E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G101

Sia  una superficie regolare orientata e sia    una curva parametrizzata dalla lunghezza ( ). Nel punto    si considerino i tre vettori unitari  , (il vettore normale alla superficie    in  ), . Tali vettori formano il cosiddetto triedro di Darboux. Si ricavino le equazioni (analoghe alle formule di Frenet per le curve regolari) che legano i vettori  , ,   ai vettori  , , e se ne studino le proprietà.

Risoluzione :

Il triedro di Darboux è rappresentato dal seguente grafico :

       

Siccome  , per cui :

         

dove  ,   sono funzioni di  .

Si ha :

       

dove  , , sono funzioni di  e ricordando che    è un vettore tangente ad   .

Essendo  , si ha :

        .

In sintesi :

        .

Queste sono le formule cercate relative al triedro di Darboux, analoghe alle formule di Frenet per le curve.

Si ha :

       

infatti :

        .

Per il teorema di Olinde Rodrigues    è una linea di curvatura se e solo se :

         

dove    è una funzione di  .

Allora,   è una linea di curvatura se e solo se :

       

cioè :

        .

La funzione    è detta torsione geodetica.

Si ha :

       

dove    è la curvatura normale di  .

Infatti :

        .

Si ha :

       

dove    è la curvatura geodetica di   .

Infatti :

        .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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