E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G94

Calcolare la curvatura geodetica della curva    con  .

Risoluzione :

La curva in questione è l'intersezione del cilindro circolare retto di raggio    e di asse  con il piano che interseca il piano    lungo l'asse    formando un angolo    . Evidentemente si tratta di una ellisse così come mostrato nel grafico :

Consideriamo la parametrizzazione del cilindro :

con  , .

Per essa si ha :

da cui :

        .

Si tratta quindi di una parametrizzazione ortogonale.

Da    si ricava :

e da     si ricava :

        .

per cui abbiamo :

        .

Una parametrizzazione dell'ellisse sarà allora :

da cui :

        .

La parametrizzazione  così definita non è secondo la lunghezza in quanto :

        .

Introduciamo la parametrizzazione :

che fornisce :

          ,

dove con il punto indichiamo qui ed in seguito la derivata rispetto al parametro  , ed imponiamo che sia :

        .

In questo modo, la parametrizzazione    è secondo la lunghezza.

La condizione    fornisce :

        .

La formula di Liouville (per curve parametrizzate secondo la lunghezza su superficie a parametrizzazione ortogonale) afferma che :

dove    è la curvatura geodetica di  ,   è la curvatura geodetica della curva coordinata  costante,   è la curvatura geodetica della curva coordinata  costante e    è l'angolo formato da    con  nella presente orientazione.

Poiché le curve coordinate  costante  e   costante  sono geodetiche, si avrà :

        .

La formula di Liouville si riduce quindi a :

        .

Limitiamoci a ricavare il valore assoluto di  .

Avremo allora :

        .

D'altra parte si ha :

ovvero :

        .

Derivando, si ottiene :

da cui :

        .

Si ricava infine :

che rappresenta la curvatura geodetica cercata (in valore assoluto).

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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