E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G227

Studiare le geodetiche del paraboloide  .

Risoluzione :

La metrica è data da :

        .

Le geodetiche sono date da :

        .

Il sistema è ovviamente non risolubile analiticamente.

Possiamo però affermare che i meridiani  costante  sono geodetiche mentre i paralleli  costante  non sono geodetiche.

La relazione di Clairaut per il paraboloide in questione vale :

         

dove     è costante.

Supponiamo :

         

e :

        (con  ).

Sarà allora :

         .

Per evidenti questioni di simmetria possiamo porre per convenienza :

       

senza perdere generalità.

Il punto della geodetica (in coordinate locali) che stiamo considerando è quindi : 

        .

La relazione di Clairaut per la geodetica che "parte" da  (con    crescente) sarà allora :

        .

Possiamo subito affermare che la coordinata    non può decrescere, altrimenti    dovrebbe diventare maggiore di  .

Al crescere di   , il valore di    tende a  . Questo significa che l'angolo    tende a  .

Graficamente (con  ,  ) :

       

Per simmetria (con    decrescente) avremo anche (con  ,  ) :

       

Le due geodetiche così trovate (con "partenza" da  ) sono in realtà due "rami" di una singola geodetica.

Una tale geodetica, "avvitandosi" da parti opposte attorno al paraboloide (con    crescente) interseca se stessa infinite volte.

Tutte le geodetiche del paraboloide hanno queste caratteristiche. 

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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