E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G97

Mostrare che la curvatura geodetica di una curva orientata    in un punto  è uguale alla curvatura della curva piana ottenuta proiettando    sul piano tangente    lungo la normale alla superficie in  .

Risoluzione :

Sia    una parametrizzazione di    secondo la lunghezza, cioè con  , e sia    la sua curvatura geodetica.

Si ha :

        ,

dove   è la curvatura di  e  è la curvatura normale di    (rispetto ad  ).

Sia    la proiezione di    su    parallela ad  (vettore normale ad     in  ).

Sia     il cilindro ottenuto eseguendo la suddetta proiezione.

Graficamente :

       

Per il teorema di Meusnier, la curvatura normale di    rispetto ad  e la curvatura normale di    rispetto ad    sono uguali e valgono  . Ma    è la curvatura di    per cui la curvatura geodetica    di    è uguale alla curvatura di  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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