E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G75

Calcolare l'area di una superficie di rivoluzione.

Risoluzione :

Si consideri il grafico :

       

In esso sono indicate anche le equazioni parametriche della curva generatrice e della corrispondente superficie di rivoluzione.

Imponiamo la condizione :

        .

Si ha :

        .

Essendo    il rettangolo di    per cui    ,  , l'area della superficie in questione è :

         .

Se la curva    è parametrizzata dalla lunghezza, cioè il parametro    rappresenta la lunghezza della curva rispetto ad un punto iniziale, il modulo del vettore tangente ad    vale    in ogni punto. Si ha perciò :

        .

Per questo motivo, se la curva generatrice è parametrizzata con la lunghezza, l'area della superficie vale semplicemente :

       

dove abbiamo indicato con    il parametro che fornisce la lunghezza e con    la lunghezza complessiva dell'arco di curva generatrice interessato nella rivoluzione.

Questo risultato è chiamato "teorema di Pappus".

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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