, con 
, 
, 
, è una
parametrizzazione dell'ellissoide 
. Descrivere le curve 
= costante sull'ellissoide.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G52
Mostrare che
, con ,
, , è una
parametrizzazione dell'ellissoide
. Descrivere le curve
= costante sull'ellissoide.
Risoluzione :
Considerando che :
,
sommando i quadrati, si ottiene :
.
La parametrizzazione
soddisfa quindi l'equazione dell'ellissoide.
Restano fuori i punti per cui si possa avere 
(i punti di frontiera del dominio) cioè i punti situati ai poli 
e sulla semiellisse 
.
Graficamente :
La funzione 
è differenziabile (classe 
). Il differenziale 
è
:
che corrisponde allo jacobiano di
.
Si ha :
perciò, nel dominio e per 
, lo jacobiano di
ha rango 2 (essendo il suddetto minore non nullo).
Per 
(e nel dominio) lo jacobiano di
vale .
e fornisce i minori :
e :
che non si annullano contemporaneamente.
Per questo motivo lo jacobiano di
ha in definitiva rango 2 .
La funzione
è un omeomorfismo. La dimostrazione di ciò non è banale. Accontentiamoci
qui di una giustificazione grafico/intuitiva.
La funzione
è quindi una parametrizzazione dell'ellissoide.
Infine, la curva
= costante è un ellisse come indicato in figura.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.