essendo σ²=I, vale la relazione: σgσ  = – g).

3.3L’Intervallo Invariante

L’Intervallo Invariante per un Fronte d’Onda

Consideriamo il fronte d’onda associato ad una sorgente luminosa situata in r₀ che viene accesa all’istante t₀: esso è chiaramente una sfera centrata in r₀, il cui raggio cresce linearmente nel tempo con velocità costante c, per cui la sua equazione è data da: (r – r₀)² = c²(t-t₀)² . In un differente sistema di riferimento il fronte d’onda si propaga sempre con velocità c, per cui la sua equazione sarà sempre: (r’ – r₀’)² = c²(t’-t₀’)² .

Posto:

abbiamo quindi che l’invarianza di c comporta che gli eventi situati sul fronte d’onda di un raggio di luce sono caratterizzati, in qualsiasi sistema di riferimento, da:

                                   [Δs²] = [Δs’²] = 0.

L’Intervallo Invariante per Eventi Generici

L’invarianza dell’intervallo tuttavia non è limitata agli eventi situati su un fronte d’onda luminosa, ma è valida per eventi qualsiasi. Infatti l’intervallo fra due eventi generici E_A ed E_B può essere scritto come:

(2.3-g)                         [Δs²] =  x_A^μg_μνx_B^ν

(ovvero come x_Agx_B [7]), dove:

è detto tensore metrico pseudoeuclideo, e quindi risulta: [∆s’²] = x’_A^μg’_μνx’_B^ν = γ² (I – βσ)x_A g (I – βσ)x_B = γ² [ (1-β²)g – β(σg + gσ ) ] x_A x_B = x_Agx_B = [∆s²]  (dove si è sfruttata l’anticommutatività delle matrici g e σ ed il fatto che g’=g [8]).

Il risultato ottenuto è il Teorema Fondamentale della Relatività Ristretta, ed esprime il fatto che, dati due eventi qualsiasi, la differenza fra il quadrato della loro distanza spaziale ed il quadrato della loro “distanza” temporale è la stessa in qualsiasi sistema di riferimento essa venga misurata. In altre parole, tutti gli osservatori, pur misurando valori differenti per le singole coordinate spaziali e temporali dei due eventi, concorderanno sul valore di questa espressione.

L’invarianza dell’intervallo è talmente importante da meritare di esaminare anche dei procedimenti alternativi di dimostrazione.

Il Tempo Proprio

Se due eventi si verificano, in un certo sistema di riferimento SR₀, ad istanti differenti nello stesso posto, allora ∆x₀ = 0 e quindi ∆t₀² = – ∆s² è un invariante. L’intervallo temporale ∆t₀ viene comunemente indicato con τ e denominato “Tempo Proprio”.

La relazione fra il tempo proprio τ ed il tempo t di un altro sistema di riferimento tiene conto del fenomeno della dilatazione dei tempi, ed è data dalla (2.4-a’).

La Lunghezza a Riposo

Se due eventi si verificano, in un certo sistema di riferimento SR₀, in posizioni differenti nello stesso istante, allora ∆t₀ = 0 e quindi ∆x₀² = ∆s² è un invariante. L’intervallo spaziale ∆x₀ viene comunemente indicato con L₀ e denominato Lunghezza a Riposo.

La relazione fra la lunghezza a riposo L₀ e la lunghezza in un altro sistema di riferimento tiene conto del fenomeno della contrazione delle lunghezze, ed è data dalla (2.4-b).

Prima dimostrazione alternativa

Questa dimostrazione sfrutta, oltre all’invarianza di c, solo il lemma di reciprocità e considerazioni relative all’omogeneità ed all’isotropia dello spazio e del tempo, ed è articolata come segue:

-  Consideriamo due sistemi di riferimento: SR ed SR₁ , il secondo dei quali animato di velocità u₁ rispetto al primo.

-  Limitandoci inizialmente ad intervalli infinitesimi, essendo entrambi dello stesso ordine, la relazione fra di essi (a meno di infinitesimi di ordine superiore) risulta lineare: ds₁² = α ds².

-  In generale α=α(u, r, t); tuttavia la dipendenza dalla posizione e dal tempo è esclusa a priori se assumiamo che essi siano omogenei; inoltre la dipendenza dalla direzione di u è anch’essa esclusa a priori se assumiamo che lo spazio sia isotropo. La sola dipendenza possibile è quindi quella dal modulo di u: α = α(u).

-  Consideriamo ora un terzo sistema di riferimento SR₂ animato di velocità u₂ rispetto ad SR; detta u₁₂ = u₂ – u₁ la sua velocità relativa rispetto ad SR₁, avremo le seguenti relazioni fra gli intervalli:

                ds₁² = α(u₁) ds² ,

                ds₂² = α(u₂) ds² ,

                ds₂² = α(u₁₂) ds₁² = α(u₁₂) α(u₁) ds² ;

e quindi:

             .

