, 
hanno la
stessa curvatura gaussiana nei punti 
, 
ma che la
mappa 
non
è una isometria.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G88
Verificare che le superficie
, hanno la
stessa curvatura gaussiana nei punti
, ma che la
mappa non
è una isometria.
Risoluzione :
Per
si ha :
.
Per
si ha :
.
Per le curvature gaussiane 
, 
(delle due
superficie rispettivamente), poiché le parametrizzazioni sono ortogonali,
possiamo usare la formula (ricavata all'esercizio precedente G87
) :
.
Otteniamo perciò :
.
Abbiamo così dimostrato che le due superficie hanno la stessa
curvatura gaussiana in tutti i punti 
.
Per quanto riguarda la mappa
, essa non è una isometria perché se lo fosse si dovrebbe avere :
cosa che invece non si verifica.
Il presente esercizio mostra che l'inverso del Theorema Egregium di Gauss è falso.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.