E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G92

Considerare i paralleli massimo, minimo e superiore di un toro e trovare quali di essi sono geodetiche, curve asintotiche o linee di curvatura.

Risoluzione :

Si consideri la parametrizzazione :

         

con  , , .

I paralleli richiesti dal problema sono indicati nel grafico :

       

        (il parallelo superiore è tracciato solo in parte)

Per i dati analitici del toro, si rimanda all'esercizio  G91 .

Le equazioni differenziali delle geodetiche del toro sono :

        .

Esse sono evidentemente risolte da    e da  per cui i paralleli massimo e minimo sono geodetiche. Il parallelo superiore (    ) non è una geodetica.

L'equazione differenziale delle curve asintotiche è :

        .

Nel nostro caso abbiamo :

        .

Essa è risolta per    per cui il parallelo superiore è una curva asintotica.

L'equazione differenziale delle linee di curvatura è :

        .

Nel nostro caso abbiamo :

       

da cui, essendo  :

        .

Si deduce quindi che il parallelo massimo, il parallelo minimo ed il parallelo superiore sono linee di curvatura.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

Pagina precedente