è una curva asintotica ed una geodetica, allora è
un segmento di retta.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G90
Mostrare che se una curva
è una curva asintotica ed una geodetica, allora è
un segmento di retta.
Risoluzione :
Sia 
una parametrizzazione secondo la lunghezza di 
(per cui 
).
Si ha :
dove 
è la
curvatura di , 
la curvatura geodetica, 
la
curvatura normale.
Poiché
è geodetica, si ha :
.
Poiché
è asintotica, si ha :
.
Ne consegue che :
per cui
è un segmento di retta.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.