E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G101
Sia 
una superficie regolare orientata e sia 
una curva parametrizzata dalla lunghezza ( 
). Nel punto 
si considerino i
tre vettori unitari 
, 
(il vettore normale alla superficie
in 
), 
. Tali vettori formano il cosiddetto triedro di Darboux. Si ricavino le
equazioni (analoghe alle formule di Frenet per le curve regolari) che legano i
vettori 
, 
, 
ai vettori 
, 
, 
e
se ne studino le proprietà.
Risoluzione :
Il triedro di Darboux è rappresentato dal seguente grafico :
Siccome 
, 
per cui :
dove 
, 
sono funzioni
di 
.
Si ha :
dove 
, 
, 
sono funzioni di
e ricordando che 
è un vettore tangente ad
.
Essendo 
, si ha :
.
In sintesi :
.
Queste sono le formule cercate relative al triedro di Darboux, analoghe alle formule di Frenet per le curve.
Si ha :
infatti :
.
Per il teorema di Olinde Rodrigues 
è una linea di curvatura se e solo se :
dove 
è una funzione di
.
Allora,
è una linea di curvatura se e solo se :
cioè :
.
La funzione 
è detta torsione geodetica.
Si ha :
dove 
è la curvatura normale di
.
Infatti :
.
Si ha :
dove 
è la curvatura geodetica di
.
Infatti :
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.