e ogni sua curva 
sia parametrizzata secondo la lunghezza, cioè sia :E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G95
Dimostrare che se tutte le geodetiche di una superficie connessa sono curve piane, allora la superficie è contenuta in un piano o in una sfera.
Risoluzione :
Una superficie regolare connessa sia dotata della
parametrizzazione e ogni sua curva
sia parametrizzata secondo la lunghezza, cioè sia :
.
La condizione non
costituisce una perdita di generalità perché per ogni geodetica
sia ha 
costante.
Se (con
) è una geodetica si ha :
.
Se è una curva
piana e 
si ha :
.
Se è una curva
piana e 
(
è una retta) si ha :
.
Si ottiene allora :
anche se (caso della
retta).
Derivando si ottiene :
da cui :
ovvero :
.
Per il teorema di Olinde Rodrigues allora
è una linea di curvatura.
Se tutte le curve che passano per un punto di una superficie sono linee di curvatura allora quel punto è un punto ombelicale.
Se tutti i punti di una superficie connessa sono punti ombelicali, quella superficie appartiene ad un piano o ad una sfera.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.