E-school  di  Arrigo Amadori
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Esercizi risolti : superficie regolari

 

  G51 - Mostrare che il cilindro    è una superficie regolare e trovare delle parametrizzazioni i cui intorni coordinati lo ricoprono.

 

 

  G52 - Mostrare che    , con  , , , è una parametrizzazione dell'ellissoide  . Descrivere le curve  = costante sull'ellissoide.

 

 

  G53 - Trovare una parametrizzazione per l'iperboloide a due falde  .

 

 

  G54 - Si consideri il seguente grafico :

 

  La semiretta    è perpendicolare all'asse  e gli ruota attorno compiendo un giro completo. La distanza di    dall'origine è   . Dimostrare che la semiretta  (escludendo il punto  ) genera una superficie regolare. Si ottiene una superficie regolare anche se  ?   

 

  

  G55 - Si consideri il seguente grafico :

 

  La retta      che passa per i punti    e  , essendo  , genera una superficie regolare ?

 

 

  G56 - Sia    una superficie regolare e    un suo punto. Dimostrare che il piano tangente alla superficie in quel punto è  , dove    ecc.

 

 

  G57 - Determinare i piani tangenti a  nei suoi punti  e dimostrare che essi sono tutti paralleli all'asse  .

 

 

  G58 - Dimostrare che i piani tangenti alla superficie regolare    con    passano tutti per l'origine  .

 

 

  G59 - Sia una superficie regolare parametrizzata da    dove    sono curve regolari. Dimostrare che tutti i piani tangenti lungo una coordinata curvilinea ( = costante oppure  = costante) sono paralleli ad una retta.

 

 

  G60 - Sia  , , una curva regolare parametrizzata con curvatura non nulla ovunque. Consideriamo la "superficie tangente" di  definita da  , , . Mostrare che i piani tangenti alla superficie lungo le coordinate curvilinee  costante  sono uguali.

 

 

  G61 - Sia    la funzione definita da    dove  ,   è un punto fisso di  , essendo    una superficie regolare. Mostrare che    dove  (piano tangente alla superficie  in  ).

 

 

  G62 - Sia    un operatore lineare e siano    ,    due superficie regolari. Sia  . Dimostrare che la restrizione  è una funzione differenziabile (di classe ) e che  dove  , .

 

 

  G63 - Mostrare che la superficie parametrica    con    , (un'elicoide), è regolare e studiare l'andamento del vettore normale    (unitario) lungo una coordinata curvilinea  costante.

 

 

  G64 - Sia    una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza e dotata di curvatura non nulla ovunque. Sia la "superficie tubolare"    con  costante  ,   e dove    sono il vettore normale e binormale ad  (si tratta quindi di un "tubo" di raggio    attorno ad  ). Calcolare il vettore normale nel caso che la superficie sia regolare.

 

 

  G65 - Dimostrare che le normali alla "superficie di rivoluzione"  con  , , passano tutte per l'asse  .

 

 

  G66 - Dimostrare che le superficie definite dalle equazioni  , , , dove  , si intersecano perpendicolarmente.

 

 

  G67 - Ricavare la legge di trasformazione delle componenti di un vettore tangente ad una superficie in un cambiamento di parametrizzazione.

 

 

  G68 - Ricavare come si trasforma la base    del piano tangente ad una superficie in un cambiamento di parametrizzazione.

 

 

  G69 - Ricavare    in funzione dei coefficienti della prima forma fondamentale  .

 

 

  G70 - Sia    , dove  , , una parametrizzazione della sfera  di raggio unitario. Sia    il piano  , dove . Sia    l'angolo acuto che la curva    forma con il semi-meridiano  . Calcolare  .

 

 

  G71 - Data la superficie parametrica    , dove  , mostrare che le due curve  ,   determinano segmenti di uguale lunghezza sulla curva  , dove  , ,   sono numeri reali ( ), qualunque sia il valore di  .

 

 

  G72 - Mostrare che l'area    di una regione limitata    della superficie    vale    , dove     è la proiezione ortogonale di    sul piano  .

 

 

  G73 - Mostrare che  , con  , , costante, è una parametrizzazione del cono con angolo al vertice  . Provare che la curva  , dove    , , costante,  costante, interseca la generatrice del cono (   costante) con angolo costante  .

 

 

  G74 - Le coordinate curvilinee di una parametrizzazione     costituiscono una "rete di Tchebyshef" se la lunghezza dei lati opposti di ogni quadrilatero formato da esse sono uguali. Mostrare che in questo caso si ha  .

 

 

  G75 - Calcolare l'area di una superficie di rivoluzione.

 

 

  G76 - Calcolare l'area di una superficie tubolare.

 

 

  G77 - Mostrare che nell'origine    dell'iperboloide    si ha     ,  .

 

 

  G78 - Determinate le curve asintotiche e le linee di curvatura dell'elicoide  e mostrare che la sua curvatura media è nulla.

 

 

  G79 - Determinare le curve asintotiche della catenoide  .

 

 

  G80 - Determinare le curve asintotiche e le linee di curvatura dell'iperboloide  .

 

 

  G81 - Sia la superficie di Enneper  . Se ne ricavino i coefficienti della prima forma fondamentale, i coefficienti della seconda forma fondamentale, le curvature principali, le linee di curvatura e le curve asintotiche.  

