e mostrare che la
sua curvatura media è nulla.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G78
Determinate le curve asintotiche e le linee di curvatura dell'elicoide
e mostrare che la
sua curvatura media è nulla.
Risoluzione :
Il grafico dell'elicoide (per 
, 
) (questa seconda condizione è stata posta per rendere il grafico più chiaro)
è :
Si ha :
da cui si ricava :
.
La curvatura gaussiana risulta :
e la curvatura media risulta :
.
L'equazione differenziale delle curve asintotiche è :
da cui si ricava :
ovvero :
e quindi le equazioni delle curve asintotiche risultano :
costante
costante .
L'equazione differenziale delle linee di curvatura è :
da cui si ricava:
e quindi :
che, integrando, fornisce :
(dove "arcsinh" = "arco seno iperbolico") che rappresenta le equazioni delle linee di curvatura.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.