E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G103
Sia 
un
punto
di una superficie orientata 
. Si assuma che esiste un intorno di
in
tutti i punti del quale sono parabolici. Provare che la curva asintotica (unica)
passante per
è un segmento aperto di retta. Dare un esempio che mostri che la condizione di
avere un intorno di punti parabolici è essenziale.
Risoluzione :
Si parametrizzi l'intorno
in modo che le linee di curvatura siano le curve coordinate e che le
curve 
costante siano le curve asintotiche.
Graficamente :
Sia 
tale parametrizzazione.
Si ha :
.
Siccome le linee di curvatura (ortogonali in un punto) sono le curve coordinate, si ha :
.
L'equazione differenziale delle curve asintotiche è :
.
Se
costante è una soluzione allora :
.
L'equazione differenziale delle linee di curvatura è :
.
Ricordando che
e che
non è ombelicale, si ottiene :
.
Se 
costante è una soluzione allora :
.
Se
costante è una soluzione allora :
.
Si deduce allora che :
perché sicuramente 
, 
.
Le equazioni di Mainardi-Codazzi sono :
.
Sostituendo i valori trovati
, , si ottiene :
.
D'altra parte è :
che, essendo
, fornisce :
Essendo :
si deduce che :
per cui :
.
Ricordando che per un campo differenziale vettoriale
unitario 
su una
superficie regolare con parametrizzazione ortogonale lungo una sua curva si ha
che il valore algebrico della derivata covariante vale :
,
dove 
è l'angolo, nella presente orientazione, formato da 
e 
, otteniamo che la curva
costante è una geodetica (avendosi curvatura geodetica nulla).
Essendo per una curva regolare qualsiasi :
,
dove 
è la curvatura della curva, 
la curvatura geodetica e 
la curvatura normale, per la curva
costante , poiché 
(essendo una curva asintotica) e poiché 
, si deduce che :
quindi la curva
costante è un segmento di retta.
Un esempio di curva asintotica formata da punti parabolici (ma solo lungo la curva !!!) che non sia non segmento di retta, è il meridiano superiore di un toro.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.