è una linea di curvatura ed una geodetica, allora è una curva piana.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G89
Mostrare che se una curva
è una linea di curvatura ed una geodetica, allora è una curva piana.
Risoluzione :
Sia 
una parametrizzazione secondo la lunghezza di 
(per cui 
).
Poiché
è geodetica si ha :
.
Perché
sia piana basta che :
ovvero :
ovvero :
.
Essendo
, si ha :
e, poiché
è una linea di curvatura, per il teorema di Olinde Rodrigues si ha :
da cui :
.
La condizione
è quindi verificata.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.