E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G99
Mostrare che se le curve coordinate di una superficie regolare sono ortogonali e geodetiche, allora la superficie ha curvatura gaussiana nulla.
Risoluzione :
Consideriamo la superficie regolare 
parametrizzata da 
. Supponiamo che la parametrizzazione sia ortogonale, cioè sia 
, e che le curve coordinate 
, 
siano
delle geodetiche per ogni 
, 
( con 
, ,
scelti coerentemente al dominio di definizione di
). Supponiamo anche, senza perdita di generalità, che 
, 
per ogni
, .
Per un generico campo vettoriale 
di norma unitaria ( 
)
su lungo
la curva 
(essendo ) , si ha :
dove 
è il valore algebrico della derivata covariante di 
, 
è l'angolo,
nella presente orientazione, formato da 
e .
Consideriamo il campo 
. Siccome 
, per ogni , è una
geodetica, avremo :
essendo 
, per cui risulta :
.
Consideriamo il campo 
. Siccome 
, per ogni , è una
geodetica, avremo :
essendo 
, per cui risulta :
.
La parametrizzazione
presenta allora i coefficienti della prima forma fondamentale :
.
Ricaviamo ora i coefficienti di Christoffel risolvendo le :
dalle quali si ricava immediatamente :
per cui :
.
La curvatura gaussiana 
è data da :
per cui si deduce che :
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.