, dove 
, 
, una parametrizzazione della sfera 
di raggio unitario. Sia 
il
piano 
, dove 
. Sia 
l'angolo acuto che la
curva 
forma con il
semi-meridiano 
. Calcolare 
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G70
Sia , dove
, , una parametrizzazione della sfera
di raggio unitario. Sia il
piano , dove
. Sia l'angolo acuto che la
curva forma con il
semi-meridiano . Calcolare
.
Risoluzione :
Si consideri il grafico :
Il punto 
è l'intersezione fra la curva
e il semi-meridiano . Il
vettore 
è
tangente al suddetto semi-meridiano in
ed il vettore 
è tangente alla curva sempre
in . Entrambi i
vettori ,
appartengono al piano tangente alla sfera in
, cioè a 
.
Il punto
, appartenendo a ,
sarà tale per cui :
.
Il risultato cercato è :
.
Definiamo i vettori
, .
Si ha :
(il vettore 
ci seguirà in seguito).
Poiché
appartiene a ,
possiamo scrivere :
.
Il vettore
appartiene anche al piano il
quale è normale al vettore :
.
Si deve per questo avere :
ovvero :
che fornisce :
.
Sostituendo nell'espressione che dà
, ricaviamo :
essendo :
.
Semplifichiamo ulteriormente l'espressione trovata per
.
Si ha :
essendo :
.
Il valore di
cercato sarà quindi :
con :
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.