in un punto 
è uguale alla curvatura della curva piana ottenuta proiettando 
sul piano tangente 
lungo la normale alla superficie in 
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G97
Mostrare che la curvatura geodetica di una curva orientata
in un punto
è uguale alla curvatura della curva piana ottenuta proiettando
sul piano tangente
lungo la normale alla superficie in
.
Risoluzione :
Sia 
una parametrizzazione di
secondo la lunghezza, cioè con 
, e sia 
la
sua curvatura geodetica.
Si ha :
,
dove 
è la curvatura di
e 
è la
curvatura normale di
(rispetto ad 
).
Sia 
la proiezione di
su
parallela ad 
(vettore normale ad
in
).
Sia 
il cilindro ottenuto eseguendo la suddetta proiezione.
Graficamente :
Per il teorema di Meusnier, la curvatura normale di
rispetto ad e la
curvatura normale di
rispetto ad
sono uguali e valgono
. Ma è la
curvatura di
per cui la curvatura geodetica
di è
uguale alla curvatura di
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.