, è ovunque, nei punti in cui la superficie è regolare, 
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G82
La superficie di rivoluzione che si ottiene facendo ruotare la curva detta
trattrice (vedi G9Esercizio
) attorno all'asse verticale (vedi grafico )
si chiama pseudosfera di Beltrami. Si dimostri che la curvatura gaussiana della
pseudosfera, nel caso di
, è ovunque, nei punti in cui la superficie è regolare,
.
Risoluzione :
Una parametrizzazione della trattrice (con
) sul piano è
:
con , .
Il grafico della trattrice è :
Una parametrizzazione della pseudosfera è :
con , , .
Il grafico della pseudosfera è :
Si ha :
da cui si ricava :
.
La curvatura gaussiana è di conseguenza :
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.