E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G99

Mostrare che se le curve coordinate di una superficie regolare sono ortogonali e geodetiche, allora la superficie ha curvatura gaussiana nulla.

Risoluzione :

Consideriamo la superficie regolare    parametrizzata da  . Supponiamo che la parametrizzazione sia ortogonale, cioè sia    , e che le curve coordinate  ,    siano delle geodetiche per ogni  , ( con  , ,   scelti coerentemente al dominio di definizione di  ). Supponiamo anche, senza perdita di generalità, che  , per ogni  , .

Per un generico campo vettoriale    di norma unitaria ( ) su    lungo la curva    (essendo  ) , si ha :

        

dove    è il valore algebrico della derivata covariante di  ,   è l'angolo, nella presente orientazione, formato da    e   .

Consideriamo il campo  . Siccome    , per ogni , è una geodetica, avremo :

         

essendo  , per cui risulta :

        .

Consideriamo il campo  . Siccome    , per ogni , è una geodetica, avremo :

         

essendo  , per cui risulta :

        .

La parametrizzazione    presenta allora i coefficienti della prima forma fondamentale :

        .

Ricaviamo ora i coefficienti di Christoffel risolvendo le :

       

dalle quali si ricava immediatamente :

        

per cui :

         .

La curvatura gaussiana    è data da :

       

per cui si deduce che :

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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