E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G54
Si consideri il seguente grafico :
La semiretta 
è perpendicolare all'asse 
e gli ruota attorno compiendo un giro completo. La distanza di
dall'origine è 
. Dimostrare che la semiretta
(escludendo il punto 
) genera una superficie regolare. Si ottiene una superficie regolare anche se
?
Risoluzione :
Nel caso di
la semiretta
(escludendo il punto
) genera una superficie regolare perché la funzione :
, con 
, 
,
soddisfa le condizioni richieste nella definizione di superficie
regolare. Questa parametrizzazione esclude la semiretta 
. Siccome la superficie generata da
è "liscia" (senza "spigoli vivi"), sarà possibile trovare
un'altra parametrizzazione che contenga la semiretta
.
Graficamente :
Si verifica graficamente il fatto che la superficie è
"liscia" osservando che le coordinate curvilinee 
costante sono curve regolari. In particolare hanno stesse tangenti in 
. La cosa è facilmente verificabile anche analiticamente.
Nel caso di
, invece, la semiretta
costituisce uno "spigolo vivo" della superficie per cui deve essere
eliminato.
La funzione :
, con ,
,
costituisce una parametrizzazione di detta superficie.
Graficamente :
In questo caso le coordinate curvilinee
costante non hanno le stesse tangenti in
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.