 

 

  G82 - La superficie di rivoluzione che si ottiene facendo ruotare la curva detta trattrice (vedi  G9Esercizio ) attorno all'asse verticale (vedi grafico ) si chiama pseudosfera di Beltrami. Si dimostri che la curvatura gaussiana della pseudosfera, nel caso di  , è ovunque, nei punti in cui la superficie è regolare,  .

 

 

  G83 - Calcolare la curvatura gaussiana della generica superficie di rivoluzione    dove  , , , (curva generatrice parametrizzata dalla lunghezza).

 

 

  G84 - Si consideri la superficie ottenuta facendo ruotare la curva  , attorno alla retta  . Dimostrare che i punti ottenuti dalla rotazione dell'origine    della curva sono punti planari della superficie.

 

 

  G85 - Si calcolino le curve asintotiche dell'iperboloide a singola falda  .

 

 

  G86 - Calcolare i punti ombelicali dell'ellissoide  .

 

 

  G87 - Calcolare la curvatura gaussiana    in una parametrizzazione ortogonale ( ).

 

 

  G88 - Verificare che le superficie  ,   hanno la stessa curvatura gaussiana nei punti  ,   ma che la mappa  non è una isometria.

 

 

  G89 - Mostrare che se una curva    è una linea di curvatura ed una geodetica, allora è una curva piana.

 

 

  G90 - Mostrare che se una curva    è una curva asintotica ed una geodetica, allora è un segmento di retta.

 

 

  G91 - Ricavare la curvatura gaussiana    e le equazioni delle geodetiche del toro  con  , , .

 

 

  G92 - Considerare i paralleli massimo, minimo e superiore di un toro e trovare quali di essi sono geodetiche, curve asintotiche o linee di curvatura.

 

 

  G93 - Calcolare la curvatura geodetica del parallelo superiore del toro.

 

 

  G94 - Calcolare la curvatura geodetica della curva    con  .

 

 

  G95 - Dimostrare che se tutte le geodetiche di una superficie connessa sono curve piane, allora la superficie è contenuta in un piano o in una sfera.

 

 

  G96 - Considerare i due meridiani di una sfera   e  che formano l'angolo    nel punto  . Fare il trasporto parallelo del vettore tangente  , lungo    e  , dal punto iniziale    al punto    dove i due meridiani si incontrano ancora, ottenendo, rispettivamente,   e  . Calcolare l'angolo fra    e  .

 

 

  G97 - Mostrare che la curvatura geodetica di una curva orientata    in un punto  è uguale alla curvatura della curva piana ottenuta proiettando    sul piano tangente    lungo la normale alla superficie in  .

 

 

  G98 - Dimostrare che il valore algebrico della derivata covariante è invariante per isometrie che conservano l'orientazione.

 

 

  G99 - Mostrare che se le curve coordinate di una superficie regolare sono ortogonali e geodetiche, allora la superficie ha curvatura gaussiana nulla.

 

 

  G100 - Sia    un intorno connesso di un punto    di una superficie  . Si supponga che il trasporto parallelo fra due punti qualsiasi di    non dipenda dalla curva che li congiunge. Provare che la curvatura gaussiana di    è nulla.

 

 

  G101 - Sia  una superficie regolare orientata e sia    una curva parametrizzata dalla lunghezza ( ). Nel punto    si considerino i tre vettori unitari  , (il vettore normale alla superficie    in  ), . Tali vettori formano il cosiddetto triedro di Darboux. Si ricavino le equazioni (analoghe alle formule di Frenet per le curve regolari) che legano i vettori  , ,   ai vettori  , , e se ne studino le proprietà.

 

 

  G102 - Sia    la sfera di raggio unitario. 

 

Si esegua il trasporto parallelo del vettore unitario    dal punto    ad  poi a    ed infine ancora in  ottenendo il vettore . Si calcoli l'angolo fra il vettore   ed il vettore  . Il vettore    sia tangente in    al meridiano  .

 

 

  G103 - Sia   un punto di una superficie orientata  . Si assuma che esiste un intorno di    in    tutti i punti del quale sono parabolici. Provare che la curva asintotica (unica) passante per    è un segmento aperto di retta. Dare un esempio che mostri che la condizione di avere un intorno di punti parabolici è essenziale.

 

 

  G104 - Sia    una curva parametrizzata dalla lunghezza  , con curvatura non nulla. La superficie   sia parametrizzata da    dove    è il vettore binormale di    e dove    , con    positivo sufficientemente piccolo. Provare che    è una geodetica di  .

 

 

  G105 - Si consideri una geodetica che parte dal punto    nella parte superiore ( ) dell'iperboloide di rivoluzione    (rispetto al sistema di riferimento cartesiano ortogonale  ) e che forma un angolo    con il parallelo passante per  in modo che  , dove  è la distanza di    dall'asse  . Mostrare che seguendo la geodetica nella direzione dei paralleli decrescenti, essa si avvicina asintoticamente al parallelo  , .

 

 

  G106 - Studiare le geodetiche del toro  , con  , , , partenti dal punto    di coordinate locali  , , e formanti un angolo  ( ) con il parallelo massimo   .

 

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