E-school di Arrigo
Amadori
Esercizi risolti
Esercizio : G225
Come nell'esercizio G224 ma con metodi variazionali.
Risoluzione :
Consideriamo il grafico :
La lunghezza della curva regolare
è data da :
.
essendo :
.
La curva
è una geodetica se l'integrale :
(1)
assume un valore estremo relativo.
Introduciamo la funzione :
per cui l'integrale (1) risulta :
.
Si deve perciò avere :
.
Questo problema variazionale è risolubile con le equazioni di Eulero-Lagrange :
.
Nel nostro caso si perviene al sistema :
.
Dalla prima equazione si ottiene :
da cui si ottiene con semplici passaggi (eliminando il
parametro
):
.
Integrando, si ottiene :
da cui , con procedimento elementare :
.
Si tratta della circonferenza (ovviamente si
considererà la semicirconferenza superiore con
) di equazione :
che ha centro in
e raggio
.
Per
si ottengono le semirette
.
Salvo errori ed omissioni.
Fine.