E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G70

Sia    , dove  , , una parametrizzazione della sfera  di raggio unitario. Sia    il piano  , dove . Sia    l'angolo acuto che la curva    forma con il semi-meridiano  . Calcolare  .

Risoluzione :

Si consideri il grafico :

       

Il punto    è l'intersezione fra la curva    e il semi-meridiano  . Il vettore    è tangente al suddetto semi-meridiano in  ed il vettore    è tangente alla curva    sempre in  . Entrambi i vettori  ,    appartengono al piano tangente alla sfera in  , cioè  a .

Il punto  , appartenendo a  , sarà tale per cui :

        .

Il risultato cercato è :

          .

Definiamo i vettori   ,    .

Si ha :

       

(il vettore    ci seguirà in seguito).

Poiché    appartiene a  , possiamo scrivere :

        .

Il vettore    appartiene anche al piano    il quale è normale al vettore :

        .

Si deve per questo avere :

       

ovvero :

       

che fornisce :

        .

Sostituendo nell'espressione che dà  , ricaviamo :

        

essendo :

          .

Semplifichiamo ulteriormente l'espressione trovata per  .

Si ha :

       

essendo :

        .

Il valore di    cercato sarà quindi :

       

con :

         

       

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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