E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G226

Ricavare le equazioni delle geodetiche e la relazione di Clairaut per le superficie di rivoluzione    con , .

Risoluzione :

Una superficie di rivoluzione    in questione è rappresentata dal grafico :

La sua parametrizzazione sia  .

Si ha :

        ,

dove, con l'apice, si indica la derivata totale rispetto al parametro  .

La metrica indotta da    su    è data da :

          .

In forma matriciale abbiamo :

e, per la matrice inversa :

        .

I simboli di Christoffel di una connessione riemanniana sono dati da :

        .

Per la metrica in questione si ottiene direttamente :

        .

La generica equazione delle geodetiche è :

          con  .

Nel nostro caso si ricava :

che costituiscono un sistema di equazioni differenziali non lineari del secondo ordine.

Un tale sistema non è in generale risolubile analiticamente.

Possiamo però ricavare condizioni sulle soluzioni che possono risultare molto utili.

Riferiamoci alla prima equazione :

        .

Scriviamola come :

        .

Si ha evidentemente :

        .

Integrando ambo i membri si ottiene :

da cui :

e :

e :

ed infine :

        .

Sia    una geodetica di  .

Poiché    giace su  , possiamo scrivere :

        ,

dove    ( ) è l'angolo formato dalla geodetica, in ogni suo punto, con il parallelo che passa per quel punto.

Graficamente :

Proseguendo con i calcoli, si ha :

        ,

essendo per la geodetica    costante, e :

da cui :

        ,

essendo  , e, per quanto ricavato sopra :

        .

D'altra parte    è il raggio di un parallelo di  per cui, ponendo  

        ,

possiamo infine scrivere :

        costante.

Questa è l'importante relazione di Clairaut per le superficie di rivoluzione che risulta molto utile nei problemi pratici non essendo quasi mai risolubile analiticamente l'equazione della geodetica.

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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