E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G105
Si consideri una geodetica
che parte dal punto 
nella parte superiore ( 
) dell'iperboloide di rivoluzione 
(rispetto al sistema di riferimento cartesiano ortogonale 
)
e che forma un angolo 
con il parallelo passante per
in modo che 
,
dove 
è la
distanza di
dall'asse 
.
Mostrare che seguendo la geodetica nella direzione dei paralleli decrescenti,
essa si avvicina asintoticamente al parallelo 
, 
.
Risoluzione :
Parametrizziamo l'iperboloide nel seguente modo :
con 
, 
.
Evidentemente è soddisfatta l'equazione
.
Si ha :
e :
.
La distanza del punto
dall'asse
, ovvero il raggio
del parallelo corrispondente, vale :
.
Dovendo essere
, si avrà :
.
D'altra parte, per la relazione di Clairaut (per le geodetiche delle superficie di rivoluzione) per una geodetica deve essere :
dove 
è una costante positiva.
In
allora sarà :
.
Seguendo la geodetica in questione, si deve avere sempre 
.
Per questo motivo, la relazione di Clairaut diventa :
.
Per il parallelo
, , vale 
quindi, avvicinandosi ad esso, la geodetica formerà un angolo
per cui :
ovvero :
.
Per questo motivo la geodetica in questione si avvicina
asintoticamente al parallelo con
.
Graficamente :
Salvo errori ed omissioni.
Fine.