una curva parametrizzata dalla lunghezza 
, con curvatura non nulla. La superficie 
sia parametrizzata da 
dove 
è il vettore binormale di 
e dove 
, con 
positivo sufficientemente piccolo. Provare che
è una geodetica di
.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G104
Sia
una curva parametrizzata dalla lunghezza
, con curvatura non nulla. La superficie
sia parametrizzata da
dove
è il vettore binormale di
e dove
, con
positivo sufficientemente piccolo. Provare che
è una geodetica di
.
Risoluzione :
Per
si ha :
(vettore tangente)
(vettore normale)
(vettore binormale)
(dalle formule di Frenet, dove 
è la torsione).
Per
si ha :
da cui :
.
Consideriamo il campo vettoriale unitario 
lungo la curva ottenuta con 
:
che ovviamente coincide con
stessa.
Ricordiamo che per un campo differenziale vettoriale unitario
su una superficie regolare con parametrizzazione 
ortogonale
( 
) lungo una sua curva 
(qui la lettera 
indica un parametro !!!) si ha che il valore algebrico della derivata covariante
di
vale :
(qui la lettera
indica un parametro),
dove 
è l'angolo, nella presente orientazione, formato da 
e 
.
Abbiamo anche :
che è nulla per
.
Possiamo allora concludere che la curvatura geodetica 
di
vale :
per cui la curva
è geodetica.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.