E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G64

Sia    una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza e dotata di curvatura non nulla ovunque. Sia la "superficie tubolare"    con  costante  ,   e dove    sono il vettore normale e binormale ad  (si tratta quindi di un "tubo" di raggio    attorno ad  ) . Calcolare il vettore normale nel caso che la superficie sia regolare.

Risoluzione :

Si ha :

       

dove qui abbiamo chiamato il vettore tangente :

        .

Calcoliamo il prodotto vettoriale dei suddetti vettori :

       

che, tenendo conto delle formule di Frenet :

        ,

diventa :

        .

Perché la superficie sia regolare, occorre che sia :

        .

Questo avviene quando :

       

(essendo ) per cui il versore normale unitario risulta essere :

        .

Esempio :

Consideriamo la curva regolare (un'elica) :

         .

Essa è regolare e parametrizzata secondo la lunghezza    in quanto il vettore tangente :

       

ha norma  1 .

Il vettore accelerazione è :

       

per cui il vettore normale è :

        .

Di conseguenza, il vettore binormale è :

         

dove    è la base canonica di  .

L'equazione della superficie tubolare è allora :

         

ed il suo grafico (per  ) è :

       

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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