E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G54

Si consideri il seguente grafico :

 

  La semiretta    è perpendicolare all'asse  e gli ruota attorno compiendo un giro completo. La distanza di    dall'origine è   . Dimostrare che la semiretta  (escludendo il punto  ) genera una superficie regolare. Si ottiene una superficie regolare anche se  ?   

Risoluzione :

Nel caso di    la semiretta    (escludendo il punto  ) genera una superficie regolare perché la funzione :

          , con  , , 

soddisfa le condizioni richieste nella definizione di superficie regolare. Questa parametrizzazione esclude la semiretta  . Siccome la superficie generata da    è "liscia" (senza "spigoli vivi"), sarà possibile trovare un'altra parametrizzazione che contenga la semiretta  .

Graficamente :

       

Si verifica graficamente il fatto che la superficie è "liscia" osservando che le coordinate curvilinee  costante sono curve regolari. In particolare hanno stesse tangenti in  . La cosa è facilmente verificabile anche analiticamente.

Nel caso di  , invece, la semiretta    costituisce uno "spigolo vivo" della superficie per cui deve essere eliminato.

La funzione :

         , con  , , 

costituisce una parametrizzazione di detta superficie.

Graficamente :

       

In questo caso le coordinate curvilinee  costante non hanno le stesse tangenti in  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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