.E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G227
Studiare le geodetiche del paraboloide
.
Risoluzione :
La metrica è data da :
.
Le geodetiche sono date da :
.
Il sistema è ovviamente non risolubile analiticamente.
Possiamo però affermare che i meridiani 
costante sono geodetiche mentre i paralleli 
costante non sono geodetiche.
La relazione di Clairaut per il paraboloide in questione vale :
dove 
è costante.
Supponiamo :
e :
(con 
).
Sarà allora :
.
Per evidenti questioni di simmetria possiamo porre per convenienza :
senza perdere generalità.
Il punto della geodetica (in coordinate locali) che stiamo considerando è quindi :
.
La relazione di Clairaut per la geodetica che "parte"
da (con 
crescente) sarà allora
:
.
Possiamo subito affermare che la coordinata 
non può decrescere, altrimenti 
dovrebbe diventare maggiore di 
.
Al crescere di ,
il valore di
tende a 
.
Questo significa che l'angolo 
tende a 
.
Graficamente (con 
, 
) :
Per simmetria (con
decrescente) avremo anche (con 
, ) :
Le due geodetiche così trovate (con "partenza"
da ) sono in
realtà due "rami" di una singola geodetica.
Una tale geodetica, "avvitandosi" da parti opposte
attorno al paraboloide (con
crescente) interseca se stessa infinite volte.
Tutte le geodetiche del paraboloide hanno queste caratteristiche.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.