E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G98

Dimostrare che il valore algebrico della derivata covariante è invariante per isometrie che conservano l'orientazione.

Risoluzione :

Sia    una isometria che conserva l'orientazione fra le superficie regolari    ed  . Sia    una curva regolare appartenente ad  . Sia    un campo vettoriale differenziale di norma unitaria ( ) lungo  . 

Gli enti fin qui definiti e gli altri necessari alla dimostrazione sono indicati direttamente sul grafico :

       

A causa dell'isometria, si ha :

       

e di conseguenza :

         

su tutti gli indici.

Sia :

        .

La derivata covariante di    nel sistema    è :

        .

Poiché un'isometria conserva le norme e gli angoli fa i vettori, si avrà :

        .

Si deduce allora che la derivata covariante di    nel sistema    è :

        .

Da ciò, e da quanto affermato sopra, se deduce che il valore algebrico della derivata covariante di    si conserva.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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