E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G52

Mostrare che    , con  , , , è una parametrizzazione dell'ellissoide  . Descrivere le curve  = costante sull'ellissoide.

Risoluzione :

Considerando che :

        ,

sommando i quadrati, si ottiene :

        .

La parametrizzazione    soddisfa quindi l'equazione dell'ellissoide.

Restano fuori i punti per cui si possa avere  (i punti di frontiera del dominio) cioè i punti situati ai poli  e sulla semiellisse  .

Graficamente :

       

La funzione    è differenziabile (classe  ). Il differenziale è :

       

che corrisponde allo jacobiano di  .

Si ha :

       

perciò, nel dominio e per  , lo jacobiano di  ha rango  2  (essendo il suddetto minore non nullo).

Per    (e nel dominio) lo jacobiano di  vale .

       

e fornisce i minori :

       

e :

       

che non si annullano contemporaneamente.

Per questo motivo lo jacobiano di    ha in definitiva rango  2 .

La funzione    è un omeomorfismo. La dimostrazione di ciò non è banale. Accontentiamoci qui di una giustificazione grafico/intuitiva.

La funzione    è quindi una parametrizzazione dell'ellissoide.

Infine, la curva   = costante  è un ellisse come indicato in figura.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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