E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G85

Si calcolino le curve asintotiche dell'iperboloide a singola falda  .

Risoluzione :

Ricaviamo una conveniente parametrizzaizione dell'iperboloide considerandolo come superficie di rivoluzione.

Si consideri la curva con parametrizzazione :

          con  .

Il suo grafico è :

       

Si tratta evidentemente di una iperbole.

Eseguendo una rotazione attorno all'asse (indicato nel grafico), si ottiene l'iperboloide ad una falda di cui una parametrizzazione è :

        

con    ,  .

E' immediato verificare che la parametrizzazione trovata soddisfa l'equazione cartesiana della superficie data  .

Il suo grafico è :

       

Si ha :

       

           

da cui si ricava :

        .

L'equazione differenziale delle curve asintotiche è :

        .

Sostituendo, si ricava :

       

da cui :

        .

Integrando elementarmente si ottiene :

         

dove    è una costante.

Queste sono le equazioni delle curve asintotiche cercate espresse nelle coordinate curvilinee  . Ricaviamo le medesime nelle coordinate cartesiane  , ovvero sull'iperboloide .

Si ha :

       

da cui, con semplici ma laboriosi calcoli, si ottiene :

        .

Ponendo :

       

si ricava infine :

       

che rappresenta le equazioni parametriche di rette dipendenti da .

Graficamente (ponendo    e scegliendo nella seconda equazione il segno  ) :

       

        (la curva in nero rappresenta la curva asintotica in coordinate curvilinee e la retta in verde rappresenta la medesima sull'iperboloide)

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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