E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G64
Sia 
una curva regolare
parametrizzata dalla lunghezza e dotata di curvatura non nulla ovunque. Sia la
"superficie tubolare" 
con 
costante 
, 
e dove 
e 
sono il vettore normale e
binormale ad 
(si tratta quindi di un
"tubo" di raggio 
attorno ad ) . Calcolare il vettore
normale nel caso che la superficie sia regolare.
Risoluzione :
Si ha :
dove qui abbiamo chiamato il vettore tangente :
.
Calcoliamo il prodotto vettoriale dei suddetti vettori :
che, tenendo conto delle formule di Frenet :
,
diventa :
.
Perché la superficie sia regolare, occorre che sia :
.
Questo avviene quando :
(essendo 
) per cui il versore normale unitario risulta essere :
.
Esempio :
Consideriamo la curva regolare (un'elica) :
.
Essa è regolare e parametrizzata secondo la lunghezza 
in quanto il vettore tangente :
ha norma 1 .
Il vettore accelerazione è :
per cui il vettore normale è :
.
Di conseguenza, il vettore binormale è :
dove 
è la base canonica di 
.
L'equazione della superficie tubolare è allora :
ed il suo grafico (per 
) è :
Salvo errori ed omissioni.
Fine.