, 
, una curva regolare parametrizzata con curvatura non nulla ovunque.
Consideriamo la "superficie tangente" di 
definita da 
,
, 
. Mostrare che i
piani tangenti alla superficie lungo le coordinate curvilinee 
costante sono uguali.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G60
Sia ,
, una curva regolare parametrizzata con curvatura non nulla ovunque.
Consideriamo la "superficie tangente" di
definita da ,
, . Mostrare che i
piani tangenti alla superficie lungo le coordinate curvilinee
costante sono uguali.
Risoluzione :
La superficie è regolare perché i vettori 
definiti da :
sono linearmente indipendenti. Questo è evidente in quanto la curvatura di
:
è per ipotesi non nulla ovunque (si tenga presente che 
in quanto la curva è regolare) ed il vettore :
è di conseguenza non nullo ovunque (essendo per ipotesi
).
Il sistema :
costituisce allora una base del piano tangente alla superficie.
Consideriamo ora una coordinata curvilinea
costante .
I vettori 
lungo tale curva saranno paralleli per cui i piani tangenti alla superficie
lungo la suddetta curva saranno paralleli. In più, essendo
la coordinata curvilinea
costante una retta, i piani tangenti in questione coincideranno.
Graficamente :
Salvo errori ed omissioni.
Fine.