E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G106

Studiare le geodetiche del toro  , con  , , , partenti dal punto    di coordinate locali  , , e formanti un angolo  ( ) con il parallelo massimo   .

Risoluzione :

I dati relativi al toro sono riportati all'esercizio  G91  .

L'angolo  è formato dal vettore  e dalla tangente  alla geodetica    in in senso antiorario e deve essere .

Graficamente :

       

Procederemo utilizzando la relazione di Clairaut (per le geodetiche delle superficie di rivoluzione) :

       

dove    è la distanza di un punto    della geodetica dall'asse di rivoluzione,   ( ) è l'angolo che la geodetica forma in  con il parallelo passante per  medesimo,   è una costante positiva.

Consideriamo i seguenti casi :


        ===>     

A causa della relazione di Clairaut si ha :

       

da cui :

        .

Poiché  , , deve essere :

       

quindi :

        , .

Il parallelo massimo di equazione    è quindi una geodetica del toro.

Graficamente :

       


        ===>     

A causa della relazione di Clairaut si ha :

        .

Se  , , si ha il caso limite :

         

in cui la geodetica è tangente al parallelo superiore    e poi a quello inferiore  , non essendo i suddetti paralleli delle geodetiche.

Per i valori    si hanno tutti i casi intermedi. 

Graficamente :

       


        ===>     

E' il caso limite di cui sopra, in cui la geodetica è tangente al parallelo superiore    e poi a quello inferiore  .

Graficamente :

       


        ===>     

A causa della relazione di Clairaut si ha :

                .

Se  , , si ha il caso limite :

        .

In questo caso, la geodetica si avvicina asintoticamente al parallelo minimo  .

Per i valori    si hanno tutti i casi intermedi. 

Graficamente :

       


        ===>   

E' il caso limite di cui sopra, in cui la geodetica si avvicina asintoticamente al parallelo minimo    .

       


        ===>   

In questo caso si hanno le geodetiche che superano il parallelo minimo    e si avvitano attorno al toro (lo si deduce anche qui direttamente dalla relazione di Clairaut).

Graficamente :

       


        ===>   

A causa della relazione di Clairaut si ha :

        .

Se  , si ha :

       

da cui :

        .

Si ottiene quindi la geodetica  .

Graficamente :

       


Nota per il calcolo numerico.

Le immagini qui riportate sono state elaborate con il programma :

        http://lnx.arrigoamadori.com/CalcoloNumerico/Geodetica1/geodetica1.htm .

I valori iniziali della geodetica    in    sono :

         

e :

        .

Questi ultimi valori si ricavano facilmente calcolando :

        ,

ponendo :

        (geodetica parametrizzata secondo la lunghezza)

ed eseguendo :

         

dove  è il vettore tangente    calcolato in  .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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