E-school  di  Arrigo Amadori

Esercizi risolti 

Esercizio : G225

Come nell'esercizio G224 ma con metodi variazionali.

Risoluzione :

Consideriamo il grafico :

      

La lunghezza della curva regolare è data da :

       .

essendo :

       .

La curva è una geodetica se l'integrale :

             (1)

assume un valore estremo relativo.

Introduciamo la funzione :

      

per cui l'integrale (1) risulta :

       .

Si deve perciò avere :

       .

Questo problema variazionale è risolubile con le equazioni di Eulero-Lagrange :

       .

Nel nostro caso si perviene al sistema :

       .

Dalla prima equazione si ottiene :

      

da cui si ottiene con semplici passaggi (eliminando il parametro ):

       .

Integrando, si ottiene :

      

da cui , con procedimento elementare :

       .

Si tratta della circonferenza (ovviamente si considererà la semicirconferenza superiore con ) di equazione :

      

che ha centro in e raggio .

Per si ottengono le semirette .

Salvo errori ed omissioni.

Fine. 

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