E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G105

Si consideri una geodetica che parte dal punto    nella parte superiore ( ) dell'iperboloide di rivoluzione    (rispetto al sistema di riferimento cartesiano ortogonale  ) e che forma un angolo    con il parallelo passante per  in modo che  , dove  è la distanza di    dall'asse  . Mostrare che seguendo la geodetica nella direzione dei paralleli decrescenti, essa si avvicina asintoticamente al parallelo  , .

Risoluzione :

Parametrizziamo l'iperboloide nel seguente modo :

       

con  , .

Evidentemente è soddisfatta l'equazione  .

Si ha :

       

e :

        .

La distanza del punto  dall'asse  , ovvero il raggio  del parallelo corrispondente, vale :

        .

Dovendo essere , si avrà :

        .

D'altra parte, per la relazione di Clairaut (per le geodetiche delle superficie di rivoluzione) per una geodetica deve essere :

       

dove    è una costante positiva.

In    allora sarà :

        .

Seguendo la geodetica in questione, si deve avere sempre  . 

Per questo motivo, la relazione di Clairaut diventa :

        .

Per il parallelo  , , vale  quindi, avvicinandosi ad esso, la geodetica formerà un angolo    per cui :

       

ovvero :

        .

Per questo motivo la geodetica in questione si avvicina asintoticamente al parallelo con  .

Graficamente :

       

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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