E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G86

Calcolare i punti ombelicali dell'ellissoide  .

Risoluzione :

Una parametrizzazione dell'ellissoide è :

       

con  , , .

Il suo grafico è (con  , , ) :

       

Si tenga presente che sono esclusi dalla parametrizzazione i punti dell'ellissoide corrispondenti a  , , , , ovvero il semicerchio massimo    indicato in figura comprendente i poli    e  .

Si ha :

       

           

da cui, tenendo presente che :

        ,

si ricava :

        .

La curvatura gaussiana e la curvatura media sono :

       

e :

        .

La massima e la minima curvatura normale, , , sono date da :

        .

In un punto ombelicale si deve avere :

       

per cui, dovendo essere :

        ,

nel nostro caso si ricava :

          

che fornisce :

       

da cui, sostituendo  e  e semplificando (tenendo presente che  , , , ), si ottiene :

        .

Questa equazione fornisce i punti ombelicali nella presente parametrizzazione (si tenga presente l'esclusione dei punti di  ).

L'equazione è evidentemente equivalente al sistema :

       

(si consideri sempre  ).

Sostituendo, otteniamo :

         

(sempre con  ).

Per   l'ellissoide diventa una sfera, per cui i suoi punti sono tutti punti ombelicali.

Per    (omettiamo gli altri casi) si ha :

        -    per  si ottiene   

        -    per    si ottiene   

        -    per    si ottiene  .

Il caso  , escluso dalla presente parametrizzazione, è riconducibile per simmetria al caso  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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