E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G65

Dimostrare che le normali alla "superficie di rivoluzione"  con  , , passano tutte per l'asse  .

Risoluzione :

La superficie è ottenuta a partire dalla curva regolare :

         

facendola ruotare attorno all'asse    (coincidente con l'asse  ) secondo l'angolo  . 

Graficamente :

       

Calcoliamo i vettori  . Essi risultano :

        .

Il vettore normale (non unitario) risulta :

         

dove     è la base canonica di  .

Per dimostrare il passaggio della retta normale alla superficie per l'asse  basta dimostrare che, per un certo    e per un certo  , si ha :

       

ovvero che :

        .

Questo si verifica quando :

        .

Dalla prima e dalla seconda, considerando che è  , , si ricava :

       

che sostituita nella terza dà :

        .

Con questo abbiamo dimostrato l'asserto.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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