-  Poichè i vettori u₁ ed u₂ non sono necessariamente paralleli, se manteneniamo costanti le loro lunghezze e facciamo variare l’angolo θ fra di essi, la loro differenza assumerà valori differenti a seconda del loro orientamento relativo; di conseguenza, se a(u) non fosse costante, nell'ultima uguaglianza verremmo ad avere - al variare di θ - un valore costante nel membro di sinistra (che non dipende da θ) e un valore variabile nel membro di destra. L'ipotesi della variabilità è pertanto da escludere, per cui α(u) = k = costante.

-  Il valore di k si ricava facilmente in quanto .

-  Abbiamo così dimostrato che gli intervalli infinitesimi sono invarianti: ds’² = ds² . La relazione vale però anche per gli intervalli finiti: basta infatti suddividere Δr in N vettori infinitesimi paralleli e di lunghezza uguale pari a |Δr|/N, e analogamente per Δt: Δr = Ndr e Δt = Ndt ; per cui Δs² = N²(dr² – c²dt²) = N² (dr’² – c²dt’²) = Δs’² .

Seconda dimostrazione alternativa

Questa dimostrazione sfrutta la dilatazione dei tempi e la contrazione delle lunghezze.

Abbiamo già visto che nel caso ∆s² = 0 l’invarianza dell’intervallo equivale all’invarianza di c. Consideriamo ora separatamente i due casi ∆s² < 0 e ∆s² > 0.

·   Nel primo caso abbiamo che ∆x < c∆t, e quindi esiste un sistema di riferimento  SR’ in moto rispetto ad SR con velocità u = ∆x/∆t < c nel quale i due eventi E_A ed E_B avvengono nello stesso posto (infatti ∆x’ = γ(–v∆t + ∆x) = 0). Ne consegue che, per la dilatazione dei tempi, risulta ∆t = γ∆t’ (t’ viene ad essere il tempo a riposo), e quindi ∆s’² = c²∆t’² = c²(1-β²)∆t² = c²∆t² – v²∆x² = ∆s².

·   Nel secondo caso è invece possibile scegliere un sistema di riferimento SR’ in cui i due eventi sono simultanei: infatti ponendo , ricaviamo . Ne consegue che, per la contrazione delle lunghezze, risulta: ∆x’ = ∆x/γ (∆x viene ad essere la lunghezza a riposo), e quindi: .

Le varie situazioni sono illustrate nelle seguenti figure.

3.4Lo Spaziotempo

Gli eventi hanno una realtà fisica ben precisa per tutti gli osservatori, la quale ovviamente prescinde dagli specifici sistemi di coordinate spaziotemporali utilizzati per rilevarli; tuttavia queste coordinate, oltre a costituire lo strumento necessario per poter descrivere gli eventi, consentono anche di analizzare le relazioni spaziali e temporali in termini della struttura geometrica dello spaziotempo.

Spaziotempo Classico

La natura assoluta del tempo fa sì che nella Fisica Classica lo spazio ed il tempo siano due entità totalmente separate: mentre le tre coordinate spaziali dipendono dallo stato di moto dell’osservatore, la coordinata temporale invece non ne è influenzata e risulta identica per tutti gli osservatori, indipendentemente dal loro stato di moto. In altre parole: mentre le tre coordinate spaziali possono “mescolarsi” sia fra di loro (per effetto di una rotazione degli assi spaziali) che con la coordinata temporale (per effetto del moto del sistema di riferimento), la coordinata temporale non viene invece influenzata da questi fenomeni.

In uno spaziotempo a due dimensioni (x, t) la relazione di simultaneità fra più eventi viene ad essere rappresentata geometricamente dal fatto che tali eventi giacciono su rette di equazione t = t₀ , che sono ovviamente perpendicolari all’asse t (e quindi parallele all’asse x). Inoltre queste rette sono invarianti rispetto alle GT: infatti anche in un differente sistema di riferimento SR’ l’equazione della retta rimane sempre t’ = t₀.

La retta t = t₀ divide lo spaziotempo classico in tre regioni:

·  gli eventi giacenti sotto di essa (t < t₀) appartengono al passato (nel senso che sono già avvenuti) di un qualsiasi evento giacente su di essa;

·  gli eventi giacenti su di essa (t = t₀) appartengono al presente (nel senso che avvengono contemporaneamente) di un qualsiasi evento giacente su di essa;

·  gli eventi giacenti sopra di essa (t > t₀) appartengono al futuro (nel senso che devono ancora avvenire) di un qualsiasi evento giacente su di essa.

É importante sottolineare che queste relazioni temporali:

- sono valide per tutti gli osservatori, indipendentemente dal loro stato di moto e attengono quindi unicamente agli eventi: tutti gli osservatori infatti concorderanno sul fatto che un evento si verfichi prima, contemporaneamente o dopo rispetto ad un altro evento;

-