E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G104

Sia    una curva parametrizzata dalla lunghezza  , con curvatura non nulla. La superficie   sia parametrizzata da    dove    è il vettore binormale di    e dove    , con    positivo sufficientemente piccolo. Provare che    è una geodetica di  .

Risoluzione :

Per    si ha :

         

          (vettore tangente)

          (vettore normale)

          (vettore binormale)

          (dalle formule di Frenet, dove   è la torsione).

Per    si ha :

         

da cui :

        .

Consideriamo il campo vettoriale unitario     lungo la curva ottenuta con  :

         

che ovviamente coincide con    stessa.

Ricordiamo che per un campo differenziale vettoriale unitario  su una superficie regolare con parametrizzazione   ortogonale ( ) lungo una sua curva    (qui la lettera    indica un parametro !!!) si ha che il valore algebrico della derivata covariante di  vale :

            (qui la lettera    indica un parametro),

dove    è l'angolo, nella presente orientazione, formato da    e   .

Abbiamo anche :

         

che è  nulla per  .

Possiamo allora concludere che la curvatura geodetica    di    vale :

       

per cui la curva    è geodetica.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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