E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G92
Considerare i paralleli massimo, minimo e superiore di un toro e trovare quali di essi sono geodetiche, curve asintotiche o linee di curvatura.
Risoluzione :
Si consideri la parametrizzazione :
con 
, 
, 
.
I paralleli richiesti dal problema sono indicati nel grafico :
(il parallelo superiore è tracciato solo in parte)
Per i dati analitici del toro, si rimanda all'esercizio G91 .
Le equazioni differenziali delle geodetiche del toro sono :
.
Esse sono evidentemente risolte da 
e da 
per cui i
paralleli massimo e minimo sono geodetiche. Il parallelo superiore ( 
) non è una geodetica.
L'equazione differenziale delle curve asintotiche è :
.
Nel nostro caso abbiamo :
.
Essa è risolta per
per cui il parallelo superiore è una curva asintotica.
L'equazione differenziale delle linee di curvatura è :
.
Nel nostro caso abbiamo :
da cui, essendo
:
.
Si deduce quindi che il parallelo massimo, il parallelo minimo ed il parallelo superiore sono linee di curvatura.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.