.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G85
Si calcolino le curve asintotiche dell'iperboloide a singola falda
.
Risoluzione :
Ricaviamo una conveniente parametrizzaizione dell'iperboloide considerandolo come superficie di rivoluzione.
Si consideri la curva con parametrizzazione :
con 
.
Il suo grafico è :
Si tratta evidentemente di una iperbole.
Eseguendo una rotazione attorno all'asse (indicato nel grafico), si ottiene l'iperboloide ad una falda di cui una parametrizzazione è :
con 
, 
.
E' immediato verificare che la parametrizzazione trovata
soddisfa l'equazione cartesiana della superficie data
.
Il suo grafico è :
Si ha :
da cui si ricava :
.
L'equazione differenziale delle curve asintotiche è :
.
Sostituendo, si ricava :
da cui :
.
Integrando elementarmente si ottiene :
dove 
è una costante.
Queste sono le equazioni delle curve asintotiche cercate
espresse nelle coordinate curvilinee 
. Ricaviamo le medesime nelle coordinate cartesiane 
, ovvero sull'iperboloide .
Si ha :
da cui, con semplici ma laboriosi calcoli, si ottiene :
.
Ponendo :
si ricava infine :
che rappresenta le equazioni parametriche di rette dipendenti da
.
Graficamente (ponendo 
e scegliendo nella seconda equazione il segno 
) :
(la curva in nero rappresenta la curva asintotica in coordinate curvilinee e la retta in verde rappresenta la medesima sull'iperboloide)
Salvo errori ed omissioni.
Fine.