.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G86
Calcolare i punti ombelicali dell'ellissoide
.
Risoluzione :
Una parametrizzazione dell'ellissoide è :
con 
, 
, 
.
Il suo grafico è (con 
, 
, 
) :
Si tenga presente che sono esclusi dalla parametrizzazione i
punti dell'ellissoide corrispondenti a 
, 
, 
, 
, ovvero il
semicerchio massimo 
indicato in figura comprendente i poli 
e 
.
Si ha :
da cui, tenendo presente che :
,
si ricava :
.
La curvatura gaussiana e la curvatura media sono :
e :
.
La massima e la minima curvatura normale, 
, 
, sono date da :
.
In un punto ombelicale si deve avere :
per cui, dovendo essere :
,
nel nostro caso si ricava :
che fornisce :
da cui, sostituendo 
e 
e
semplificando (tenendo presente che 
, 
, 
, 
), si ottiene :
.
Questa equazione fornisce i punti ombelicali nella presente
parametrizzazione (si tenga presente l'esclusione dei punti di
).
L'equazione è evidentemente equivalente al sistema :
(si consideri sempre
).
Sostituendo, otteniamo :
(sempre con
).
Per 
l'ellissoide diventa una sfera, per cui i suoi punti sono tutti punti ombelicali.
Per 
(omettiamo
gli altri casi) si ha :
-
per 
si
ottiene 
-
per 
si
ottiene 
-
per 
si
ottiene 
.
Il caso 
, escluso dalla presente parametrizzazione, è riconducibile per simmetria al
caso .
Salvo errori ed omissioni.
Fine.