E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G60

Sia  , , una curva regolare parametrizzata con curvatura non nulla ovunque. Consideriamo la "superficie tangente" di  definita da  , , . Mostrare che i piani tangenti alla superficie lungo le coordinate curvilinee  costante  sono uguali.

Risoluzione :

La superficie è regolare perché i vettori    definiti da :

       

sono linearmente indipendenti. Questo è evidente in quanto la curvatura di    :

       

è per ipotesi non nulla ovunque (si tenga presente che in quanto la curva è regolare) ed il vettore :

       

è di conseguenza non nullo ovunque (essendo per ipotesi  ).

Il sistema :

      

costituisce allora una base del piano tangente alla superficie. 

Consideriamo ora una coordinata curvilinea   costante .

I vettori    lungo tale curva saranno paralleli per cui i piani tangenti alla superficie lungo la suddetta curva saranno paralleli. In più, essendo la coordinata curvilinea  costante  una retta, i piani tangenti in questione coincideranno.

Graficamente :

       

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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