E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G103

Sia   un punto di una superficie orientata  . Si assuma che esiste un intorno di    in    tutti i punti del quale sono parabolici. Provare che la curva asintotica (unica) passante per    è un segmento aperto di retta. Dare un esempio che mostri che la condizione di avere un intorno di punti parabolici è essenziale.

Risoluzione :

Si parametrizzi l'intorno    in modo che le linee di curvatura siano le curve coordinate e che le curve  costante  siano le curve asintotiche.

Graficamente :

       

Sia    tale parametrizzazione.

Si ha :

       

       

        .

Siccome le linee di curvatura (ortogonali in un punto) sono le curve coordinate, si ha :

        .

L'equazione differenziale delle curve asintotiche è :

        .

Se  costante  è una soluzione allora :

        .

L'equazione differenziale delle linee di curvatura è :

        .

Ricordando che    e che    non è ombelicale, si ottiene :

        .

Se  costante  è una soluzione allora :

        .

Se  costante  è una soluzione allora :

        .

Si deduce allora che :

         

perché sicuramente  , .

Le equazioni di Mainardi-Codazzi sono :

        .

Sostituendo i valori trovati  , , si ottiene :

        .

D'altra parte è :

       

che, essendo  , fornisce :

       

Essendo :

       

si deduce che :

       

per cui :

        .

Ricordando che per un campo differenziale vettoriale unitario  su una superficie regolare con parametrizzazione ortogonale lungo una sua curva si ha che il valore algebrico della derivata covariante vale :

        ,

dove    è l'angolo, nella presente orientazione, formato da    e   , otteniamo che la curva  costante   è una geodetica (avendosi curvatura geodetica nulla).

Essendo per una curva regolare qualsiasi :

        ,

dove    è la curvatura della curva,   la curvatura geodetica e    la curvatura normale, per la curva   costante   , poiché    (essendo una curva asintotica) e poiché  , si deduce che :

       

quindi la curva   costante  è un segmento di retta.

Un esempio di curva asintotica formata da punti parabolici (ma solo lungo la curva !!!) che non sia non segmento di retta, è il meridiano superiore di un toro.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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