un intorno connesso di un punto 
di una superficie 
. Si supponga che il trasporto parallelo fra due punti qualsiasi di
non dipenda dalla curva che li congiunge. Provare che la curvatura gaussiana
di è
nulla.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G100
Sia
un intorno connesso di un punto
di una superficie
. Si supponga che il trasporto parallelo fra due punti qualsiasi di
non dipenda dalla curva che li congiunge. Provare che la curvatura gaussiana
di è
nulla.
Risoluzione :
Si fissino su 
due vettori ortogonali unitari 
, 
. Li si trasporti
parallelamente su ogni punto di
. Siccome tali trasporti non dipendono dal cammino, abbiamo creato due campi
vettoriali differenziali ortogonali unitari. Si parametrizzi
in modo che le direzioni di tali vettori siano tangenti alle curve coordinate
che sono allora geodetiche. A questo punto si applichi il precedente
esercizio G99 .
Salvo errori ed omissioni.
Fine.