Il Filo di Arianna di Diego Vasdeki

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EXCURSUS  STORICO

  (Versione 1.0 del  17-09-2005)

Fisica, Geometria e Matematica nacquero come discipline scientifiche ben distinte fra loro, ma nel corso dei relativi sviluppi i punti di contatto, le analogie e le interrelazioni reciproche sono andati sempre più aumentando.

La Geometria –  nata nell’antico Egitto per esigenze essenzialmente pratiche (ripristinare i confini di proprietà dei terreni dopo le inondazioni del Nilo) –  solo dopo qualche millennio riuscì, con Euclide, a svincolarsi da queste finalità applicative, assurgendo così a disciplina scientifica a se stante.

L’ambito della Geometria era inizialmente confinato allo studio delle proprietà di oggetti (le “figure geometriche”) quali triangoli, rettangoli, cerchi, ecc., ed era ben distinto da quello della Matematica di allora (che si occupava principalmente di numeri e non di forme); quasi altri due millenni furono necessari prima che Cartesio, con la Geometria Analitica, stabilisse un ponte tra le due discipline, basato sulla possibilità di identificare i punti dello spazio per mezzo di terne di numeri, riducendo così lo studio delle figure geometriche allo studio delle equazioni che rappresentano le coordinate dei punti di tali figure.

Questo legame era destinato a diventare sempre più stretto, ed i progressi in una disciplina si ripercuotevano anche sull’altra e viceversa. Ad esempio il calcolo differenziale consentì dapprima di studiare alcuni aspetti geometrici (quali minimo, massimo, concavità, flesso, …) delle curve associate al grafico di una funzione, e successivamente di indagare sistematicamente le figure geometriche curve, dando così origine alla Geometria Differenziale.

Si stava intanto delineando il fatto che le curve e soprattutto le superfici non erano solamente “luoghi di punti” di uno spazio euclideo nel quale si trovano immerse, ma possedevano a tutti gli effetti dignità di spazi a se stanti. Il cordone ombelicale che le legava allo spazio euclideo venne reciso da Gauss con la scoperta che alcune proprietà geometriche delle superfici (quali ad es. la curvatura) non dipendevano dall’esistenza di uno spazio euclideo circostante, ma erano “intrinseche” alle superfici stesse (Teorema Egregium).

D’altra parte le proprietà di questi “spazi curvi” erano ben diverse da quelle dello “spazio piatto” euclideo: ci si stava cioè rendendo conto del fatto che lo spazio euclideo non era l’unico matematicamente possibile. Nacquero così le geometrie non euclidee che diedero finalmente risposta alle questioni – che per due interi millenni avevano angosciato generazioni di matematici –  relative al quinto postulato: la sua indipendenza dagli altri quattro e la possibilità di negarlo senza introdurre contraddizioni. La Geometria stava ampliando il proprio ambito: dal semplice studio delle figure geometriche allo studio delle proprietà dello spazio, o meglio dei vari tipi possibili di spazio.

Per secoli la Geometria Euclidea era stata considerata l’unica possibile in quanto alla Geometria veniva richiesto di modellare lo spazio fisico, ed è stato solo quando ci si liberò di questo vincolo che poterono nascere le geometrie “alternative”. Tuttavia le conferme sperimentali della validità della Geometria Euclidea per descrivere lo spazio fisico sono limitate a regioni dell’Universo di piccole dimensioni: noi sappiamo cioè che l’Universo è “localmente euclideo”, ma non sappiamo ancora quale sia la sua geometria su larga scala.

Lo spazio, secondo la Fisica Classica, è il teatro nel quale avvengono i fenomeni: era quindi naturale che la descrizione degli aspetti spaziali di un sistema fisico venisse effettuata utilizzando entità geometriche, prima fra tutte i vettori: nati come astrazione geometrica del concetto di segmento orientato, i vettori costituivano lo strumento ideale per descrivere e studiare  le entità cinematiche e dinamiche della Meccanica Classica.

