E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G75
Calcolare l'area di una superficie di rivoluzione.
Risoluzione :
Si consideri il grafico :
In esso sono indicate anche le equazioni parametriche della curva generatrice e della corrispondente superficie di rivoluzione.
Imponiamo la condizione :
.
Si ha :
.
Essendo 
il rettangolo di 
per cui 
, 
, l'area della superficie in questione è :
.
Se la curva 
è parametrizzata dalla lunghezza, cioè il parametro 
rappresenta la lunghezza della curva rispetto ad un punto iniziale, il modulo
del vettore tangente ad
vale 
in
ogni punto. Si ha perciò :
.
Per questo motivo, se la curva generatrice è parametrizzata con la lunghezza, l'area della superficie vale semplicemente :
dove abbiamo indicato con 
il parametro che fornisce la lunghezza e con 
la lunghezza complessiva dell'arco di curva generatrice interessato nella
rivoluzione.
Questo risultato è chiamato "teorema di Pappus".
Salvo errori ed omissioni.
Fine.