E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G89

Mostrare che se una curva    è una linea di curvatura ed una geodetica, allora è una curva piana.

Risoluzione :

Sia    una parametrizzazione secondo la lunghezza di  (per cui ). 

Poiché    è geodetica si ha :

        .

Perché    sia piana basta che :

        

ovvero :

         

ovvero :

        .

Essendo  , si ha :

       

e, poiché    è una linea di curvatura, per il teorema di Olinde Rodrigues si ha :

         

da cui :

        .

La condizione    è quindi verificata.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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