la sfera di raggio unitario. E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G102
Sia
la sfera di raggio unitario.
Si esegua il trasporto parallelo del vettore unitario 
dal punto 
ad 
poi a
ed infine
ancora in
ottenendo il vettore 
.
Si calcoli l'angolo 
fra il vettore
ed il vettore
. Il
vettore
sia tangente in
al meridiano 
.
Risoluzione :
Parametrizziamo
nel modo usuale :
con 
, 
(ovviamente
rimangono fuori dalla parametrizzazione i due poli nord (
) e sud ( 
) ed il meridiano
con longitudine 
).
Graficamente :
(la norma del
vettore
non è in scala)
Si ha :
e :
.
La superficie
può essere considerata come una superficie di rivoluzione dotata della
parametrizzazione :
con :
.
Applicando le formule relative alle superficie di rivoluzione, si ottiene :
dove l'apice indica la derivata rispetto al parametro 
(si ricordi che
).
La derivata covariante del campo vettoriale
, dove 
, lungo la
curva 
è :
dove il punto indica la derivata rispetto al parametro 
.
Nel nostro caso abbiamo :
.
Perché
sia un campo vettoriale parallelo si deve avere :
.
Ricaviamo allora :
.
Queste sono le equazioni del trasporto parallelo su
dotata della parametrizzazione
,
, .
Naturalmente, le suddette equazioni valgono dove la
parametrizzazione è definita quindi non nei punti ed
né
lungo il meridiano
con longitudine
. Per i trasporti paralleli che interessano quei punti faremo altre
considerazioni.
Gli archi di meridiano
ed 
sono
archi di cerchio massimo per cui sono curve geodetiche di
.
Il vettore
trasportato parallelamente da
ad
diventa quindi :
.
Si tratta ora di eseguire lo spostamento parallelo di 
lungo 
ed
ottenere il vettore 
.
La curva
ha equazione :
con 
(essendo il trasporto parallelo non dipendente dalla parametrizzazione della
curva su cui esso avviene, abbiamo scelto una parametrizzazione
"comoda").
Le equazioni del trasporto parallelo lungo
diventano :
.
Ricavando 
dalla prima e sostituendo nella seconda si ottiene :
che, integrata elementarmente e tenendo conto delle condizioni
iniziali 
, 
, fornisce :
(la soluzione
è ricavata di conseguenza).
Il vettore
trasportato parallelamente lungo
diventa quindi :
.
Poniamo :
e notiamo che si tratta di due vettori ortonormali. Possiamo
allora rappresentare il vettore
nel seguente modo :
Il trasporto parallelo del vettore
lungo l'arco 
, trattandosi di una geodetica, è tale per cui l'angolo che
forma con l'arco stesso è costante. Per questo motivo, il vettore finale
(in
) formerà con il vettore iniziale
l'angolo
dato dalla formula :
.
Dalla formula si ricavano immediatamente i casi particolari :
per 
si ha 
per
cui il vettore finale coincide col vettore iniziale (questo, naturalmente, va
considerato come caso limite)
per 
si ha 
per
cui non si ha variazione dell'angolo iniziale
per 
si ha 
(anche questo va considerato come caso limite).
Nota.
Un procedimento alternativo per determinare il vettore
(trasportando
parallelamente lungo
), potrebbe essere quello di costruire il cono tangente alla sfera lungo il
parallelo che contiene l'arco
e sfruttare il fatto che il trasporto parallelo sulla sfera e sul cono tangente
(sempre lungo
) sono identici.
Il procedimento invece qui adottato è più generale e non invoca l'utilizzo di altre superficie. Tale procedimento può portare però facilmente ad equazioni differenziali non integrabili, per cui può essere necessario utilizzare procedimenti alternativi tipo quello qui menzionato.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.