Applicando il calcolo differenziale ai campi vettoriali si arrivò al calcolo vettoriale: uno strumento che consentiva di descrivere le proprietà spaziali locali di un campo vettoriale (ad esempio il suo flusso o la sua circuitazione) per mezzo di specifici operatori differenziali (divergenza e rotore). La disponibilità di questo apparato matematico consentì a Maxwell di descrivere il campo elettromagnetico in maniera elegante e compatta, e di formulare le sue famose equazioni.

L’approccio vettoriale della meccanica newtoniana era tuttavia poco adatto a trattare i sistemi meccanici sottoposti a vincoli. Nasceva così, ad opera di Lagrange e di Hamilton, la Meccanica Analitica, una disciplina che consentì, con l’utilizzo di strumenti essenzialmente matematici, di approfondire grandemente gli aspetti strutturali della Meccanica Classica. Anche in questo campo gli aspetti geometrici si sono rivelati particolarmente significativi: ad esempio il moto di un sistema meccanico sottoposto a vincoli veniva ad essere rappresentato dal moto di un singolo punto in uno spazio Riemanniano avente una metrica definita dall’energia cinetica del sistema.

L’approccio vettoriale si dimostrò inadeguato anche per trattare i sistemi (elastici, idrodinamici ed elettrodinamici) continui, la cui descrizione, come quella dei corpi rigidi, richiedeva entità di natura più generale. Nasceva così il calcolo tensoriale (una generalizzazione del calcolo vettoriale), strumento particolarmente versatile utilizzato non solo nella Fisica Classica, ma anche nella Geometria Differenziale e successivamente nella teoria della Relatività.

L’approccio variazionale ha d’altronde un forte contenuto geometrico: la ricerca di una curva nello spazio delle configurazioni soddisfacente determinate condizioni di stazionarietà.

Gli aspetti connessi all’invarianza giocano poi un ruolo di particolare importanza in tutte e tre le discipline.

L’evidenza della costanza della velocità della luce e la necessità di eliminare le incoerenze fra la Meccanica Classica e l’Elettromagnetismo, portarono Einstein a rivedere drasticamente il ruolo del tempo: non più una grandezza assoluta ed invariabile, che scorre sempre alla stessa velocità, bensì un’entità fluida connessa in maniera inscindibile allo spazio fisico in un continuo quadridimensionale: lo spaziotempo. Gli aspetti geometrici dello spaziotempo della Relatività Ristretta furono analizzati da Minkowski e sono di grande utilità per mantenere il rigore in un campo piuttosto scivoloso in cui l’intuizione è fallace e l’apparente paradosso è sempre in agguato.

La legge della gravitazione universale di Newton era rimasta ancora fuori dalla Meccanica Relativistica e sottendeva l’irrealistica ipotesi di un’interazione a distanza che avvenisse istantaneamente. La necessità di eliminare anche questa incoerenza, oltre al desiderio di dare una spiegazione alla strana equivalenza fra massa gravitazionale e massa inerziale, portarono Einstein a rivedere ancora più drasticamente le ipotesi alla base della struttura dello spaziotempo ed al suo ruolo nei fenomeni gravitazionali. Lo spaziotempo perse così la sua natura pseudo-euclidea e divenne una varietà riemanniana quadridimensionale, il cui ruolo non era più puramente passivo: infatti lo spaziotempo da una parte subisce, deformandosi, l’effetto dovuto dalla presenza della massa gravitazionale e dall’altra determina, con la sua forma, le equazioni del moto di un corpo (che si sposta sempre lungo le sue geodetiche). La Relatività Generale è quindi una teoria essenzialmente e profondamente geometrica.

 

Bibliografia

Libri

Mlodinow, L.: Euclid’s Window: The Story of Geometry from Parallel Lines to Hyperspace. (The Free Press, New York, 2001).

Esposizione divulgativa, brillante ed arguta delle tappe evolutive della Geometria e delle sue relazioni con la Fisica. Indirizzata al profano, ma interessante anche per lo studioso.

Internet

Caressa, P.: Geometria e Topologia. (1995) (http://www.caressa.it/matematica.html#Argomenti-- ).

Interessante e sintetica rassegna storica dell’evoluzione e dei concetti distintivi della Geometria e della Topologia.