E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G102

Sia    la sfera di raggio unitario. 

 

Si esegua il trasporto parallelo del vettore unitario    dal punto    ad  poi a    ed infine ancora in  ottenendo il vettore . Si calcoli l'angolo fra il vettore   ed il vettore  . Il vettore    sia tangente in    al meridiano  .

Risoluzione :

Parametrizziamo    nel modo usuale :

       

con  , (ovviamente rimangono fuori dalla parametrizzazione i due poli nord  ( ) e sud  ( ) ed il meridiano con longitudine  ).

Graficamente :

       

        (la norma del vettore    non è in scala)

Si ha :

       

e :

        .

La superficie    può essere considerata come una superficie di rivoluzione dotata della parametrizzazione :

       

con :

        .

Applicando le formule relative alle superficie di rivoluzione, si ottiene :

         

dove l'apice indica la derivata rispetto al parametro (si ricordi che  ).

La derivata covariante del campo vettoriale    , dove , lungo la curva  è :

       

dove il punto indica la derivata rispetto al parametro  .

Nel nostro caso abbiamo :

        .

Perché  sia un campo vettoriale parallelo si deve avere :

        .

Ricaviamo allora :

        .

Queste sono le equazioni del trasporto parallelo su    dotata della parametrizzazione  , , .

Naturalmente, le suddette equazioni valgono dove la parametrizzazione è definita quindi non nei punti   ed  né lungo il meridiano con longitudine  . Per i trasporti paralleli che interessano quei punti faremo altre considerazioni.

Gli archi di meridiano  ed    sono archi di cerchio massimo per cui sono curve geodetiche di  .

Il vettore    trasportato parallelamente da    ad    diventa quindi :

        .

Si tratta ora di eseguire lo spostamento parallelo di    lungo ed ottenere il vettore  .

La curva    ha equazione :

         

con  (essendo il trasporto parallelo non dipendente dalla parametrizzazione della curva su cui esso avviene, abbiamo scelto una parametrizzazione "comoda"). 

Le equazioni del trasporto parallelo lungo diventano :

        .

Ricavando    dalla prima e sostituendo nella seconda si ottiene :

       

che, integrata elementarmente e tenendo conto delle condizioni iniziali  , , fornisce :

         

(la soluzione    è ricavata di conseguenza).

Il vettore   trasportato parallelamente lungo diventa quindi :

        .

Poniamo :

       

e notiamo che si tratta di due vettori ortonormali. Possiamo allora rappresentare il vettore    nel seguente modo :

       

Il trasporto parallelo del vettore   lungo l'arco    , trattandosi di una geodetica, è tale per cui l'angolo che    forma con l'arco stesso è costante. Per questo motivo, il vettore finale    (in  ) formerà con il vettore iniziale    l'angolo    dato dalla formula :

        .

Dalla formula si ricavano immediatamente i casi particolari :

        per    si ha    per cui il vettore finale coincide col vettore iniziale (questo, naturalmente, va considerato come caso limite)

        per  si ha    per cui non si ha variazione dell'angolo iniziale

        per    si ha    (anche questo va considerato come caso limite).

Nota.

Un procedimento alternativo per determinare il vettore    (trasportando    parallelamente lungo  ), potrebbe essere quello di costruire il cono tangente alla sfera lungo il parallelo che contiene l'arco    e sfruttare il fatto che il trasporto parallelo sulla sfera e sul cono tangente (sempre lungo  ) sono identici.

Il procedimento invece qui adottato è più generale e non invoca l'utilizzo di altre superficie. Tale procedimento può portare però facilmente ad equazioni differenziali non integrabili, per cui può essere necessario utilizzare procedimenti alternativi tipo quello qui menzionato.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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