E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G95

Dimostrare che se tutte le geodetiche di una superficie connessa sono curve piane, allora la superficie è contenuta in un piano o in una sfera.

Risoluzione :

Una superficie regolare connessa sia dotata della parametrizzazione e ogni sua curva    sia parametrizzata secondo la lunghezza, cioè sia :

         

        .

La condizione    non costituisce una perdita di generalità perché per ogni geodetica    sia ha  costante.

Se   (con    ) è una geodetica si ha :

        .

Se    è una curva piana e si ha :

          .

Se    è una curva piana e   (   è una retta) si ha :

        .

Si ottiene allora :

       

anche se  (caso della retta).

Derivando si ottiene :

       

da cui :

         

ovvero :

        .

Per il teorema di Olinde Rodrigues allora     è una linea di curvatura.

Se tutte le curve che passano per un punto di una superficie sono linee di curvatura allora quel punto è un punto ombelicale.

Se tutti i punti di una superficie connessa sono punti ombelicali, quella superficie appartiene ad un piano o ad una sfera.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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