una isometria che conserva l'orientazione fra le superficie regolari 
ed 
. Sia 
una curva regolare appartenente ad
. Sia 
un
campo vettoriale differenziale di norma unitaria ( 
) lungo . E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G98
Dimostrare che il valore algebrico della derivata covariante è invariante per isometrie che conservano l'orientazione.
Risoluzione :
Sia
una isometria che conserva l'orientazione fra le superficie regolari
ed . Sia
una curva regolare appartenente ad
. Sia un
campo vettoriale differenziale di norma unitaria (
) lungo .
Gli enti fin qui definiti e gli altri necessari alla dimostrazione sono indicati direttamente sul grafico :
A causa dell'isometria, si ha :
e di conseguenza :
su tutti gli indici.
Sia :
.
La derivata covariante di
nel sistema 
è :
.
Poiché un'isometria conserva le norme e gli angoli fa i vettori, si avrà :
.
Si deduce allora che la derivata covariante di 
nel sistema 
è :
.
Da ciò, e da quanto affermato sopra, se deduce che il valore
algebrico della derivata covariante di
si conserva.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.