E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G88

Verificare che le superficie  ,   hanno la stessa curvatura gaussiana nei punti  ,   ma che la mappa  non è una isometria.

Risoluzione :

Per    si ha :

        .

Per    si ha :

        .

Per le curvature gaussiane  ,  (delle due superficie rispettivamente), poiché le parametrizzazioni sono ortogonali, possiamo usare la formula (ricavata all'esercizio precedente  G87 ) :

        .

Otteniamo perciò :

        .

Abbiamo così dimostrato che le due superficie hanno la stessa curvatura gaussiana in tutti i punti  .

Per quanto riguarda la mappa  , essa non è una isometria perché se lo fosse si dovrebbe avere :

       

cosa che invece non si verifica.

Il presente esercizio mostra che l'inverso del Theorema Egregium di Gauss è falso.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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